文档文本内容
第05 讲 古典概型与概率的基本性质
目录
01 考情解码・命题预警............................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视...............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚...............................................................................................................................3
知能解码........................................................................................................................................3
知识点1 古典概型 ....................................................................................................................3
知识点2 古典概型的概率公式 ...............................................................................................4
知识点3 概率的性质 ................................................................................................................4
题型破译........................................................................................................................................5
题型1 古典概型的特征..............................................................................................................5
【方法技巧】古典概型特征
题型2 几何中的古典概型问题.................................................................................................7
题型3 数列中的古典概型..........................................................................................................9
题型4 统计中的古典概型.......................................................................................................11
题型5 有放回与无放回中的古典概型..................................................................................15
题型6 根据古典概型的概率求参数......................................................................................19
题型7 概率的基本性质...........................................................................................................22
04 真题溯源·考向感知............................................................................................................................24
05 课本典例·高考素材............................................................................................................................27
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）古典概型
（2）概率的基本性质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
17 题（2），4 分
2024 年甲卷（文）第4
题，5 分
2024 年甲卷（理）第12
题，5 分
2023 年北京卷第13 题
（1），4 分
2023 年甲卷（理）第9
题，5 分
2023 年甲卷（文）第4
题，5 分
2023 年天津卷第13 题，5
分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．经常出应用型题目，与
生活实际相结合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关系，找到适
合的公式计算概率．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．
复习目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式．
（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．
知识点1 古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
自主检测下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10 环，命中9 环，…，命中0 环
【答案】B
【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A 错误；
对于B，任取一球的概率相同，均为
，故B 正确；
对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C 错误；
对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10 环，命中9 环，…，命中0 环的概率不
等，不满足等可能性，故D 错误.
故选：B.
知识点2 古典概型的概率公式
一般地，设试验
是古典概型，样本空间
包含
个样本点，事件
包含其中的
个样本点，则定义事
件
的概率
.
其中，
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数．
自主检测从大于1 且小于50 的整数中任意选取1 个，则被选取的整数是质数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】大于1 且小于50 的整数共有48 个，
其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15 个，
因此所求概率为
.
故选：C.
知识点3 概率的性质
1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件
，都有
；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
，
；
性质5：如果
，那么
，由该性质可得，对于任意事件
，因为
，所以
.
2：互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件
与事件
互斥，那么
；
注意：只有事件
与事件
互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
3：对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件
与事件
互为对立事件，那么
，
；
4：概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设
，
是一个随机试验中的两个事件，有
自主检测假设
，
，且A 与B 相互独立，则
．
【答案】
【详解】由
，
，且A 与B 相互独立，
则
，
所以
．
故答案为：
．
题型1 古典概型的特征
例1-1 下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2 个白球和3 个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【详解】根据古典概型的两个特征进行判断.
A 项中两个基本事件不是等可能的，
B 项中基本事件的个数是无限的，
D 项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，
C 项符合古典概型的两个特征.
故选：C
例1-2(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人作典型发言，甲被选中的概率
【答案】BD
【详解】A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；
B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；
C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；
D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的；
故选：BD
方法技巧 古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
【变式训练1-1】下列是古典概型的个数有（ ）
①已知
且
，从
中任取一个数，则满足
的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为11 的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
10
④
个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能.
所以①为几何概型，②③④为古典概型.
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题.
【变式训练1-2】（多选）下列是古典概型的为（ ）
A．从6 名同学中随机选出4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．在区间
上任取一数，求这个数大于2 的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】AD
【详解】古典概型具有有限性、等可能性的特征，显然A、D 满足，
B 中基本事件的个数是无限个，不是古典概型，
C 中每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.
故选：AD
【变式训练1-3】（多选）下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为
，若随机事件
包含
个样本点，则事件
发生的概率
【答案】ACD
【详解】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.
故AC 正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B 不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D 正确．
故选：ACD
题型2 几何中的古典概型问题
例2-1 如图，从正六边形ABCDEF 的顶点和该正六边形的中心O 这七个点中任意选取三个点，若选出的三
个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意，在7 个点中任取3 个，若选出的三个点能构成三角形，有
种，
若构成的三角形是等边三角形，可以为
，
，
，
，
，
，
，
，共8 个，
则若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率
.
故选：B.
例2-2 河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，
五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大
于5 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题图知，阳数为
，阴数为
，
因此从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有
（种），
满足差的绝对值大于5 的有
，共4 个，
所以所求概率
.
故选：A
【变式训练2-1】如图，平面内有A，B，C，D4 个区域，随机在这4 个区域之间画3 道连线，且任意两个
区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D 任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】从四个区域中任选2 个连线，可连
条线段，
从中任选3 条的方法有：
.
从四个区域中任选3 个，用3 条线段将这3 个区域连接，有
种方法.这些连接方式不能连通四个区域.
所以可以通过3 条线连通四个区域的概率为：
.
故选：D
【变式训练2-2】如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H 八个顶点，每个相邻的两顶点间称为
1 步（例如：A 到B 为1 步）.现有一小球起始位置在点A 处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则
为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为
，则小球按顺时针方向前进i 步到达另
一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A 处的概率为 .
【答案】
【详解】两次数字和为的有
，
，
，
，
共个结果，
其中拋
次骰子共有
种结果，
所以游戏结束时棋子回到点
处的概率
.
故答案为：
【变式训练2-3】有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有
共八个点，一枚棋子起始位
置在点
处，每个相邻的两点间称为1 步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为
，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点
处的概率为 ．
【答案】
【详解】两次数字和为的有
，
，
，
，
共个结果，
其中拋
次骰子共有
种结果，
所以游戏结束时棋子回到点
处的概率
.
故答案为：
题型3 数列中的古典概型
例3-1 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月
能生1 对小兔子（一雄一雌），而每1 对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1 对小兔子，假定在不
发生死亡的情况下，从第1 个月1 对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，
8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
，其中
，
．若从该数列的前2025 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而
，
∴前2025 项中有675 个偶数，从该数列前2025 项中随机地抽取一个数为偶数的概率为
．
故选：A.
例3-2 已知
满足
，则使一次函数
的图象经过一、二、四象限的
的概率是 .
【答案】
【详解】由
，
，
得
为负数的个数为
，
由直线
的图象经过一、二、四象限，得
，
所以所求概率为
.
故答案为：
【变式训练3-1】在排列
中，任取两个数
且
如果
，则称
这两个数
为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列
中任
取两数，则这组数是逆序的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在排列
中任取两数，构成排列的基本事件有：
，
共10 个，这组数是逆序包含的基本事件有：
，共5 个，则这组数是逆序的概率
是
.
故选：D.
【变式训练3-2】如图所示，正实数
标在正方体相应的顶点处，满足每个点处所写的数字等
于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数.记
，
，则
.
【答案】65
【详解】由题意知，
解得
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：65.
题型4 统计中的古典概型
例4-1 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假
区的工作人员随机选择100 名游客对景区进行满意度评分（满分100 分），将评分绘制成频率分布直方
图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
(1)根据频率分布直方图，求
的值；
(2)估计这100 名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这100 名游客中随机抽取了5 名，其中评分在
内的有2 人，评分在
内的有3
人.现从这5 人中随机抽取2 人进行个别交流，求选取的2 人评分均在
内的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由图知：
，可得
.
（2）由
，
所以中位数在
之间，设中位数为
，那么
，
解得
，所以中位数为86.
（3）设在
中抽取的2 人分别为
；在
中抽取的3 人分别为
；
从这5 人中随机抽取2 人，则样本空间为：
，共有10 个基本事件.
设选取的2 人评分均在
内为事件
，
则
中包含
3 个基本事件，所以
.
例4-2 某校从高一年级学生中随机抽取40 名，将他们的期中考试数学成绩（满分100 分，所有成绩均为不
低于40 分的整数）分为6 组：
，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有学生640 名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80 分的人数；
(3)若从成绩来自
和
两组的学生中随机选取两名学生：
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ）
【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，
可得
，解得
.
（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80 分的频率为
，
所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80 分的人数为
人.
（3）解：成绩来自
的学生人数为
人，记为
，
成绩来自
的学生人数为
人呢，记为
，
则从中随机选取两名学生的样本空间为：
，共15 个样
本点，
设
“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则
，其中含了9 个样本点，
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率
.
【变式训练4-1】为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党
史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将
名师生的竞赛成绩（满分
分）整理成如图
所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中
的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数
(2)从竞赛成绩在
，
的师生中，采用分层抽样的方法抽取
人，再从抽取的
人中随机抽取
人，求
人的成绩来自同一区间的概率．
【答案】(1)
，众数为85，中位数为82.5
(2)
【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得：
，
所以
，
频率分布直方图可得，师生竞赛成绩的众数为
，
前三组的频率为
，
前四组的频率为
，则中位数在
，设中位数为
，
可得
，所以
，即中位数为82.5.
（2）因为第四组和第五组的频率之比为
，
故按照分层抽样第四组抽取人数为
人，记为
，
，，
，
第五组抽取人数为
人，记为，
，
从
人中选出
人，共有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共有
种，
其中选出的
人来自同一区间的有
，
，
，
，
，
，
，共有
种，
则选出的
人中来自同一组的概率为
．
【变式训练4-2】某市为庆祝北京夺得2022 年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”
主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120 人，按他们的年龄分组：第1 组
，第2 组
，第3 组
，第4 组
，第5 组
，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1 人进行采访，请估计被采访人恰好在第1 组或第4 组的概率；
(2)已知第1 组中男性有3 人，组织方要从第1 组中随机抽取2 人组成志愿者服务队，求至少有1 名女性的
概率.
【答案】(1)0.25
(2)
【详解】（1）设第1 组
的频率为
，
则由题意可知，
.
被采访人恰好在第1 组或第4 组的频率为
.
故估计被采访人恰好在第1 组或第4 组的概率为0.25.
（2）第1 组
的人数为
，故第1 组中共有6 人，其中女性共3 人.记第1 组中的3 名男性
分别为
，3 名女性分别为
.
从第1 组中随机抽取2 人组成志愿者服务队，包含：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15 个基本事件.
至少有一名女性，包含：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共12 个基本事件.
故从第1 组中随机抽取2 人组成志愿者服务队，至少有1 名女性的概率
.
【变式训练4-3】庐江县某中学高一年级有1500 名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽
取了一个容量为50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：
(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120 分的人数和这1500 名学生的数学
平均分（保留到整数）；
(2)已知样本中成绩在
内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2 人做学习交
流，求选取的两人中至少有一名女生的概率．
【答案】(1)
，1050，126
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：
，
成绩不低于120 分的频率为：
；
所以高一年级不低于120 分的人数为：
人．
；
（2）由频率分布直方图知，成绩在
的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6 人
中抽取2 人的情况有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15
种．其中至少有一名女生的情况有9 种，故至少有一名女生的概率为
．
题型5 有放回与无放回中的古典概型
例5-1 抽取某车床生产的8 个零件，编号为
，
，…，
，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，
1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间
内的零件为一等品．
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2 个，求至少包含一个直径为1.48 的零件的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2 个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2
个零件直径相等的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5 个，非一等品有3 个，直径分别为1.48，1.47，1.53，
编号分别为
，
，
，
则从中随机有放回地依次抽取2 个，样本空间
，共9 个样本点，
其中不包含
的有4 个样本点，故至少包含一个直径为1.48 的零件的概率为
．
（2）一等品零件的编号为
，
，
，
，
，从这5 个一等品零件中不放回地依次随机抽取2 个，样
本空间
，共20 个样本点．
设“从一等品零件中，随机抽取的2 个零件直径相等”为事件B，则
，共8 个样本点．
所以
．
例5-2 设有6 个白球和4 个红球混合后装入袋中，从这10 个球中任取5 个.
(1)在有放回的情况下，求这5 个球中恰有3 个白球的概率；
(2)在不放回的情况下，求这5 个球中恰有3 个白球的概率；
(3)在不放回的情况下，求第3 个球为白球的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为
，
所以这5 个球中恰有3 个白球的概率
.
（2）在不放回的情况下，这5 个球中恰有3 个白球的概率
.
（3）在不放回的情况下，若第3 个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，
所以所求概率
.
【变式训练5-1】一个盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若第一次抽取1 张卡片，放回后再抽取1 张卡片，事件
表示“两次抽取的卡片上数字之和大于
”，
求
；
(2)若一次抽取1 张卡片，不放回并再抽取1 张卡片，事件
表示“2 张卡片上数字之和是3 的倍数”，事
件
表示“2 张卡片上数字之积是4 的倍数”，验证
是独立的，并说明理由.
【答案】(1)
(2)相互独立，理由见解析
【详解】（1）若第一次抽取1 张卡片，放回后再抽取1 张卡片，
共包含
个基本事件，
其中事件：
包含3 个基本事件，
所以
.
（2）若一次抽取1 张卡片，不放回并再抽取1 张卡片，共包含
个基本事件，
事件
，所以
，
事件
，所以
，
当
同时发生，即2 张卡片上数宁之和是3 的倍数同时积足4 的倍数，有两种取法
，
所以
，
因为
，所以事件
与事件
是独立的.
【变式训练5-2】有4 张面值相同的债券，其中有2 张是中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张都是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张都是中奖债券的概率；
(3)有放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张中至少有1 张是中奖债券的概率；
(4)无放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张中至少有1 张是中奖债券的概率
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）将4 张面值相同的债券分别记作
，规定
是中奖债券，则有放回地取出2 张债
券的所有结果列表如下：
可见所有结果数共16 种，取出的2 张是中奖的
债券和
债券的结果数有4 种，故所求概率是
．
（2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序．
如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的
，得到的就
是所有结果数，为12，
而取出的2 张是中奖的
债券和
债券的结果有2 种，故所求概率是
；
如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的
几种情况．
这时可以看出所有结果数有6 种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2 张是中奖的
债券和
债
券的结果只有1 种，故所求概率是
．
（3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1 张中奖的结果数是12，所以所
求概率是
．
（4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1 个中奖的结果数是
10，所以此时的概率是
；
不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1 个中奖的结果数是5，所以所求概率是
．
【变式训练5-3】在一个盒子中有2 个白球，3 个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙
后取，然后甲再取，……，每次取1 个，取后不放回，直到2 个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求2 个白球都被乙取出的概率；
(2)求2 个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若2 个白球都被乙取出记为事件
，即第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲
取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，
则
;
（2）若2 个白球都被甲取出记为事件
，三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，
其概率为
；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为
；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为
；
故
．
（3）若将球全部取出才停止取球记为事件
，则最后一次即第5 次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1 次和第5 次取出的是白球，另外3 次取出的是红球，
其概率为
；
②第2 次和第5 次取出的是白球，另外3 次取出的是红球，
其概率为
；
③第3 次和第5 次取出的是白球，另外3 次取出的是红球，
其概率为
；
④第4 次和第5 次取出的是白球，另外3 次取出的是红球，
其概率为
；
故
．
题型6 根据古典概型的概率求参数
例6-1 某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器
件，其中甲工厂生产了
件，乙工厂生产了
件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取
件样品，已知该精密仪器按照质量可分为
四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检
测，恰好抽到甲工厂生产的
等级产品的概率为
，则抽取的
三个等级中甲工厂生产的产品共有
件．
【答案】
【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了
件样品，
设抽取甲工厂生产的
等级产品有
件，则
，解得：
，
抽取的
三个等级中，甲工厂生产的产品共有
件.
故答案为：
.
例6-2 一个袋子中有2 个红球（记为
），3 个绿球（记为
），从中任意抽取两个球．
(1)写出试验的样本空间；
(2)求取出的两个球颜色不同的概率；
(3)如果是
个红球，3 个绿球，已知取出的两个球颜色相同的概率为
，那么
是多少？
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)
或
.
【详解】（1）试验的样本空间为
（2）由（1）可知，试验的样本空间共有10 个样本点，
取出的两个球颜色不同的样本点有
6 个，
故取出的两个球颜色不同的概率为
；
（3）试验的样本空间共有
个样本点，
取出的两个球颜色相同的样本点有
个，
故取出的两个球颜色相同的概率为
，
解得
或
.
【变式训练6-1】一个袋子中有3 个红球，4 个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3 个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为
，求n 的值．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：
，
若取出的两个球均为白球，则概率为：
，
所以两次取到的球颜色相同的概率为：
．
（2）第二次取出红球的概率为：
，即
，
解得：
或
（舍去），故n 的值为5．
【变式训练6-2】一个袋子中有5 个球，其中
个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中
依次随机地取出2 个球．
(1)若
，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2 个球都是红球的概率为
，求
．
【答案】(1)
；
(2)3.
【详解】（1）由题可知袋中共有5 个球，记作
，
从中依次不放回取出2 个球，样本点有
，
，
，
共20 个样本点，
记＂第次取到红球＂为事件
，则＂第次取到绿球＂为事件
，
不妨设
为红球，
为绿球．两次都取到红球，则
．
先取到绿球再取到红球，则
，
于是
，
即第二次取到红球的概率为
.
（2）两次都取到红球为事件
.
所以两次取出红球的概率为
，
即
，解得
．
【变式训练6-3】一个袋子中有4 个红球,6 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球.
(1)求第二次取到绿球的概率；
(2)如果是
个红球, 6 个绿球, 已知取出的2 个球都是绿球的概率为
，那么
是多少?
【答案】(1)
.
(2)
.
【详解】（1）从10 个球中不放回地随机取出2 个共有
种, 即
，
设事件
“两次取出的都是红球”, 则
，
设事件
“第一次取出红球, 第二次取出绿球”，则
，
设事件
“第一次取出绿球, 第二次取出红球”，则
，
设事件
“两次取出的都是绿球”，则
，
且事件
两两互斥.
第二次取到绿球的概率为
.
（2）由题意
，则
，又
，
或
，
，即
.
题型7 概率的基本性质
例7-1 设随机事件A，B 相互独立，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
由
，得
.
因为事件A，B 相互独立，
所以
，即
，所以
.
所以
.
故选：C.
例7-2 设样本空间
含有等可能的样本点，若事件
是
的子集，且
互相独立，其中
则
= .
【答案】
【详解】因为
，所以
，
而
互相独立，得
，
则
，
故答案为：
【变式训练7-1】抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用
表示红色骰子
的点数，用
表示绿色骰子的点数，用
表示一次试验的结果.设
“两个点数之积是偶数”，
“至少有一颗骰子的点数为5”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】基本事件空间为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共36 个基本事件.
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.共27 个，
所以
.
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.共11 个基本事件.
所以
.
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
.共6 个基本事件.
所以
.
根据概率的加法公式可得：
.
故选：D
【变式训练7-2】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件
为“第
一次朝上的面的点数为质数”，事件
为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数
.
骰子的点数为
，其中质数有
，
事件
“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数
（第一次有种质数情况，第二
次有
种情况 ），则
.
两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数.
第一次为奇数，第二次为偶数时，有
种情况；
第一次为偶数，第二次为奇数时，有
种情况.
所以事件
包含的基本事件数
，则
.
事件
表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”.
当第一次为
，第二次需为奇数，有种情况；
当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共
种情况.
所以
。
根据概率加法公式
.
故选：C
【变式训练7-3】已知某样本空间中共有18 个样本点，其中事件
有10 个样本点，事件
有8 个样本点，
事件
有16 个样本点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得事件
共有
个样本点，由
有16 个样本点，
又
，故
共有
个样本点，
则
有
个样本点，故
.
故选：C.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出
场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24 种，
其中符合题意的出场次序共有8 种，
故所求概率
；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有
种排法，丁就种，共
种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共
种；
于是甲最后出场共
种方法，同理乙最后出场共
种方法，于是共种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是
，
根据古典概型的计算公式，所求概率为
.
故选：C
2．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题
准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】用1，2，3，4，5，6 表示6 个主题，甲、乙二人每人抽取1 个主题的所有结果如下表：
乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36 个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有
，共6 个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30 个，概率
.
故选：A
3．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随
机选2 名组织校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，总的基本事件有
件，
其中这2 名学生来自不同年级的基本事件有
，
所以这2 名学生来自不同年级的概率为
.
故选：D.
4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1 项，球类3 项，田径类4 项共8 项
项目中随机抽取4 项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
【答案】
【详解】
解：从游泳类1 项，球类3 项，田径类4 项共8 项项目中随机抽取4 项进行检测，则每一类都被抽到的方
法共有
种，
而所有的抽取方法共有
种，
故每一类都被抽到的概率为
＝
＝
，
故答案为：
．
5．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为
．
【答案】
.
【详解】从正方体的个顶点中任取
个，有
个结果，这
个点在同一个平面的有
个，故所求概率
．
故答案为：
．
1．已知
.
（1）如果
，那么
，
；
（2）如果A，B 互斥，那么
，
.
【答案】 0.5 0.3 0.8 0
【详解】（1）如果
,那么
,
,
所以
,
（2）如果A,B 互斥,那么
,
所以
,
故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0
【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题
2．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5 的5 张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的
数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
【答案】（1）0 （2）
【详解】解：（1）从5 张标签中不放回地选取两张标签，用m 表示第一张标签的标号，n 表示第二张标签
的标号，设A=“两张标签上的数字为相等整数”，则
（1）数组（m，n）表示该试验的一个样本点，
，且
.因此该试验的样本空间
，且
}中共有20 个样本点，其中m，n 为相等整数的样本点个数
.
故所求概率为0；
（2）该试验的样本空间
中共有25 个样本点，各样本点出现的可能性相等，
试验是古典概型，其中
，所以
，故所求概率为
.
3．一个盒子中装有6 支圆珠笔，其中3 支一等品，2 支二等品和1 支三等品，若从中任取2 支，那么下列
事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1 支一等品”；
（2）B=“两支都是一等品”；
（3）C=“没有三等品”.
【答案】（1）
（2）
（3）
.
【详解】解：用
表示3 支一等品，用
表示2 支二等品，用c 表示三等品，则该试验的样本空间
可表示
为
，共有15 个样本点.
（1）
，其中有9 个样本点，所以
.
（2）
，其中有3 个样本点，所以
.
（3）
，其中有10 个样本
点，所以
.
4．某人有4 把钥匙，其中2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么
第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
【答案】
；
【详解】解：用1，2 表示能打开门的钥匙，用3，4 表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含
的样本点有
，共4 个
若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为
，共有12 个样本点，所以此时的概率
；
若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为
，共有16 个样本点，所以此时
的概率为
.
【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题.
5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3 次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6 点；
（2）至少出现一次6 点；
（3）三个点数之和为9.
【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】解：该试验的样本空间表示为
，共有
（个）样本
点.
（1）事件“没有出现6 点”包含的样本点
满足
，共有125 个，所以其概率为
；
（2）事件“至少出现一次6 点”与事件“没有出现6 点”互为对立事件，故其概率为
；
（3）事件“三个点数之和为9”包含的样本点有25 个，故其概率为
.
