专题四 概率与统计
第1 讲 统计与成对数据的统计分析
一、考点透析
考点1 用样本估计总体
方向1 图表分析估计总体
1.（多选题）(2025·安徽省六安市·模拟题)据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日
14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房(含点映、预售及海外票房)已超149.81亿元，
成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所
有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，
则( )
A. a=0.019
B. 观众年龄的众数估计为35
C. 观众年龄的平均数估计为30.2
D. 观众年龄的第70百分位数估计为38
【答案】BD
【解析】解：根据题意可得(0.010+a+0.022+0.025+0.020+0.005)×10=1，解得
a=0.018，故A 选项错误；
观众年龄在(30,40]频率最高，所以观众年龄的众数估计是35，故B 选项正确；
因为平均数估计为5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+ 45×0.2+55×0.05=29.2，
故C 选项错误；
前3组的频率之和为(0.010+0.018+0.022)×10=0.50，
前4组的频率之和为0.50+0.025×10=0.75，
故第70百分位数位于第4组，设其为t，
则(t −30)×0.025+0.50=0.70，解得t =38，
即第70百分位数为38，故D 选项正确．
故选：BD．
2．（25-26 高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5 名队员进行比赛，他
们得分的茎叶图如图．已知
，且
．
(1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中
和
的值；
(2)从得分在20 分及以上的队员中随机抽取2 名，求至少有1 名来自乙队的概率；
(3)若甲乙两队的队员平均分相等，求
的最大值，并写出此时
和
的值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
时，
的最大值是
.
【详解】（1）由茎叶图知：甲队分数为：6，14，28，34，
，
乙队分数为：12，25，26，
，31，
因为甲队队员得分的极差为32，
所以
，解得
，
又因为乙得分的平均值为24，
所以
，解得
.
（2）由图知，20 分以上的队员中，甲队有28、34、
共3 人，乙队有25、26、
、31 共4 人，总共7 人，
从7 人中随机抽取2 人，有
种，且每种情况等可能，
记“至少有1 名来自乙队”为事件A，
其对立事件是“2 名都来自甲队”，有
种，且每种情况等可能，
所以至少有1 名来自乙队的概率为
.
（3）甲队的平均数为
，
又
，
因为甲乙两队的队员平均分相等，所以
，即
，
则
，由
，解得
，
令
，由对勾函数的性质得
在
上递减，在
上递增，
又
，且
，
所以
的最大值是
，此时
，
.
方向2 样本的数字特征估计总体
1.(2025·福建省三明市·模拟)“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024
年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则
这组数据的( )
A. 第85百分位数为18
B. 众数为12
C. 中位数为17
D. 平均成绩为14
【答案】A
【解析】解：将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
对于A，因为10×0.85=8.5，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A 正确；
对于B，众数为17，故B 错误；
对于C，中位数为14 +17
2
=15.5，故C 错误；
对于D：平均数x = 1
10 (8+9+12+12+14+17+17+17+18+20)=14.4，故D 错误．
故选：A．
2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知样本数据x1, x2,⋯, x15的平均数为6，方差为16；
样本数据y1, y2,⋯, y10的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本
数据x1, x2,⋯, x15, y1, y2，⋯, y10的方差为( )
A. 18
B. 24
C. 26
D. 28
【答案】B
【解析】解：由题可得x1+ x2+⋯+ x15=6×15=90，
y2+ y2+⋯+ y10=11×10=110,
所以1
25 ( x1+ x2+⋯+ x15+ y1+ y2+⋯+ y10)= 1
25 ×(90+110)=8，
利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为：
15
25 ×[16+(6−8)
2]+ 10
25 ×[21+(11−8)
2]=24．
故选：B．
考点2 回归模型分析
1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)已知变量x和y的统计数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若x和y线性相关，则y关于x的回归直线方程为( )
(附：回归直线方程^y = ^a+ ^b x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b̂ =
∑
i=1
n
xi yi−n x y
∑
i=1
n
xi
2−n x
2
, â = y −b̂ x)
A. y =5 x +25
B. y =5.5 x +22.5
C. y =6 x +20
D. y =6.5 x +17.5
【答案】D
【解析】解：由题意得x = 2+ 4 +5+6+8
5
=5, y = 30+ 40+60+50+70
5
=50，
因为x1
2+ x2
2+ x3
2+ x4
2+ x5
2=145, x1 y1+ x2 y2+ x3 y3+ x4 y4+ x5 y5=1380，
所以b̂ = 1380−5×5×50
145−5×5
2
=6.5，
â = y −b̂ x =50−6.5×5=17.5
，
故回归直线方程为y =6.5 x +17.5，
故选：D．
2.(2025·山东省淄博市·模拟)某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月
到8月的物流成本x(单位：万元)和企业利润y(单位：万元)的数据(xi, yi)(i=1,2,⋯,8)，
已知其中一组数据为(80,106)且∑
i=1
8
xi=672，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为
ŷ =2.7 x −111.8
，则( )
A. 若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元
B. 1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C. 数据(80,106)对应的残差为−1.8
D. 删除一组数据(80,106)后，重新求得的回归直线的斜率变小
【答案】AB
【解析】解：根据回归方程为ŷ =2.7 x −111.8
可得，当x =85时，
ŷ =2.7×85−111.8=117.7
，
预测9月企业利润约为117.7万元，故A 正确；
由∑
i=1
8
xi=672，可得1月到8月的物流成本x的平均值x = 1
8∑
i=1
8
xi= 1
8 ×672=84，
设1月到8月企业的月平均利润为y，且点(x , y)满足回归直线，所以
y =2.7×84−111.8=115，
即1月到8月企业的月平均利润约为115万元，故B 正确；
当x =80时，ŷ =2.7×80−111.8=104.2
，数据(80,106)对应的残差为106−104.2=1.8，
故C 不正确；
删除该组数据(80,106)后，因为80小于样本中心点的横坐标84，
且106大于通过回归方程计算出的80对应的预测值104.2，
所以删除改点后，样本中心点向右上方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，故D 不正
确．
故选：AB．
3.(2025·湖南省·模拟)某科技公司对2012年至2024年的生产成本y(万元)进行统计，根据统
计数据作出如下散点图：
由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本y与时间变量x( x的值依次为1,2,⋯,13)
的经验回归方程类型的是( )
A. y =a x
2+b(a>0)
B. y =ax +b(a>0)
C. y =aln x +b(a<0)
D. y = a
x +b(a<0)
【答案】C
【解析】解：根据图中散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围，
A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的，故A 错误；
B选项是“直线型”的拟合函数，且是增加的，故B 错误；
D选项是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的，故D 错误；
只有C选项的拟合函数符合题意，故C 正确．
故选：C．
考点3 独立性检验
1.(2025· 湖北省襄阳市· 模拟) 在2×2列联表(表一)的卡方独立性检验中，
χ
2=
∑
1⩽i⩽2,1⩽j⩽2
( Ai, j−Bi, j)
2
Bi, j
，其中Ai, j为第i行第j列的实际频数，如A1,2=b，而Bi, j=第
i行的行频率×第j列的列频率×总频数，为第i行第j列的理论频数，如
B1,2=
a+b
a+b+c +d ×
b+d
a+b+c +d ×(a+b+c +d)．
a
b
c
d
(表一)
10
20
30
40
(表二)
(1)求表二2×2列联表的χ
2值；
(2)求
证
：
题
干
中
χ
2=
∑
1⩽i⩽2,1⩽j⩽2
( Ai, j−Bi, j)
2
Bi, j
与
课
本
公
式
χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(a+c)(b+d )(c +d )
等价，其中n=a+b+c +d．
【答案】(1) 50
63
(2)见解析
【解析】解：(1)由题意得B1,1=12，B1,2=18;B2,1=28，B2,2= 42，
∴χ
2= (10−12)
2
12
+ (20−18)
2
18
+ (30−28)
2
28
+ (40−42)
2
42
= 50
63
；
(2)2×2列联表如下：
a
b
a+b
c
d
c +d
a+c
b+d
a+b+c +d
则B1,1= a+b
n
× a+c
n
×n= (a+b)(a+c)
n
∴( A1,1−B1,1
)
2
B1,1
=
[a−(a+b)(a+c)
n
]
2
(a+b)(a+c)
n
= [a(a+b+c +d )−(a+b)(a+c)]
2
n(a+b)(a+c)
=
(ad −bc)
2
n(a+b)(a+c)
，
同理( A1,2−B1,2)
2
B1,2
=
(ad −bc)
2
n(a+b)(b+d)
，
( A2,1−B2,1)
2
B2,1
=
(ad −bc)
2
n(a+c)(c +d)
，
( A2,2−B2,2)
2
B2,2
=
(ad −bc)
2
n(b+d)(c +d)
，
∴χ
2=∑( Ai, j−Bi, j)
2
Bi. j
= (ad −bc)
2
n
[
1
a+b (
1
a+c +
1
b+d )+
1
c +d (
1
a+c +
1
b+d )]
=
n(ad −bc)
2
(a+b)(a+c)(b+d )(c +d )
．
2.(2025·吉林省松原市·模拟)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级
品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情
况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
s
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
t
400
(1)求s，t；
(2)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(3)依据小概率值α =0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量
有差异？
参考公式：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
，n=a+b+c +d．
附：
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)s=150，t =130
(2)能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【解析】解：(1)s=200−50=150，t =50+80=130；
(2)甲机床生产的产品中一级品的频率为150
200 =0.75，
乙机床生产的产品中一级品的频率为120
200 =0.6；
(3)由题可知a=150；b=50；c =120；d =80，n= 400，
所以χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d ) = 400×(150×80−50×120)
2
200×200×270×130
= 400
39 ≈10.256，
根据参考值可知10.256>6.635= x0.01，
所以能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
二、跟踪练习
1.(2025·浙江省·模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对
称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判
断，不正确的是( )
A. 图(1)的平均数=中位数=众数
B. 图(2)的众数<中位数<平均数
C. 图(2)的平均数<众数<中位数
D. 图(3)的平均数<中位数<众数
【答案】C
【解析】解：A：图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；
B、C：图(2)中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 正确，C 错误；
D：图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确．
故选：C．
2.(2025·四川省眉山市·模拟题)2024年12月26日，Deep Seek — V 3首个版本正式上线，
截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题
.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行
调查研究，下列说法正确的是( )
A. 甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数
r ≈0.97，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱
B. 乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为
ŷ =0.3 x +8
，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次
C. 丙小组用决定系数R
2来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的R
2分别约为
0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多
D. 丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值α =0.1的χ
2独立性检
验，计算得到χ
2=3.837>2.706= x0.1
，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异
【答案】C
【解析】解：对于A，由r的绝对值越接近1，相关性越强可得A 错误，故A 错误；
对于B，回归方程为ŷ =0.3 x +8
给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁
的群体每周使用频次不一定为17次，故B 错误；
对于C，R
2表示模型对因变量的解释比例，R
2大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回
归方程①的好很多，故C 正确；
对于D，χ
2=3.837>2.706= x0.1
，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异,故D
错．
故选：C．
3.（多选题）(2025·湖北省武汉市·模拟)下列说法中正确的是( )
A. 若一组样本数据( xi, yi)(i=1,2,⋯,n)的对应样本点都在直线y = 1
2 x−1上，则这组样
本数据的相关系数为1
2
B. 若样本数据x1，x2，⋯，x9的方差为4,则数据3 x1+1，3 x2+1，⋯，3 x9+1的标准差
是6
C. 以模型y =c e
kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z = ln y，求得线性回归方程
为ẑ =0.3 x + 4
，则c，k的值分别为e
4和0.3
D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29，31，37，40，41，50;乙组数据为24，
30，33，44，48，52，60，68，70，80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40
百分位数之和为75
【答案】BC
【解析】解：对于A，若一组样本数据( xi, yi)(i=1,2,⋯,n)的对应样本点都在直线
y = 1
2 x−1上，则这组样本数据的相关系数为1，故A 错误;
对于B，若样本数据x1，x2，⋯，x9的方差为4，则数据3 x1+1，3 x2+1，⋯，3 x9+1的
方差是3
2×4 =36，所以标准差为6，故B 正确;
对于C，z = ln y，ẑ =0.3 x + 4
，y =e
z=e
0.3 x + 4=e
4⋅e
0.3 x，故C 正确;
对于D，因为6×30 % =1.8，10×40 % = 4，所以甲组数据的第30百分位数为31，乙组数
据的第40百分位数是44 + 48
2
= 46，31+ 46=77，故D 错误．
故选BC．
4.（多选题）(2025·四川省绵阳市·模拟)某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一
次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布
直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是( )
A. a=0.005
B. 评分在[50,60)的人数约为20
C. 估计评分的下四分位数为65
D. 估计评分的平均数为76.5
【答案】ABD
【解析】解：对A，由频率之和为1得10(2a+ 4 a+6a+5a+3a)=1，解得a=0.005，故
A 正确；
对B，评分在[50,60)的频率为0.1，故人数约为20，故B 正确；
对C，下四分位数频率为0.25，故下四分位数为67.5，故C 错误；
对D，平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.15=76.5，故D 正确．
故选：ABD．
5.(2025·湖北省武汉市·模拟)近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市
场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主
要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期
的统计数据：
日期代码x
1
2
3
4
5
电池级碳酸锂价格y(十万元/吨)
4.1
3.9
3.8
m
3.9
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ =−0.05 x + â
，根据数据计算出在样本点
(3,3.8)处的残差为−0.1，则â −m
的值为 ．
【答案】0.25
【解析】解：由题知3.8−y
^
=3.8−(a
^
−0.05×3)=−0.1，可得â = 4.05
，
又x = 1+2+3+ 4 +5
5
=3，y = 4.1+3.9+3.8+m+3.9
5
= 15.7+m
5
，
由15.7+m
5
=−0.05×3+ 4.05，可得m=3.8，
故â −m=0.25
．
故答案为0.25．
6.(2025·陕西省西安市·模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，
得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如表．
亩
产
量
[900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200)
频
数
10
11
22
30
20
7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为x
−，标准差的估计值为s.(同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表)
(1)求x
−，s
2；
(2)判断该新型水稻能否推广种植(在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在
( x
−
−3 s
2 , x
−
+ 3 s
2 )内，则认为该新型水稻能推广种植)．
【答案】(1)x
−=1055
(2)该新型水稻不能推广种植．
【解析】解：(1)由频数分布表可得
x
−
= 1
100 ×(10×925+11×975+22×1025+30×1075+20×1125+7×1175)=1055，
所
以
s
2= 1
100 ×[10×(925−1055)
2+11×(975−1055)
2+22×(1025−1055)
2+30×(1075−1055)
2+20×(1125
(2)因为s=
√4700=10
√47<70，
所以x
−
−3 s
2 >1055−3
2 ×70=950，x
−
+ 3 s
2 <1055+ 3
2 ×70=1160，
所以( x
−
−3 s
2 , x
−
+ 3 s
2 )⊆(950,1160)，
因为亩产量在[900,950)内的稻田有10块，所以亩产量在(950,1160)内的稻田不超过90块，
即亩产量在( x
−
−3 s
2 , x
−
+ 3 s
2 )内的稻田不超过90块，
故该新型水稻不能推广种植．
