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古典概型、概率的基本性质
9-5
1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．
9-5 古典概型、概率的基本性质....................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：古典概型.........................................................2
考点2：古典概型的概率公式...............................................2
考点3：概率的性质.......................................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 古典概型..........................................................3
题型二 概率的基本性质....................................................4
题型三 概率与统计的综合问题..............................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6一、主干知识
考点1：古典概型
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
考点2：古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件
A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
考点3：概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【常用结论总结】
若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n二、分类题型题型一 古典概型
【例题精析1】 下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间 上任取一个实数，求取到1的概率
【例题精析2】 从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【例题精析3】 甲、乙两人一起去游天堂寨风景区，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选3个进行
游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
利用公式法求解古典概型问题的步骤
【对点精练1】 （多选）下列试验不是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止
【对点精练2】 袋子中装有大小､形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第
二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练3】 数学考试的多项选择题，学生作答时可以从A、B、C、D四个选项中至少选择一个选项，至
多可以选择四个.得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题
的正确答案是 ，若某同学不会做该题目，随机选择一个、两个或三个选项，则该同学能得分的概率
是 .
题型二 概率的基本性质
【例题精析4】 已知事件A与B互斥，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．【例题精析5】 已知 ， ，如果 ，那么 （ ）
A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7
【例题精析6】 已知事件A，B发生的概率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C．若A与B互斥，则 D．一定有
【例题精析7】 如果事件A与事件B互斥，那么 = .
【例题精析8】 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、
商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至
少有一个的概率为( )
A. B. C. D.
【例题精析9】 数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得5分，部分选对得2分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道
题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为________．
求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．
【对点精练4】 下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件 B．某事件的概率为1.1C．若彩票中奖概率为 ，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D．必然事件的概率为1
【对点精练5】 在一次随机试验中，其中3个事件 的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确
的是（ ）
A． 与 是互斥事件，也是对立事件B． 是必然事件
C． D．
【对点精练6】 （多选）已知 为两个事件， ， ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练7】 （多选）已知A、B是独立事件， ， ，则 .
【对点精练8】 若随机事件 互斥， 发生的概率均不等于0，且分别为 ， ，
则实数 的取值范围为 .
【对点精练9】 已知 ， ， ，则 ．
题型三 概率与统计的综合问题【例题精析10】 (2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大
病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有
72,108,120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如
下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
求解古典概型的交汇问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
【对点精练10】 为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，
结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症
状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
无疲乏症状 有疲乏症状 合计
未使用新药 150 25 t
使用新药 x y 100合计 225 m 275
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否以此推断有疲乏症
状与使用该新药有关？
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出 4人，再从这4人中随机抽
取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•浙江开学）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件 B＝“第
二枚骰子偶数面朝上”，事件C＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则下列结论正确的是（ ）
A．A与B对立 B．A与C互斥 C． D．B与C独立
2．（2023•双流区校级开学）下列事件中是不可能事件的是（ ）A．抛一枚硬币正面朝上
B．三角形中有两个角为直角
C．打开电视正在播广告
D．两实数和为正
3．（2023春•湘西州期末）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假
期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件 F＝“至少去一个草原”，事件 G＝“至
多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G是互斥事件
D．G与Ⅰ是互斥事件
4．（2023秋•河南月考）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件 表示“掷出的点数大于2”，则与 互斥
且不对立的事件是 ．
A．掷出的点数为偶数 B．掷出的点数为奇数
C．掷出的点数小于2 D．掷出的点数小于3
5．（2023•宝山区校级模拟）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件
：该家庭既有男孩又有女孩；事件 ：该家庭最多有一个男孩；事件 ：该家庭最多有一个女孩；则下列
说法中正确的是
A．事件 与事件 互斥但不对立 B．事件 与事件 互斥且对立
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
6．（2023•吉林模拟）对于事件 与事件 ，下列说法错误的是
A．若事件 与事件 互为对立事件，则 （A） （B）
B．若事件 与事件 相互独立，则 （A） （B）
C．若 （A） （B） ，则事件 与事件 互为对立事件
D．若 （A） （B），则事件 与事件 相互独立
7．（2023春•太原期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚正面向上”，事件 “第二枚反面向上”，则事件 与 的关系是
A． B． C．相互独立 D．互斥
8．（2022秋•船山区校级期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两
个事件是
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
9．（2023春•梅河口市校级期末）若 ， ， ，则事件 与 的关系是
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
10．（2023春•麒麟区校级期末）下面是离散型随机变量的是
A．电灯泡的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在 之间的电压值
D．一个在 轴上随机运动的质点，它在 轴上的位置
11．（2023•开远市校级开学）已知集合 ， ， ， ，0，1，3， ，从集合 中任取不同的
两个数作为点 的坐标，则事件“点 落在 轴上”包含的基本事件共有
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
12．（2023春•南开区校级期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事
件 与事件 互斥却不互为对立
A．事件 个球中至少有1个红球；事件 个球中至少有1个白球
B．事件 个球中恰有1个红球；事件 个球中恰有1个白球
C．事件 个球中至多有2个红球；事件 个球中至少有2个白球D．事件 个球中至多有1个红球；事件 个球中至多有1个白球
13．（2023春•河西区期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是
A． 与 互为对立事件 B． （A） （B）
C． 与 相等 D． 与 互斥
14．（2023春•碑林区校级期末）若 ， ， ，则事件 与 的关系是
A．互斥但不对立 B．对立 C．相互独立 D．既互斥又独立
15．（2023春•新吴区校级期末）若 ， ， （B） ，则事件 与 的关系是
A．事件 与 互斥但不对立 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
16．（2023春•金凤区校级期末）已知事件 与事件 是互斥事件，则
A． B． （A） （B）
C． （A） （B） D．
17．（2023•徐汇区校级三模）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至
少有1名男生”与事件“至少有1名女生”
A．是对立事件 B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件
18．（2023春•锡山区校级月考）掷一个骰子的试验，事件 “出现小于5的偶数点”，事件 “出
现小于5的点数”，若 表示 的对立事件，则一次试验中，事件 发生的概率为
A． B． C． D．
