文档文本内容
第04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 直线与圆的位置关系...........................................................................................4
知识点2 圆的切线方程.......................................................................................................5
知识点3 直线被圆截得的弦长...........................................................................................6
知识点4 圆与圆的位置关系...............................................................................................7
题型破译................................................................................................................................................7
题型1 直线与圆的位置关系
........................................................................................7
【方法技巧】点到直线的距离
题型2 圆的切线方程.........................................................................................................10
题型3 圆的弦长和弦心距
..........................................................................................12
【方法技巧】几何法结合勾股定理
题型4 直线与圆的应用
...............................................................................................14
题型5 圆与圆的位置关系.................................................................................................17
题型6 圆的公共弦.............................................................................................................21
题型7 圆的公切线.............................................................................................................23
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................25
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................30
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1．直线与圆的三种位
置关系
2．求直线与圆相交时
弦长
3．圆与圆的位置关系
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第7
题，5 分
天津卷，12 题，5
分
全国甲卷，12 题，5 分
新课标I 卷，第6 题，5
分
新课标II 卷，第15 题，5
分
考情分析：
1. 主要通过直线与圆、圆与圆的位置关系判断切线、弦长、公切线、公共弦等问题。考查数学运算能力和对代数
方法处理几何问题的理解。
2. 题型分析：选择题：直接考查直线与圆、圆与圆的位置关系判断。填空题：求解与直线与圆、圆与圆位置关系
相关的弦长、切线方程、公共弦方程等。解答题：结合其他知识点（如不等式、函数、三角形面积等）考查最值
问题。
3.预计未来的高考数学试卷中，直线与圆、圆与圆的位置关系仍将是重要的考查内容。
可能会结合其他知识点进行综合考查，如结合不等式、函数、三角形面积等求解最值问题。
考查形式可能会更加灵活多样，要求考生具备更强的分析问题和解决问题的能力。
复习目标：
1.理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法
2.会求与圆有关的直线方程与圆的方程
3.会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等
4.会求待定参数并能解决与之相关的综合问题
5.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法
6.应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题.
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C 有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C 相交；
有一组实数解时，直线与圆C 相切；
无实数解时，直线与圆C 相离．
（2）几何法：
由圆C 的圆心到直线的距离
与圆的半径
的关系判断：
当
时，直线与圆C 相交；
当
时，直线与圆C 相切；
当
时，直线与圆C 相离．
自主检测（多选）已知直线
（
不同时为0），圆
，则（ ）
A．当
时，直线与圆
不可能有交点
B．当
时，直线与圆
相切
C．当
时，直线与坐标轴相交于
两点，则圆
上存在点
，使得
的面积为
D．当
时，与圆
外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
【答案】BCD
【分析】求得圆心
到直线的距离
，当
时，
，可判定A 错误；求得圆心
到直线的距离
，可判定B 正确；求得直线与坐标轴相交于两点坐标，结合圆的性质，得到
，可判定C 正确；求得圆心
到直线的距离
，结合抛物线的定义，可判定D 正确．
【详解】对于A 中，圆C 的标准方程为
，则圆心为
，半径
，
当
时，圆心
到直线的距离
，
当
时，
，所以直线与圆
可能相交，所以A 错误；
对于B 中，当
时，可得
，
圆心
到直线的距离
，
所以直线与圆
相切，所以B 正确；
对于C 中，当
时，直线的方程为
，
可得直线与坐标轴相交于两点
，
如图所示，直线
的方程为
，与直线垂直，
又因为
，
，可得
，
因为
，可得
，满足题意，
所以圆
上存在点
，使得
的面积为
，所以C 正确；
对于D 中，当
时，直线的方程为
，
圆心
到直线的距离
，此时直线与圆
相离，
由抛物线的定义，可得与圆
外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D 正确．
故选：BCD.
知识点2 圆的切线方程
1、点
在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率
与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于
，即
．
法二：圆心
到直线的距离等于半径
．
2、点
在圆外，则设切线方程：
，变成一般式：
，因为与
圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出
．
自主检测过原点且与圆
相切的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程.
【详解】原点
在圆
上，而圆心
，
直线
斜率为
，因此切线的斜率为
，方程为
，即
.
故选：A
知识点3 直线被圆截得的弦长
1、应用圆中直角三角形：半径
，圆心到直线的距离
，弦长具有的关系
，这也是求弦长
最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
自主检测直线
与圆
交于
，
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆的相关知识即可求得
弦长
【详解】由已知圆
，圆心为
，半径
所以圆心到直线
的距离
所以
故选：
知识点4 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设
的半径为
，
的半径为
，两圆的圆心距为
．
当
时，两圆相交；
当
时，两圆外切；
当
时，两圆外离；
当
时，两圆内切；
当
时，两圆内含．
自主检测已知圆
，圆
，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.
【详解】
，圆心
，半径
，
可化简为
，
则圆
的圆心为
，半径
，
，所以两圆相交.
故选：C.
题型1 直线与圆的位置关系
例1-1 直线
和圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
【答案】A
【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解.
【详解】
的圆心和半径分别为
，
则圆心到直线
的距离为
，
故直线与圆相交但不经过圆心，
故选：A
例1-2 直线
交圆
于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】直线与圆方程联立，求出
点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求
.
【详解】联立
解得：
，
，
所以
.
故选：D
方法技巧
(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的
局限性，必须是过定点的直线系．
【变式训练1-1】已知双曲线a 的一个焦点为
，且双曲线的渐近线与圆
相切，则双
曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】已知双曲线a 的一个焦点为
，可知焦点位于x 轴上，半焦距
.设双曲线方程为：
，渐近线方程为
.根据圆的方程可知圆心为焦点
，半径为
.
圆心到渐近线
的距离d 等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据
得到a，从
而计算出离心率.
【详解】已知双曲线a 的一个焦点为
，故焦点位于x 轴上，半焦距
.设双曲线方程为：
，渐近线方程为
.
已知圆得方程：
，圆心即为焦点
，半径为
.
圆心到渐近线
的距离d 等于半径r，由点到直线的距离公式可得：
，代入
得：
.
由
.
所以离心率
.
故选：C.
【变式训练1-2】已知圆
，直线
．
(1)若直线与圆
相切，求实数的值；
(2)直线与圆
相交于
、
两点，且
，求圆
的半径．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）将圆
的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解；
（2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得
，即可得解.
【详解】（1）由圆
的一般方程
可得标准方程
，则
，即
.
所以圆心
到直线
的距离
，
因为直线与圆
相切，所以
，解得
，满足
.
所以，
.
（2）由题意，联立
可得
，
设
，
则
，解得
，
根据韦达定理可得
，
则
，
所以
，满足
.
所以，圆
的半径满足
，故
.
题型2 圆的切线方程
例2-1 已知点
在圆
上，则过点M 的圆C 的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求得半径
，然后根据点斜式求得切线方程.
【详解】由于点
在圆
上，
所以
，所以圆
，
所以圆心
，
，
所以过点M 的圆C 的切线的斜率为
，
所以过点M 的圆C 的切线方程为
，
化简得
.
故答案为：
例2-2 已知圆
，直线过点
且与圆
相切．
(1)求直线的方程；
(2)设圆
与圆
关于直线对称，求出圆
的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点
在圆
上，切线与半径
所在直线垂直，求出切线斜率，利用点斜式求切线方
程；
（2）根据对称性先确定圆心
的坐标，再根据两圆半径相等可得圆
的方程.
【详解】（1）如图：
由题可得圆心
，
，
因为
，所以点
在圆
上，即点
为切点，
因
，故直线的斜率为
，
故直线的直线方程为
，即
.
（2）因为圆
与圆
关于直线对称，所以点
恰为
的中点，
故得
，又圆
的半径为
，故
.
方法技巧
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
【变式训练2-1】过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由圆切线的性质及已知求得
，再由二倍角正切公式求值.
【详解】化
为
，圆心为
，半径为2
所以点
到圆心的距离为
，则切线长为
，
所以
，则
.
故选：D
【变式训练2-2·变考法】过圆
外的点
作O 的一条切线，切点为A，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】B
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长.
【详解】由题意可知：圆O 的圆心为
，半径
，
所以
，即
．
故选：B.
【变式训练2-3·变载体】已知点
和点
是圆
直径的两个端点．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆
的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程；
（2）先应用斜率乘积为
得出斜率，再点斜式得出切线方程.
【详解】（1）由题意可得
的中点
，
∴圆心
，故半径
，
∴圆
的标准方程为
．
（2）∵为圆
的切线，∴
，则
，
∵
，∴
，
∴过点
的切线方程为
，即切线的方程为
．
题型3 圆的弦长和弦心距
例3-1 直线
被圆
截得的最长弦的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先确定直线过定点，然后判断定点在圆内，根据圆中的弦直径最长可以直接得出结果.
【详解】直线
过定点
.
圆C 的圆心为
，半径
.
定点在圆内，截得的最长弦为直径，
故选：C.
例3-2（多选）已知过原点
的直线交圆
于A，B 两点，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线的方程为
，且
，则
B．若M，N 为圆
上的任意两点，当
时，
的最大值为
C．若原点
在圆
外，则
D．当
时，AB 中点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】对于A，由直线过圆的圆心，即可验算；对于B，由
的最大值为
即可判断；对于C，
由切割线定理即可判断；对于D，分析可得，AB 中点的轨迹是以
为半径的半圆，由此即可验算.
【详解】由
，即圆心
，半径为2，
对于A，因为
，所以
在直线
上，即
，所以
，正确；
对于B，由
，所以
，即
在圆外，
所以
与圆相切时
最大，且
，
此时
，故
的最大值为
，错误；
对于C，根据切割线定理得
（点
为切点），
又
，所以
，正确；
对于
，由题设
，且
中点在以OC 为直径的圆上，圆心为
，半径为
，
所以其轨迹方程为
，且轨迹在圆
的内部，
联立
，可得相交弦所在直线为
，
显然
在直线
上，故AB 中点的轨迹是以
为半径的半圆，
所以轨迹长度为
，正确，
故选：ACD.
方法技巧 直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l 之间的关系r2＝d2＋2解
题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离
公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b 与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入
圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x1－x2|＝
【变式训练3-1】已知圆
截直线
所得的弦长为
．则圆M 与圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得参数
的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】由
，即
，故圆心
，半径
，
所以点
到直线
的距离
，故
，即
，
解得：
；所以
，
；又
，圆心
，
，
所以
，且
，即圆
与圆
相交，故选：B.
【变式训练3-2】在平面直角坐标系
中，直线
被圆
截得的弦长为2，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．2
C．
或
D．1 或
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】圆心到直线
的距离为
，
又
，解得：
或
．
故选：C
题型4 直线与圆的应用
例4-1 某圆拱桥的水面跨度12 米，拱高4 米，现有一船宽8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高
度约为（ ）（参考数据
，
）.
A．2.5 米
B．2.7 米
C．2.6 米
D．3.1 米
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将
代入求得纵坐标判断.
【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为
轴，过桥的最高点垂直于
轴的直线为
轴，建立
平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，
则
，
，
，
，
设圆拱桥所在圆的方程为
，
由已知得：
；
解得
，
.
故圆的方程为
令
，解得
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米），
故选：C.
例4-2（2025·湖南长沙·二模）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
向圆
引切线交椭圆于点
（在
轴上方），若
的面积为
，则椭圆的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先证明
即为椭圆的上顶点,再根据面积列出
的等式求离心率即可.
【详解】如图，
设圆
与
轴切于点
，与
切于点
，设椭圆与
轴正半轴交于点
，
下面证明
重合，
设
，
,
，而
，
与
重合，即点
是短轴的端点，
，
，
则
，所以
，
故选：C.
【变式训练4-1】如图，已知一艘停在海面上的海监船
上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区
域，一艘轮船从位于海监船正东
的
处出发，径直驶向位于海监船正北
的
处岛屿，速度为
．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1 小时
B．0.75 小时
C．0.5 小时
D．0.25 小时
【答案】C
【分析】以
为原点，东西方向为
轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和
半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【详解】如图，以
为原点，东西方向为
轴建立直角坐标系，
由题意可知
，
，圆
方程
，半径
，
直线
方程：
，即
，
设
到
距离为
，
则
，故直线与圆相交，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
如图，设直线与圆交点为
，取
中点
，连接
，则
，
所以
，
设监测时间为，则
（小时），
故轮船能被海监船检测到的时间是0.5 小时．
故选：C．
【变式训练4-2·变载体】“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，
用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱
形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深
寸，锯道
尺，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（ ）（注：
，尺
寸）
A．30 平方寸
B．40 平方寸
C．50 平方寸
D．60 平方寸
【答案】C
【分析】设该圆的半径为，根据圆的性质可知
垂直平分弦
，且
，在
中
根据勾股定理求出半径，进而可得
，再利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解.
【详解】设该圆的半径为，则
，
因为
，解得
.
又因为
，所以
，
所以扇形
的面积
，
三角形
的面积
，
所以阴影部分面积为
，
故该木材埋在墙壁中的截面面积约为50 平方寸.
故选：C.
题型5 圆与圆的位置关系
例5-1 圆
与圆
的位置关系为（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案.
【详解】由题意可知圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，
则
，
，
，
由
，则两圆相交.
故选：C.
例5-2 已知圆
和两点
、
，若圆
上存在点
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．6
C．3
D．4
【答案】D
【分析】由题知点
在圆
上，又在圆
上，再根据两个圆的位置关系求解即可.
【详解】解：由
得点
在圆
上，
所以，点
在圆
上，又在圆
上，
所以，两圆有交点，
因为圆
的圆心为原点
，半径为
，圆
的圆心为
，半径为.
所以，
，即
所以，
的最小值为
.故选：D
方法技巧
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关
系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
【变式训练5-1】圆
与圆
的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】B
【分析】判断圆心距与两圆半径之和、之差的关系即可判断两圆位置关系.
【详解】由
得圆心坐标为
，半径
，
由
得圆心坐标为
，半径
，
∴
，
，
∴
，即两圆相交.
故选：B.
【变式训练5-2】（多选）四照花美观而鲜艳，具有清热解毒、收敛止血的功能.曲线
的轨迹和四照花颇为相似，下列说法正确的是：（ ）
A．曲线C 所表示的图形有
条对称轴
B．能完全覆盖曲线C 的最小圆的面积为
C．直线
是曲线C 与圆
的公切线
D．P 为曲线C 上第一象限的点，直线
与坐标轴交于E、F 两点，不存在点P 使得
的直角
【答案】ABD
【分析】对于A，将
代入方程即可判断，对于B，确定第一象限曲线上的点
到原点距离的最大值即可判断；对于C，由第一象限圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；对于D，
确定以
为直径的圆的方程为：
，联立第一象限曲线
，进而
可求解.
【详解】对于A：设
为曲线
上任意一点，
将点
方程
，显然满足，
所以曲线关于
对称，故A 正确，
当
时，
，再结合A 中对称性，
可得：曲线图像
，
对于B：在第一象限，可知曲线对应的圆心坐标为
，半径为
，
所以曲线在第一象限内的点到原点距离最大值为
，
所以能完全覆盖曲线C 的最小圆，应该是以
为圆心，以
为半径的圆，面积为
，B 正确；
对于C：在第一象限，可知曲线对应的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到
的距离为：
，
所以直线
是曲线C 不相切，错误；
对于D：
，
则以
为直径的圆，圆心坐标为：
，半径为：
，
所以圆的方程为：
，
即：
，
第一象限曲线
，
两方程相减可得
，代入
，
可得：
，解得：
或
，此点在
轴上，
所以不存在点P 使得
的直角，D 正确，
故选：ABD
【变式训练5-3】（多选）已知点
，
分别在圆
，
上，
点
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
，
相交
B．
的最大值为
C．点
到直线
距离大于
D．当
最大时，
【答案】BCD
【分析】选项A 直接由两圆位置关系可判断；选项B 可以把
的最大值转化为两圆心距离加上两半径
即可得出；选项C，D 过点
直接作圆的切线，数形结合可得到最值.
【详解】对于选项 A：圆
的圆心为
，半径
；
圆
的圆心为
，半径
；
两圆心间距离：
，
， 因为
，所以两圆外离，不相交；故A 错误；
对于选项 B：点
在
上，点
在
上，两圆外离，
，故B 正确；
对于选项 C：过点A 作圆
的切线（取靠近圆
的一条），
过点
作切线的垂线垂足为
，过点
作
垂线，垂足为
，
此时
的长即为点
到直线
距离的最小值.
易知，在
中
，
，
；
因为
为圆
的切线，所以易得
；
，
，
，故C 正确；
对于选项D:过点A 分别作两圆的切线，切点分别为
，
，如下图所示：
由图易得
，此时
.故D 正确.
故选：BCD
题型6 圆的公共弦
例6-1（2025·天津北辰·三模）已知圆
与圆
相交的两个公共点所在
直线为，若与抛物线
交于
两点，则
.
【答案】20
【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求
出
.
【详解】已知圆
，圆
，将两式相减消去二次项可得直线的方程：
，即
.
联立直线与抛物线方程联立
，将
代入
可得：
，即
，
设
，
，由韦达定理可得
，
.
根据弦长公式
（其中
为直线的斜率），直线的方程为
，
其斜率
，则：
故答案为：20.
例6-2（2025·广东东莞·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，
再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长.
【详解】法1，两圆
与圆
均过点
，
，弦长为
.
法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程
，
圆
的圆心
到直线
的距离
，
故公共弦长为
.
故答案为：
.
方法技巧
两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在的直线方
程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定
理求解．
【变式训练6-1】若圆
与圆
的公共弦
的长为1，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．
中点的轨迹方程为
D．
中点的轨迹方程为
【答案】C
【分析】两圆方程相减求出直线AB 的方程，进而根据弦长求得
，即可判断A、B 选项；由圆的
性质可知直线
垂直平分线段
，进而可得
到直线
的距离，从而可求出
AB 中点的轨迹方程，因此可判断C、D 选项；
【详解】两圆方程相减可得直线AB 的方程为
，即
，
因为圆
的圆心为
，半径为1，且公共弦AB 的长为1，则
到直线
的距离为
，所以
，解得
，
故A、B 错误；由圆的性质可知直线
垂直平分线段
，所以
到直线
的
距离
即为AB 中点与点
的距离，设AB 中点坐标为
，因此
，
即
，故C 正确，D 错误；故选：C
【变式训练6-2】已知圆
与圆
交于A、B 两点，且
平分圆
的周长，则
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】由题知，弦
所在直线方程为
，且
在弦
所在直线上，进而得
.
【详解】解：因为圆
与圆
交于A、B 两点，
所以弦
所在直线方程为
，
因为圆
的圆心为
，
平分圆
的周长，
所以，
在弦
所在直线上，即
，
所以
.故选：C
题型7 圆的公切线
例7-1（2025·浙江·三模）若圆
与圆
（a，
）有且仅有一条公切
线，则从点
到圆
的切线长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，
，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆
与圆
内切，所以
，即
，所以点
，
又圆
的半径为1，所以切线长为
，
故选：C．
例7-2 若圆
与圆
有且仅有三条公切线，
．
【答案】
【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解.
【详解】易知圆
的圆心为
，半径为
，
由
，得到
，
则
，即
，圆
的圆心为
，半径为
，
因为圆
与圆
有且仅有三条公切线，所以圆
与圆
外切，
则
，即
，解得
，
故答案为：
.
方法技巧
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种
【变式训练7-1】（多选）已知圆
与圆
交于
两点，则（ ）
A．圆
与圆
有两条公切线
B．直线
的方程为
C．
D．线段
的垂直平分线的方程为
【答案】ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方
程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程.
【详解】由
，则圆心
，半径
，
由
，则圆心
，半径
，
所以
，即
，故两圆相交，
所以圆
与圆
有两条公切线，A 对；
两圆作差有
，整理得
，B 对；
由
到
的距离
，则
，C 错；
由B 知
，则线段
的垂直平分线的斜率
，
故线段
的垂直平分线的方程为
，D 对.
故选：ABD
【变式训练7-2】（多选）动点
在圆
：
上，动点
在圆
：
上，下列
说法正确的是（ ）
A．两个圆心所在的直线斜率为
B．两圆公切线有三条
C．
的最小值为0
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，即可判断两圆的位置关系，即可判断B、C、D，由两圆心坐标可求
出两圆心所在直线的斜率，即可判断A.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
；
圆
的圆心为
，半径为
；
两个圆心所在的直线的斜率
，故A 正确；
因为
，所以圆
与圆
相外切，
所以两圆公切线有三条，故B 正确；
因为圆
与圆
相外切，所以当点
与点
为切点时，
最小且最小值为
，故C 正确；
因为圆
与圆
相外切，所以两圆无公共弦，故D 错误.
故选：ABC.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点
，从而可得当
时，
的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
3．（全国·高考真题）圆
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】容易知道点
为切点，圆心
，设切线斜率为k，从而
，由此即可得解.
【详解】将圆的方程
化为标准方程得
，
∵点
在圆
上，∴点P 为切点．
从而圆心与点P 的连线应与切线垂直．
又∵圆心为
，设切线斜率为k，
∴
，解得
．
∴切线方程为
．
故选：D.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与
圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由
，则
，
解得
，
所以双曲线的渐近线为
，
当渐近线为
时，圆心
到该渐近线的距离
，不合题意；
当渐近线为
时，则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
6．（2025·天津·高考真题）
，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
交于C、D 两点，
，则
．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出
，再计算出圆心到直线的距离
，根据弦长公式
列等式求解即可.
【详解】因为直线
与
轴交于
，与
轴交于
，所以
，
所以
，
圆
的半径为，圆心
到直线
的距离为
，
故
，解得
；
故答案为：2.
7．（2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆
相切，且l 与抛物线
交于点
两点，若
，则
．
【答案】
【分析】根据圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，即可
根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆
和曲线
均关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
1.圆
内有一点
，AB 为过点P 且倾斜角为
的弦．
(1)当
时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据倾斜角以及
求解出直线
的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长
构成的直角三角形求解出
；
（2）根据条件判断出
，结合
和
点坐标可求直线
的方程.
【详解】（1）圆
的圆心
，半径
，
因为
，所以直线
的斜率
，
所以
，即
，
所以圆心
到
的距离
，
所以
；
（2）因为弦
被
平分，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，即
.
2.已知圆
与圆
外切，并且与直线
相切于点
，求圆
的方程．
【答案】
或
【分析】假设圆
方程，根据两圆圆心距等于半径之和、点
在圆
上和圆心与切点连线与切线
垂直可构造方程组求得结果.
【详解】由圆
的方程知：圆心
，半径为
；
设圆
的方程为：
，则圆心为
，半径为，
则
，解得：
或
，
圆
的方程为：
或
.
3.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部
分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能
通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据
）
【答案】0.4m
【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令
，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．
【详解】以正常水位时河道中央
为原点，过点
垂直于水面的直线为
轴，建立平面直角坐标系，如图
所示，
如图所示，则
，
，
三点的坐标分别为
，
，
，
又圆心
在
轴上，故可设
，
因为
，所以
，解得
，则
所以圆拱桥所在圆的方程为
，
当
时，
，
，因为水位暴涨了
，
所以船身要降低
，才能顺利地通过桥洞．
4.某同学在完成“已知圆
与圆
相交于A，B 两点，求直线
AB 的方程”的题目时，发现了一个现象：求得的公共弦AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直
线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项
，
后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于
两个圆
与
，直线
就是两个圆的公共弦所在直线的方程．
你认为他的猜想对吗？请说明理由．
【答案】错误，理由见解析
【分析】根据两圆位置关系讨论，即可得出答案.
【详解】若两圆相交，显然联立两个圆得到方程组的解都是两个圆的方程相减消掉二次项
，
后所得的
方程的解，
即两个公共点都满足方程，此时两个圆的方程相减消掉二次项
，
后所得的方程即为两个圆的公共弦所
在直线的方程；
若两圆相切或相离，此时两圆没有交线，
但是两个圆的方程相减消掉二次项
，
后仍然得到一条直线的方程，显然此时的直线不是公共弦所在直
线的方程.
故猜想错误.
5.已知圆
，圆
．试求
为何值时，两
圆
：
(1)相切；
(2)相交；
(3)外离；
(4)内含．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
(4)
【分析】根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系，由此可
构造方程或不等式求得结果.
【详解】（1）由圆
方程知：圆心
，半径
；
由圆
方程知：圆心
，半径
；
若两圆内切，则
，即
，又
，
；
若两圆外切，则
，即
，又
，
；
若两圆相切，则
或.
（2）若两圆相交，则
，即
，
又
，
，即当
时，两圆相交.
（3）若两圆外离，则
，即
，
又
，
，即当
时，两圆外离.
（4）若两圆内含，则
，即
，
又
，
，即当
时，两圆内含.
6.已知圆
，圆
，试判断圆
与圆
的位置关系.
【答案】圆
与圆
相交
【分析】解法1，联立两圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用判别式可判断结论；
解法2，将圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心距，和半径的和差比较，即可判断出结论.
【详解】解法1：将圆
与圆
的方程联立，得到方程组
，
①-②，得
，③
由③，得
，
把上式代入①，并整理得
④，
方程④的判别式
，
所以，方程④有两个不相等的实数根即方程组有两组不同的解，
因此圆
与圆
有两个公共点，故这两个圆相交.
解法2：把圆
的方程化成标准方程，得
，
圆
的圆心是
，半径
.
把圆
的方程化成标准方程，得
，
圆
的圆心是
，半径
.
圆
与圆
的连心线的长为
.
圆
与圆
的两半径之和
，两半径之差
，
因为
，即
，
所以圆
与圆
相交如图，它们有两个公共点A，B.
6.分别判断下列两个圆的位置关系：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)相交
(2)内切
【分析】（1）根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的位置关系；
（2）先将两圆的方程化为标准方程，再根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的
位置关系．
【详解】（1）由方程可知圆
的圆心为
，半径
；圆
的圆心为
，半径
，
因此两圆的圆心距
，
又因为
，所以
，故两个圆相交．
（2）将两圆的方程化为标准方程，分别为
，
，
由此可知圆
的圆心为
，半径
；圆
的圆心为
，半径
，
因此两圆的圆心距
，
又因为
，所以
，所以两圆内切．
