文档文本内容
第04 讲 随机事件、频率与概率
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 概率与频率 ........................................................................................................................... 3
知识点2 事件的运算 ........................................................................................................................... 4
知识点3 事件的关系 ........................................................................................................................... 4
题型破译......................................................................................................................................................5
题型1 随机事件之间关系的判断......................................................................................................5
题型2 随机事件的概率.........................................................................................................................6
【方法技巧】用频率估计概率
题型3 互斥事件与对立事件的判断
..........................................................................................8
【方法技巧】互斥事件与对立事件的判断
题型4 互斥事件与对立事件的概率
..........................................................................................8
【方法技巧】互斥事件与对立事件的概率
04 真题溯源·考向感知.........................................................................................................................................10
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................11
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）样本空间和随机
事件
（2）两个事件的关系
和运算
（3）频率与概率
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年北京卷第
18 题（1），4 分
2024 年上海卷第19 题
（1）、（2），9 分
2024 年北京卷第18 题
（1），4 分
2023 年全国新课标Ⅱ卷第
12 题 5 分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事
件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．
复习目标：
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
（2）理解事件间的关系与运算．
知识点1 概率与频率
一般地,随着试验次数
的 ,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件
发生的频率 会逐渐稳
定于事件
发生的 .我们称频率的这个性质为频率的 .因此,我们可以用频率
来估
计概率
.
自主检测下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定于事件A 发生的概率
知识点2 事件的运算
定义
符号表示
图示
并事件
事件
与事件
至少一
个发生，称这个事件为
事件
与事件
的
（或和事件）
交事件
事件
与事件
同时发
生，称这个事件为事件
与
事
件
的
（或积事件）
自主检测已知随机事件
和
相互独立，且
，则
（ ）
A．0.9
B．0.85
C．0.8
D．0.78
知识点3 事件的关系
定义
符号表示
图示
一般地，若事件
发
包含关系
生，则事件
一定发
生，称事件
包含事件
(或事件
包含于事件
)
互斥事件
一般地，如果事件
与
事件
不能同时发生，
也就是说
是一个
不可能事件，即
，则称
(或互不相容)
对立事件
一般地，如果事件
和
事件
在任何一次试验
中有且仅有一个发生，
即
，且
，那么
称 ，事件
的
对立事件记为
，
且
.
自主检测（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：
所有样本空间，
“
”
点数为
“
i”，其中
，2，3，4，5，6，
点数不大于
“
2”，
点数大于
“
2”，
点数大于
“
4”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
，
C．
D．
，
为对立事件
题型1 随机事件之间关系的判断
例1-1 下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；
自由下落的物体做匀速直线运动；
函数
③
④
在
定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
例1-2 判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【变式训练1-1】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
2020
①
年8 月18 日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
从标有
③
1，2，3，4 的4 张号签中任取一张，恰为1 号签；
向量的模不小于
④
0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-2】下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖
B．在标准大气压下水加热到
，沸腾
C．异性电荷，相互排斥
D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【变式训练1-3】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为
，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到
时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
题型2 随机事件的概率
例2-1 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100 名九年级男生进行测量，他们的身高x
（cm）统计如下表：
组别
人数
13
43
36
8
根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm 的概率是 ．
例2-2 对200 个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数
20
30
80
40
30
(1)估计元件的寿命在
（单位：h）内的概率；
(2)估计元件的寿命在
以上的概率．
方法技巧
频率
概率
用
估计
（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
【变式训练2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm 的电子靶，以距靶心距离
的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得优秀飞行员称号．现
“
”
随机抽取了100 名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：
cm）
人数
18
21
39
22
用频率估计概率，若随机抽取1 人，则此人为优秀飞行员的概率为（
“
”
）
A．0.18
B．0.21
C．0.39
D．0.40
【变式训练2-2】某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20 个班一共抽取40
个人进行询问，其中各班人数均为50 人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3 局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生
之间的随机数，当出现随机
数
时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3 局，所以每3 个随机数为一组，例如，产生20 组
随机数；
603
099
316
696
851
916
062
107
493
977
329
906
355
860
375
107
347
467
822
166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9
B．0.95
C．0.8
D．0.85
题型3 互斥事件与对立事件的判断
例3-1 某小组有4 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的
两个事件的是（ ）
A．至少有1 名男生和至少有1 名女生
B．至少有1 名男生和全是男生
C．至少有1 名男生和全是女生
D．恰有1 名男生和恰有2 名男生
例3-2 投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A 为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B 为两枚骰子朝上的点
数均为奇数，则（ ）
A．A 为必然事件
B．B 为不可能事件
C．A 与B 为互斥但不对立事件
D．A 与B 互为对立事件
方法技巧
互斥事件与对立事件判断
1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发
生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，
若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式训练3-1】从1～5 这5 个整数中随机抽取1 个数，记事件
抽到小于
“
3 的数，事件
”
抽到大于
“
2 的数，事件
”
抽到大于
“
1 的奇数，则（
”
）
A．
和
不互斥
B．
和
互斥且不对立
C．
和
不互斥
D．
和
互斥且不对立
【变式训练3-2】从装有除颜色外其他完全相同的
个红球（编号为、
）和
个白球（编号为、
）的
口袋内任取
个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球
B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有
个白球
D．至少有个白球，都是红球
【变式训练3-3】（多选）从装有红球、白球和黑球各2 个的口袋内一次取出2 个球，则与事件两球都是
“
白球互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（
”
）
A．事件两球都不是白球
“
”
B．事件两球恰有一白球
“
”
C．事件两球至少有一个白球
“
”
D．事件两球不都是白球
“
”
题型4 互斥事件与对立事件的概率
例4-1 某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输
的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C 三支球
队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A 队战胜B 队的概率为
，B 队战胜C 队的概率为
，C 队
战胜A 队的概率为
，则A 队进入决赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为
，
，那么两人中恰有一人合格的概率是
．
方法技巧
互斥事件与对立事件的概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和
公式计算．
（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式
，即运用逆向思维（正难则
反）．特别是至多
至少型题目，用间接法求解就显得较简便．
“
”“
”
【变式训练4-1】已知事件
互斥，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】已知事件
与
互斥，事件
、
同时发生的概率为
，且
，则
．
【变式训练4-3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6 道选择题，4 道判断题，甲、乙两人依次各抽1
题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
1．（2018·全国III 卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现
金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
2．（多选）（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，
收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概
率为
. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是
指每个信号重复发送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三
次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
3．（2019·全国II 卷·高考真题）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换
发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概
率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又
打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4 且甲获胜的概率
”
.
1．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反
面算乙胜.这个游戏公平吗？
2．盒子中仅有4 个白球和5 个黑球，从中任意取出一个球.
（1）取出的球是黄球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（2）取出的球是白球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（3）取出的球是白球或黑球是什么事件？它的概率是多少？
“
”
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100 次，估计取出的球是白球的概率
“
”
.
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100 次，记录每个面落
在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3 的面落在桌面上的概率.
四面体的面
1
2
3
4
频数
22
18
21
39
4．在一个袋子中放6 个白球，4 个红球，揺匀后随机摸球3 次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件
第
“
i 次摸到红球，
”
i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件
发生的概率的大小关系；
（2）重复做10 次试验，求事件
发生的频率，并填入下表.
放回摸球
不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3 次摸到红球的频率
差别大吗？在不放回摸球方式下，事件
的频率差别大吗？请说明原因.
5．用事件
“
A 发生的频率，
估计概率
，重复试验次数n 越大,估计的就越精确，判断这种说法
”
是否正确，并举例说明
