文档文本内容
第04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01
考情解码·命题预警
2
02 体系构建·思维可视..............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..............................................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................................3
知识点1 直线与平面垂直.............................................................................................................................3
知识点2 平面与平面垂直.............................................................................................................................4
知识点3 线面角和二面角.............................................................................................................................5
题型破译.............................................................................................................................................6
题型1 有关垂直命题的判断.........................................................................................................................6
题型2 线面垂直的判定与性质
.............................................................................................................7
题型3 面面垂直的判定
.......................................................................................................................10
【方法技巧】面面垂直推线面垂直的思路
题型4 面面垂直的性质
.......................................................................................................................12
题型5 几何法求线面角...............................................................................................................................14
【方法技巧】几何法求线面角的求解步骤
题型6 几何法求面面角...............................................................................................................................16
【方法技巧】几何法求面面角的常见方法
题型7 线面垂直的探索性问题..................................................................................................................18
题型8 面面垂直的探索性问题..................................................................................................................20
04 真题溯源·考向感知............................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材............................................................................................................................26
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）直线与平面垂直
的判定与性质
（2）平面与平面垂直
的判定与性质
（3）直线与平面的夹
角和二面角
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T9(6
分) 、T17 （15
分）
北京卷T14 （5
分）
天津卷T17 （15
分）
全国 I 卷T17（15 分）
全国II 卷 T7（5 分）、
T17（15 分）
全国甲卷（文）T18（12
分）
全国甲卷（理）T18（12
分）
全国乙卷（文）T19（12
分）
全国乙卷（理）T9 （5
分）、T19（12 分）
全国 II 卷T20（12 分）
考情分析：
该内容是新高考卷的重点考查内容，题型涵盖选择、填空及解答题，分值约5-10 分。解答题中常作为第一问
考查线面或面面垂直的证明，需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，难度
中等。选择题则侧重垂直关系的判定，需注意定理中 “相交直线” 等关键条件。
近年命题更注重逻辑推理与空间结构的结合，动态问题（如翻折、动点）增多，需灵活运用性质转化条件。
例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。备考时要强化定理条件的严谨性，熟练通过几何构造（如找
垂线、证线线垂直）完成推理，避免忽略定理核心条件导致失误。
复习目标：
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.
知识点1 直线与平面垂直
1.判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线线垂直
线面垂直
如果一条直线与一个平面
内的两条_______直线垂
直，那么该直线与此平面
垂直
2.性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直
线线垂直
一条直线垂直于一个平面，它
就和平面内的_______一条直
线垂直
线面垂直
线线平行
垂直于同一个平面的两条直线
_______.
推论：
①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
③垂直于同一条直线的两个平面_______.
自主检测如图，四棱锥
中，面
是正方形，.
(1)若
平面
，求证：
平面
；
(2)若
点为
的中点，求证：
.
知识点2 平面与平面垂直
1.判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直
面面垂直
如果一个平面过另一个平
面的_______，那么这两个
平面垂直
2.性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
面面垂直
线面垂直
两个平面垂直，如果一个平面
内有一直线垂直于这两个平面
的_______，那么这条直线与
另一个平面垂直
自主检测如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
和
均为等腰直角三角形，且
，
.证明：平面
平面
知识点3 线面角和二面角
1.直线和平面所成的角
定义
一条直线和一个平面
相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线，斜线和平面的交点
叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点
向平面
引
_______
，过垂足
和斜足
的直线
叫做斜线在这个平面上的射影，平
面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成
的角.
画法
取值范围
规定
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
2.二面角的概念
定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
二面角的平面角
①
；②
；③
，
则二面角
的平面角是
．
取值范围
_______
自主检测1．如图，正方体
中，点
为
中点，则直线
与平面
所成角的余弦
值为 .
2．如图，已知三棱锥
的各棱长均为2，则平面
和平面
所成角的余弦值为： ．
题型1 有关垂直命题的判断
例1-1 已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中不正确命题的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例1-2 已知
，
为两条不同的直线，
，
为两个不同的平面，则下列表述正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【变式1-1】（多选）已知
是两个不同的平面，
是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式1-2】（多选）已知，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是
（ ）
A．若
且
，则
B．若
，
，
，
共面，则
C．若不垂直于
，且
，则必不垂直于
D．若
且
，则
题型2 线面垂直的判定与性质
例2-1（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，则满足直
线
的图形有（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 如图，在正三棱柱
中，D 为AB 的中点，
.
(1)证明：
.
(2)证明：
平面
.
(3)证明：
⊥平面CDE.
【变式2-1】如图，在正四棱柱
中，
是
的中点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)证明：
平面
.
【变式2-2】如图，在正三棱柱
中，D 为AB 的中点，
，
．
(1)证明：
．
(2)证明：
平面
．
【变式2-3】如图所示，在正方体
中，
与
，
都垂直相交，垂足分别是点
、
点
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【变式2-4】如图，在三棱台
中，
，∠BAC=60°，
，
，三棱台
的体积为
．
(1)证明：
平面
；
题型3 面面垂直的判定
例3-1 如图，在长方形ABCD 中，
，
，M 是边CD 的中点，将
沿直线
翻折至
，使得
，连接
，得到四棱锥
．
(1)求证：平面
平面
；
例3-2 如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
，
，
底面
，
，点E 在棱
上．
(1)求证：平面
平面
；
【变式3-1·变题型】如图，在正方形
中，E，F 分别为边
的中点，将
，
，
分别沿
折起；使
三点重合于点G，则在四面体
中，与平面
垂直的一
个平面为 .
【变式3-2】如图，在正四棱柱
中，
，垂足为E．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【变式3-3】如图，正方形
所在的平面与直角梯形
所在的平面互相垂直，已知
，
，点
在线段
上.
(1)求证：平面
平面
；
题型4 面面垂直的性质
例4-1 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
底面
，
分别为侧棱
的中点，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求四棱锥
的体积.
例4-2 如图，菱形
所在的平面与矩形
所在的平面相互垂直.
(1)证明：直线
平面
；
(2)若平面
平面
，求
的值；
方法技巧 面面垂直推线面垂直的思路
先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,
一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直
问题,进而转化为线线垂直问题.
【变式4-1】已知菱形
的边长为2，
．将菱形
沿对角线
折起，使得
，则
三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式4-2】如图，等腰直角三角形
所在平面与半圆弧
所在平面垂直，
为
的中点，且
，
是
上异于
、
的点，
是
的中点.
(1)证明：
平面
【变式4-3】如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是正方形，侧面
底面ABCD，且
，若E、F 分别为PC、BD 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【变式4-4】如图，三棱柱
中，
，点
在底面
上的射影
在
上．
(1)求证：
；
题型5 几何法求线面角
例5-1 如图，已知正四棱锥
的高
为4，棱AB 的长为2，点H 为侧棱PC 上一动点，则当
面积的最小值时，OH 与平面ABCD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 如图，在四棱锥
中，
平面
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
的夹角.
方法技巧 几何法求线面角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
【变式5-1】在正三棱台
中，
，
分别为棱
，
的中点，
，
，则直线
与平面
所成角的余弦值为 .
【变式5-2】如图，已知
是圆柱下底面圆的直径，点C 是下底面圆周上异于A，B 的动点，
，
是
圆柱的两条母线.
(1)证明：
平面
；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C 为弧
的中点时，求直线
与平面
所成角的正切
值.
【变式5-3】如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，E 为
的中点，点F
在棱
上，直线
和直线
相交.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
.
（i）证明：
平面
；
（ii）求直线
与平面
所成的角.
题型6 几何法求面面角
例6-1 已知正四棱台
的上、下底面边长分别为
，
，体积为
，则此四棱台的侧面
与下底面所成二面角的正弦值为 .
例6-2 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A，B 的任意一点.
(1)证明：
平面PAC；
(2)若
，求二面角
的平面角的正弦值.
方法技巧 几何法求面面角的常见方法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半
平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角；
（2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它
也和这条斜线垂直.
【变式6-1】如图，已知圆锥的顶点为P，O 为底面圆心，母线
互相垂直，且
，直线
与圆锥底面所成角为
，则二面角
的大小为 ．
【变式6-2】如图，在空间四边形
中，
是正三角形，
是等腰直角三角形，且
，又二面角
为直二面角，则二面角
的正切值为 .
【变式6-3】在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
底面
，
，
，
.
(1)若点
是线段
上任意一点，且平面
交棱
于点
，求证：
；
(2)①证明：
；
②设侧面
为等边三角形，求二面角
的余弦值.
题型7 线面垂直的探索性问题
例7-1 如图，长方体
中，
，
，点P 为
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成的角的正弦值；
(3)在直线
上是否存在点Q 使得
平面
，若存在，则此时
为多少；若不存在，请说明理由.
例7-2 如图，在正三棱柱
中，
，点M 为
的中点.
(1)求点A 到平面
的距离；
(2)在棱
上是否存在点Q，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-1】如图，直三棱柱
，
，
分别是
，
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，在棱
上是否存在点
，使
平面
.如果存在，求出点
的位置，如
果不存在，请说明理由.
【变式7-2】如图，在三棱锥
中，平面
平面ABC，
，
，
，点M 为AC 的中点．
(1)求证：平面
平面PAB；
(2)线段PC 上是否存在点N，使得
平面BMN?若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】若图，三棱柱
的侧面
是平行四边形，
，
，且
、
分别是
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
题型8 面面垂直的探索性问题
例8-1 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
是正三角形，侧面
底面
，M 是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点N 使平面
平面
成立？如果存在，求出
；如果不存在，说明理由．
例8-2 如图，在正三棱柱
中，
为
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
(3)在
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【变式8-1】如图，在四棱锥
，
底面正方形
，
为侧棱
的中点，
.
(1)求四棱锥
体积；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，请说明
点的位置，若不存在，请
说明理由.
【变式8-2】（ 2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱
中，侧面
是矩形，侧面
是菱形，
，
、
分别为棱
、
的中点，
为线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在一点
，使平面
平面
？若存在，请指出点
的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
【变式8-3】如图，在三棱台
中，
，∠BAC=60°，
，
，三棱台
的体积为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
【变式8-3】如图，在三棱台
中，
，∠BAC=60°，
，
，三棱台
的体积为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒
出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面
是全等的等腰三角形．若
，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平
面
的夹角的正切值均为
，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
(2)求二面角
的大小．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱
中，
平面
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，求四棱锥
的高．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
8．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求三棱锥
的体积．
1．如图，在正三棱柱
中，E 为棱
的中点，
.求证：
.
2．如图，四棱锥
的底面是正方形，
平面
，求证：
平面
.
3．如图，在直四棱柱
中，当底面四边形
满足什么条件时，
？
4．如图，在正三棱柱
中，D 为棱
的中点，求证：平面
平面
.
5．如图，在三V-ABC 中，
，作出二面角V-AB-C 的平面角，并求出它的
余弦值.
6．如图，AB 是
的直径，点C 是
上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于
所在平面，D，E 分别
是VA，VC 的中点，判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由.
