文档内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）下列事件中不是确定事件的个数是（ ）
①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1
月的降雪量高于今年1月的降雪量
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件；
②水中捞月是不可能事件；
③守株待兔是随机事件，不是确定事件；
④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 {抽到一等品}，事件 {抽到
二等品}，事件 {抽到三等品}，且已知 ， ， ．则事件“抽到的不是一
等品”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件 {抽到一等品}， ，∴抽到不是
一等品的概率是 ．
故选:D．
3．（2022·河北唐山·高一期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑
球”的对立事件是（ ）
A．至少有1个红球 B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球 D．至多2个红球
【答案】C
【详解】由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，
故选：C
4．（2022·全国·高一单元测试）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语
音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱
语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个
黑厘子都研究”.则（ ）A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件
【答案】D
【详解】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；
事件B为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”， 或
“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；
事件C为“至多研究一个黑厘子”， 包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”，或两
个黑匣子都不研究；
事件D为“两个黑厘子都研究”. 即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；
所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；
对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；
对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件.
故选：D.
5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若 ， 为两个事件，则 ；
③若事件 ， ， 两两互斥，则 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有 ，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则 ，但 不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与 为对立事件，当
时， ，③错误．
故选：C.
6．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及
以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣
除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部
位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】用 分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二
发对空导弹之后成功击落敌机的概率：
.
故选：D.
7．（2022·山东菏泽·高一期末）甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为
0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72 B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15 D．至少有一人做对的概率是0.98
【答案】C
【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，
故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；
恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；
两人都做错的概率是 ，故C错误；
至少有一人做对的概率是 ，故D正确，
故选：C
8．（2022·山西忻州·高一期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有
人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且
各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ， 分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则 ， ，（ ，2），记
“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．
则
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·高一单元测试）如图所示的电路由 ， 两个系统组成，其中M，N，P，Q，L是五个不
同的元件，若元件M，N，P，Q，L出现故障的概率分别为 ， ， ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）A．元件M，N均正常工作的概率为 B．系统 正常工作的概率为
C．系统 正常工作的概率为 D．系统 ， 均正常工作的概率为
【答案】BD
【详解】设事件A，B，C，D，E分别表示M，N，P，Q，L元件出现故障，则 ， ，
， ，所以元件M，N均正常工作的概率为 ，A错误，
系统 正常工作的概率为 ，B正确；
系统 正常工作的概率为 ，C错误；
系统 ， 均正常工作的概率为 ，D正确.
故选：BD.
10．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球
的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A． 个球都是红球的概率为 B． 个球中恰有 个红球的概率为
C．至少有 个红球的概率为 D． 个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【详解】记事件 为从甲袋中摸出一个红球，事件 为从乙袋中摸出一个红球，则
，且事件 相互独立，
对于A， 个球都是红球的概率为 ，所以A正确，
对于B， 个球中恰有 个红球的概率为 ，所以B
正确，对于C，至少有 个红球的概率为 为 ，所以C正确，
对于D， 个球不都是红球的概率为 ，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
11．（2022·江苏·南京市中华中学高一期中）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产
品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概
率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.
【答案】 ##
【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为 ， ， ，
则 ，解得 ，
所以抽到一等品的概率为 .
故答案为： .
12．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，
吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许
零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 ，丙购买到冰墩墩的概率为 ，则甲，
乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.
【答案】
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 ，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率
.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率 .
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率 ，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰
墩墩的概率 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·全国·高一课时练习）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【答案】(1) (2)
（1）解：记 表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”；
表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”；
表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
则 ， ， ，
所以 .
（2）解：设 表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.
则 ，故 .
14．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、
乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否
互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为 ．
(1)求p的值；
(2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．
【答案】(1) ；(2) .
(1)“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜对的事件与乙猜对的事件的和，它们互斥，
于是得 ，解得 ，
所以 .
(2)由（1）知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个谜语的事件概率为 ，猜对两个谜语的事件概率为
，
“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件是第一轮猜对两个第二轮猜对一个事件A与第一轮猜对一个
第二轮猜对两个的事件B的和，它们互斥，
， ，
所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为 .
B 能力提升15．（2022·全国·高一单元测试）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机
抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
(2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率．
【答案】(1) (2)
（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，
这个客户不满意的概率为 ．
（2）由题意知，回访客户的总人数是 ，回访客户中满意的客户人数是
，所以回访客户中客户的
满意率为 ，所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为 ．
C 综合素养
16．（2022·福建省福州第一中学高一期末）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健
康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保
护法知识竞赛.竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答
对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对
每道题的概率分别为 .
(1)若 ，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；
(2)当 时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
(1)记他们获得“优秀小组”的事件为事件 ，则事件 包含三种情况：
甲答对两题，乙答对一题的事件B；甲答对一题，乙答对两题的事件C，甲、乙都答对两题的事件D，
事件B、C、D互斥，又因为甲乙两人答题相互独立，
，
所以该组获“优秀小组”的概率 .(2)由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
，
又 ，则 ， 当且仅当 时，等号成立，
而 ， ，于是有 ，因此 ，
令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
所以该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值为 .
