文档文本内容
第04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 直线与圆的位置关系...........................................................................................4
知识点2 圆的切线方程.......................................................................................................4
知识点3 直线被圆截得的弦长...........................................................................................5
知识点4 圆与圆的位置关系...............................................................................................5
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 直线与圆的位置关系
........................................................................................6
【方法技巧】点到直线的距离
题型2 圆的切线方程...........................................................................................................6
题型3 圆的弦长和弦心距
............................................................................................7
【方法技巧】几何法结合勾股定理
题型4 直线与圆的应用
.................................................................................................8
题型5 圆与圆的位置关系...................................................................................................9
题型6 圆的公共弦.............................................................................................................10
题型7 圆的公切线.............................................................................................................11
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................11
05 课本典例·
考
高
素材........................................................................................................................12
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1．直线与圆的三种位
置关系
2．求直线与圆相交时
弦长
3．圆与圆的位置关系
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第7
题，5 分；
天津卷，12 题，5
分；
全国甲卷，12 题，5
分；
新课标I 卷，第6 题，5
分；
新课标II 卷，第15 题，5
分；
考情分析：
1. 主要通过直线与圆、圆与圆的位置关系判断切线、弦长、公切线、公共弦等问题。考查数学运算能力和对代数
方法处理几何问题的理解。
2. 题型分析：选择题：直接考查直线与圆、圆与圆的位置关系判断。填空题：求解与直线与圆、圆与圆位置关系
相关的弦长、切线方程、公共弦方程等。解答题：结合其他知识点（如不等式、函数、三角形面积等）考查最值
问题。
3.预计未来的高考数学试卷中，直线与圆、圆与圆的位置关系仍将是重要的考查内容。
可能会结合其他知识点进行综合考查，如结合不等式、函数、三角形面积等求解最值问题。
考查形式可能会更加灵活多样，要求考生具备更强的分析问题和解决问题的能力。
复习目标：
1.理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法
2.会求与圆有关的直线方程与圆的方程
3.会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等
4.会求待定参数并能解决与之相关的综合问题
5.掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法
6.应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题.
知识点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C 有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C 相交；
有一组实数解时，直线与圆C 相切；
无实数解时，直线与圆C 相离．
（2）几何法：
由圆C 的圆心到直线的距离
与圆的半径
的关系判断：
当
时，直线与圆C 相交；
当
时，直线与圆C 相切；
当
时，直线与圆C 相离．
自主检测（多选）已知直线
（
不同时为0），圆
，则（ ）
A．当
时，直线与圆
不可能有交点
B．当
时，直线与圆
相切
C．当
时，直线与坐标轴相交于
两点，则圆
上存在点
，使得
的面积为
D．当
时，与圆
外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
知识点2 圆的切线方程
1、点
在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率
与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于
，即
．
法二：圆心
到直线的距离等于半径
．
2、点
在圆外，则设切线方程：
，变成一般式：
，因为与
圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出
．
自主检测过原点且与圆
相切的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 直线被圆截得的弦长
1、应用圆中直角三角形：半径
，圆心到直线的距离
，弦长具有的关系
，这也是求弦长
最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
自主检测直线
与圆
交于
，
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设
的半径为
，
的半径为
，两圆的圆心距为
．
当
时，两圆相交；
当
时，两圆外切；
当
时，两圆外离；
当
时，两圆内切；
当
时，两圆内含．
自主检测已知圆
，圆
，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
题型1 直线与圆的位置关系
例1-1 直线
和圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
例1-2 直线
交圆
于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
方法技巧
(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的
局限性，必须是过定点的直线系．
【变式训练1-1】已知双曲线a 的一个焦点为
，且双曲线的渐近线与圆
相切，则双
曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1-2】已知圆
，直线
．
(1)若直线与圆
相切，求实数的值；
(2)直线与圆
相交于
、
两点，且
，求圆
的半径．
题型2 圆的切线方程
例2-1 已知点
在圆
上，则过点M 的圆C 的切线方程为 ．
例2-2 已知圆
，直线过点
且与圆
相切．
(1)求直线的方程；
(2)设圆
与圆
关于直线对称，求出圆
的方程；
方法技巧
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
【变式训练2-1】过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2·变考法】过圆
外的点
作O 的一条切线，切点为A，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式训练2-3·变载体】已知点
和点
是圆
直径的两个端点．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆
的切线，求切线的方程．
题型3 圆的弦长和弦心距
例3-1 直线
被圆
截得的最长弦的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（多选）已知过原点
的直线交圆
于A，B 两点，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线的方程为
，且
，则
B．若M，N 为圆
上的任意两点，当
时，
的最大值为
C．若原点
在圆
外，则
D．当
时，AB 中点的轨迹长度为
方
法技巧
直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l 之间的关系r2＝d2＋2解
题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离
公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b 与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入
圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x1－x2|＝
【变式训练3-1】已知圆
截直线
所得的弦长为
．则圆M 与圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【变式训练3-2】在平面直角坐标系
中，直线
被圆
截得的弦长为2，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．2
C．
或
D．1 或
题型4 直线与圆的应用
例4-1 某圆拱桥的水面跨度12 米，拱高4 米，现有一船宽8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高
度约为（ ）（参考数据
，
）.
A．2.5 米
B．2.7 米
C．2.6 米
D．3.1 米
例4-2（2025·湖南长沙·二模）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
向圆
引切线交椭圆于点
（在
轴上方），若
的面积为
，则椭圆的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1】如图，已知一艘停在海面上的海监船
上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区
域，一艘轮船从位于海监船正东
的
处出发，径直驶向位于海监船正北
的
处岛屿，速度为
．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1 小时
B．0.75 小时
C．0.5 小时
D．0.25 小时
【变式训练4-2·变载体】圆材埋壁是《九章算术》中的一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯
“
”
“
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯
”
去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木
材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深
寸，锯道
尺，
则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（ ）（注：
，尺
寸）
A．30 平方寸
B．40 平方寸
C．50 平方寸
D．60 平方寸
题型5 圆与圆的位置关系
例5-1 圆
与圆
的位置关系为（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
例5-2 已知圆
和两点
、
，若圆
上存在点
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．6
C．3
D．4
方法技巧
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关
系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
【变式训练5-1】圆
与圆
的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【变式训练5-2】（多选）四照花美观而鲜艳，具有清热解毒、收敛止血的功能.曲线
的轨迹和四照花颇为相似，下列说法正确的是：（ ）
A．曲线C 所表示的图形有
条对称轴
B．能完全覆盖曲线C 的最小圆的面积为
C．直线
是曲线C 与圆
的公切线
D．P 为曲线C 上第一象限的点，直线
与坐标轴交于E、F 两点，不存在点P 使得
的直角
【变式训练5-3】（多选）已知点
，
分别在圆
，
上，
点
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
，
相交
B．
的最大值为
C．点
到直线
距离大于
D．当
最大时，
题型6 圆的公共弦
例6-1（2025·天津北辰·三模）已知圆
与圆
相交的两个公共点所在
直线为，若与抛物线
交于
两点，则
.
例6-2（2025·广东东莞·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
方法技巧
两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在的直线方
程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定
理求解．
【变式训练6-1】若圆
与圆
的公共弦
的长为1，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．
中点的轨迹方程为
D．
中点的轨迹方程为
【变式训练6-2】已知圆
与圆
交于A、B 两点，且
平分圆
的周长，则
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
题型7 圆的公切线
例7-1（2025·浙江·三模）若圆
与圆
（a，
）有且仅有一条公切
线，则从点
到圆
的切线长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
例7-2 若圆
与圆
有且仅有三条公切线，
．
方法技巧
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种
【变式训练7-1】（多选）已知圆
与圆
交于
两点，则（ ）
A．圆
与圆
有两条公切线
B．直线
的方程为
C．
D．线段
的垂直平分线的方程为
【变式训练7-2】（多选）动点
在圆
：
上，动点
在圆
：
上，下列
说法正确的是（ ）
A．两个圆心所在的直线斜率为
B．两圆公切线有三条
C．
的最小值为0
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
3．（全国·高考真题）圆
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与
圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
6．（2025·天津·高考真题）
，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
交于C、D 两点，
，则
．
7．（2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆
相切，且l 与抛物线
交于点
两点，若
，则
．
1.圆
内有一点
，AB 为过点P 且倾斜角为
的弦．
(1)当
时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
2.已知圆
与圆
外切，并且与直线
相切于点
，求圆
的方程．
3.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部
分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能
通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据
）
4.某同学在完成已知圆
“
与圆
相交于A，B 两点，求直线AB
的方程的题目时，发现了一个现象：求得的公共弦
”
AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直线的
方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项
，
后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个
圆
与
，直线
就是两个圆的公共弦所在直线的方程．
你认为他的猜想对吗？请说明理由．
5.已知圆
，圆
．试求
为何值时，两
圆
：
(1)相切；
(2)相交；
(3)外离；
(4)内含．
6.已知圆
，圆
，试判断圆
与圆
的位置关系.
6.分别判断下列两个圆的位置关系：
(1)
；
(2)
．
