文档文本内容
第04 讲 随机事件、频率与概率
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 概率与频率 ........................................................................................................................... 3
知识点2 事件的运算 ........................................................................................................................... 4
知识点3 事件的关系 ........................................................................................................................... 4
题型破译......................................................................................................................................................5
题型1 随机事件之间关系的判断......................................................................................................5
题型2 随机事件的概率.........................................................................................................................7
【方法技巧】用频率估计概率
题型3 互斥事件与对立事件的判断
..........................................................................................9
【方法技巧】互斥事件与对立事件的判断
题型4 互斥事件与对立事件的概率
.......................................................................................11
【方法技巧】互斥事件与对立事件的概率
04 真题溯源·考向感知.........................................................................................................................................14
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）样本空间和随机
事件
（2）两个事件的关系
和运算
（3）频率与概率
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年北京卷第
18 题（1），4 分
2024 年上海卷第19 题
（1）、（2），9 分
2024 年北京卷第18 题
（1），4 分
2023 年全国新课标Ⅱ卷第
12 题 5 分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事
件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．
复习目标：
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
（2）理解事件间的关系与运算．
知识点1 概率与频率
一般地,随着试验次数
的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件
发生的频率
会逐渐稳定于事
件
发生的概率
.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率
来估计概率
.
自主检测下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定于事件A 发生的概率
【答案】D
【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A 错误；
对于B，在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性，故B 错误；
对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C 错误；
对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定
于事件A 发生的概率，故D 正确.
故选:D.
知识点2 事件的运算
定义
符号表示
图示
并事件
事件
与事件
至少一
个发生，称这个事件为
事件
与事件
的并事
件（或和事件）
或者
交事件
事件
与事件
同时发
生，称这个事件为事件
与事件
的交事件
（或积事件）
或者
自主检测已知随机事件
和
相互独立，且
，则
（ ）
A．0.9
B．0.85
C．0.8
D．0.78
【答案】A
【详解】因为事件
和
相互独立，
,
故
，
所以
.
故选：A.
知识点3 事件的关系
定义
符号表示
图示
包含关系
一般地，若事件
发
生，则事件
一定发
生，称事件
包含事件
(或事件
包含于事件
)
( 或
)
互斥事件
一般地，如果事件
与
事件
不能同时发生，
也就是说
是一个
不可能事件，即
，则称事件
与事件
互斥(或互不
相容)
对立事件
一般地，如果事件
和
事件
在任何一次试验
中有且仅有一个发生，
即
，且
，那么
称事件
与事件
互为
对立，事件
的对立事
件记为
，
且
.
自主检测（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：
所有样本空间，
“
”
点数为
“
i”，其中
，2，3，4，5，6，
点数不大于
“
2”，
点数大于
“
2”，
点数大于
“
4”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
，
C．
D．
，
为对立事件
【答案】ABC
【详解】由题知
与
不可能同时发生，所以
与
互斥，A 正确；
事件
包含基本事件
，事件
包含基本事件
，
因此
，
，B 正确；
事件
包含基本事件
，故
，C 正确；
与
不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D 错误．
故选：ABC
题型1 随机事件之间关系的判断
例1-1 下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；
自由下落的物体做匀速直线运动；
函数
③
④
在
定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
【答案】C
【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；
由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故
是不可能事件；
③
而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；
函数
在定义域上是增函数当且仅当
，所以
可能发生也可能不发生
④
.
根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.
故选：C.
例1-2 判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析.
【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象；
（2）明天上海局部地区下雨是随机现象；
（3）明年小明又大一岁是确定性现象.
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象.
如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象；
掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象.
【变式训练1-1】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
2020
①
年8 月18 日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
从标有
③
1，2，3，4 的4 张号签中任取一张，恰为1 号签；
向量的模不小于
④
0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】①
为随机事件，②为不可能事件，
为必然事件．
③
④
故选：B．
【变式训练1-2】下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖
B．在标准大气压下水加热到
，沸腾
C．异性电荷，相互排斥
D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【答案】A
【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A 是；
对于B，在标准大气压下水加热到
，沸腾是必然事件，B 不是；
对于C，异性电荷，相互吸引，因此异性电荷，相互排斥是不可能事件，
“
”
C 不是；
对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起是不可能事件，
“
”
D
不是.
故选：A
【变式训练1-3】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为
，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到
时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【答案】D
【详解】对于A，若正方形边长为
，由面积公式可知其面积为
，这是必然事件，故A 不合题意；
对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B 不合题
意；
对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到
，水才会沸腾，当温度是
时，水不会沸腾，这是
不可能事件，故C 不合题意；
对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D 符合题意.
故选：D.
题型2 随机事件的概率
例2-1 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100 名九年级男生进行测量，他们的身高x
（cm）统计如下表：
组别
人数
13
43
36
8
根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm 的概率是 ．
【答案】0.44/
【详解】因为身高高于170cm 的频率为
，
抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm 的概率是0.44.
故答案为：0.44
例2-2 对200 个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数
20
30
80
40
30
(1)估计元件的寿命在
（单位：h）内的概率；
(2)估计元件的寿命在
以上的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因表中200 个电子元件的寿命在
（单位：h）内的频率为
，
故由此估计元件的寿命在
（单位：h）内的概率为
；
（2）因表中200 个电子元件的寿命在
以上的频率为
，
故由此估计元件的寿命在
以上的概率为
.
方法技巧
频率
概率
用
估计
（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
【变式训练2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm 的电子靶，以距靶心距离
的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得优秀飞行员称号．现
“
”
随机抽取了100 名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：
cm）
人数
18
21
39
22
用频率估计概率，若随机抽取1 人，则此人为优秀飞行员的概率为（
“
”
）
A．0.18
B．0.21
C．0.39
D．0.40
【答案】C
【详解】由题可知，样本容量为100 人，获得优秀飞行员称号的人数为
“
”
人，
所以随机抽取1 人，此人为优秀飞行员的概率
“
”
．
故选：C
【变式训练2-2】某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20 个班一共抽取40
个人进行询问，其中各班人数均为50 人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】法一：全校总人数为
人，一共抽取40 人，
则被抽到的概率为
；
法二：一个班抽取的人数为
，
则被抽到的概率为
.
故选：B.
【变式训练2-3】某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3 局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生
之间的随机数，当出现随机
数
时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3 局，所以每3 个随机数为一组，例如，产生20 组
随机数；
603
099
316
696
851
916
062
107
493
977
329
906
355
860
375
107
347
467
822
166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9
B．0.95
C．0.8
D．0.85
【答案】A
【详解】设事件
为 甲获胜，
“
”
20 组随机数，其中事件
发生了18 次，
.
故选：A.
题型3 互斥事件与对立事件的判断
例3-1 某小组有4 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的
两个事件的是（ ）
A．至少有1 名男生和至少有1 名女生
B．至少有1 名男生和全是男生
C．至少有1 名男生和全是女生
D．恰有1 名男生和恰有2 名男生
【答案】D
【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1 名男生和至少有1 名女生同时发生，既不互斥也不对立，A 错误
B. 两名都是男生时，至少有1 名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B 错误
C. 至少有1 名男生和全是女生，是对立事件，C 错误
D. 恰有1 名男生和恰有2 名男生，互斥而不对立，D 正确.
故选：D
例3-2 投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A 为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B 为两枚骰子朝上的点
数均为奇数，则（ ）
A．A 为必然事件
B．B 为不可能事件
C．A 与B 为互斥但不对立事件
D．A 与B 互为对立事件
【答案】C
【详解】显然A 与B 都是随机事件，且A 与B 不能同时发生，但可能同时不发生，故A 与B 为互斥但不
对立事件.
故选：C.
方法技巧
互斥事件与对立事件判断
1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发
生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，
若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式训练3-1】从1～5 这5 个整数中随机抽取1 个数，记事件
抽到小于
“
3 的数，事件
”
抽到大于
“
2 的数，事件
”
抽到大于
“
1 的奇数，则（
”
）
A．
和
不互斥
B．
和
互斥且不对立
C．
和
不互斥
D．
和
互斥且不对立
【答案】D
【详解】这个试验的样本空间为
，
则
和
互斥且对立，
和
互斥且但不对立．
故选：D.
【变式训练3-2】从装有除颜色外其他完全相同的
个红球（编号为、
）和
个白球（编号为、
）的
口袋内任取
个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球
B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有
个白球
D．至少有个白球，都是红球
【答案】C
【详解】从口袋中任取
个球，所有的情况有：
个红球、个红球个白球、
个白球，
对于A 选项，至少有个白球包含：个红球个白球、
个白球，
A 选项中的两个事件不是互斥事件；
对于B 选项，至少有个红球包含：
个红球、个红球个白球，
B 选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球，
故B 选项中的两个事件不是互斥事件；
对于C 选项，恰有个白球，恰有
个白球，这两个事件是互斥且不对立；
对于D 选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件.
故选：C.
【变式训练3-3】（多选）从装有红球、白球和黑球各2 个的口袋内一次取出2 个球，则与事件两球都是
“
白球互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（
”
）
A．事件两球都不是白球
“
”
B．事件两球恰有一白球
“
”
C．事件两球至少有一个白球
“
”
D．事件两球不都是白球
“
”
【答案】AB
【详解】从口袋内一次取出2 个球，这个试验的样本空间
(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，
(红，黑)，(黑，白) ，包含6 个基本事件，
当事件两球都为白球发生时，事件两球都不是白球和事件两球恰有一白球不可能发生，满足互斥事
“
”
“
”
“
”
件的定义，
且两球都为白球不发生时，事件两球都不是白球不一定发生，事件两球恰有一白球不一定发生，故
“
”
“
”
“
”
非对立事件，故A、B 正确；
两球都为白球发生时，事件两球至少有一个白球可以发生，故不是互斥事件，故
“
”
“
”
C 错误；
事件两球不都是白球意思是两球至少有一个不是白球与事件两球都是白球是对立事件，
“
”
“
”
“
”
故D 错误.
故选：AB
题型4 互斥事件与对立事件的概率
例4-1 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输
的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C 三支球
队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A 队战胜B 队的概率为
，B 队战胜C 队的概率为
，C 队
战胜A 队的概率为
，则A 队进入决赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若第一局为A，B 两队比赛，则A 队进入决赛的概率
，
若第一局为A，C 两队比赛，则A 队进入决赛的概率
，
若第一局为B，C 两队比赛，则A 队进入决赛的概率
．
综上，所求概率
．
故选：C.
例4-2 甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为
，
，那么两人中恰有一人合格的概率是
．
【答案】
【详解】将两人中恰有1 人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况，
，
，
．
故答案为：
方法技巧
互斥事件与对立事件的概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和
公式计算．
（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式
，即运用逆向思维（正难则
反）．特别是至多
至少型题目，用间接法求解就显得较简便．
“
”“
”
【变式训练4-1】已知事件
互斥，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知：事件
互斥，则
，又
，
所以
，则
.
故选：D
【变式训练4-2】已知事件
与
互斥，事件
、
同时发生的概率为
，且
，则
．
【答案】
【详解】由题意知
，
因为
，所以
，
事件
与
互斥，则
，
由
，解得
，
所以
；
故答案为：
.
【变式训练4-3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6 道选择题，4 道判断题，甲、乙两人依次各抽1
题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为
．
（2）设甲、乙两人中至少有一人抽到选择题为事件
，则对立事件
为两人均抽到判断题，
故
．
1．（2018·全国III 卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现
金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】B
【详解】设事件A 为不用现金支付，
则
故选：B.
2．（多选）（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，
收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概
率为
. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是
指每个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三
次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的事件是发送1 接收1、发送0 接收0、发送1
接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，A 正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1 的事件，
是发送1 接收1、发送1 接收0、发送1 接收1 的3 个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
，B 正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1 的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1 和1，1，1 的事件
和，
它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为
，C 错误；
对于D，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0 的概率
，
单次传输发送0，则译码为0 的概率
，而
，
因此
，即
，D 正确.
故选：ABD
3．（2019·全国II 卷·高考真题）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换
发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概
率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又
打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4 且甲获胜的概率
”
.
【答案】（1）
；（2）0.1
【详解】(1)由题意可知，
所包含的事件为甲连赢两球或乙连赢两球
“
”
所以
(2)由题意可知，
包含的事件为前两球甲乙各得
“
分，后两球均为甲得分”
所以
【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出
以及
所包含的事件是解决
本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
1．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反
面算乙胜.这个游戏公平吗？
【答案】公平，理由见解析
【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4 种等可能结果：（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是
.
【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决策游戏的公平性，关键
在于准确求出概率.
2．盒子中仅有4 个白球和5 个黑球，从中任意取出一个球.
（1）取出的球是黄球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（2）取出的球是白球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（3）取出的球是白球或黑球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100 次，估计取出的球是白球的概率
“
”
.
【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析.
【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球是不可能事件
”
,它的概率为
.
(2)“取出的球是白球是随机事件事件
”
,它的概率是
.
(3)“取出的球是白球或是黑球是必然事件
”
,它的概率是
(4)用计算机产生1-9 的随机数,规定1-4 代表白球,5-9 代表黑球.
7
6
8
4
1
3
8
1
6
4
8
6
8
4
8
8
4
6
2
1
5
1
5
5
2
2
8
3
6
5
9
4
3
5
7
9
7
9
5
3
3
4
4
3
4
4
8
4
9
2
4
9
2
1
1
6
4
5
5
2
7
8
4
3
4
9
6
9
8
4
6
7
5
8
9
9
4
8
6
8
7
3
7
1
3
8
3
2
6
6
4
3
1
7
7
2
2
4
9
5
从表中可以查1-4 数据有46 个, 5-9 数据有54 个.
取出的球是白球的概率为
“
”
:
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100 次，记录每个面落
在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3 的面落在桌面上的概率.
四面体的面
1
2
3
4
频数
22
18
21
39
【答案】0.21
【详解】解：标记3 的面落在桌面上的频率为
，故其概率的估计100 值为0.21.
【点睛】此题考查频率与概率的关系，用频率估计概率.
4．在一个袋子中放6 个白球，4 个红球，揺匀后随机摸球3 次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件
第
“
i 次摸到红球，
”
i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件
发生的概率的大小关系；
（2）重复做10 次试验，求事件
发生的频率，并填入下表.
放回摸球
不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3 次摸到红球的频率
差别大吗？在不放回摸球方式下，事件
的频率差别大吗？请说明原因.
【答案】（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【详解】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，
红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；
（2）通过试验统计得：（结果不唯一）
放回摸球
不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3 次摸到红球的频率
差别不大，
两种摸球方式频率：
的频率差别很小，无论放回不放回，
不影响
的概率略有影响，因为试验次数较少，频率相比概率有一定偏差.
5．用事件
“
A 发生的频率，
估计概率
，重复试验次数n 越大,估计的就越精确，判断这种说法
”
是否正确，并举例说明
【答案】错误，举例说明见解析
【详解】解：这种说法是错误的，重复试验的次数n 越大，越有可能得到较准确的估计，但不能保证估计
越精确，如历史上的抛硬币试验，见下表.
试验者
总抛掷次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
德·摩根
4092
2048
0.5005
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
24000
12012
0.5005
罗曼诺夫斯基
80640
39699
0.4923
