第01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
0
1 考情解码・命题预警........................................................................................................................................... 1
02 体系构建·思维可视......................................................................................................................... 3
03 核心突破·靶向攻坚......................................................................................................................... 3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 平均变化率 ........................................................................................................................... 3
知识点2 导数的概念 ........................................................................................................................... 4
知识点3 导数的几何意义 ..................................................................................................................4
知识点4 基本初等函数的导数公式 ...............................................................................................5
知识点5 导数的运算法则 ..................................................................................................................5
知识点6 曲线的切线问题 ..................................................................................................................6
题型破译.........................................................................................................................................6
题型1 导数的概念..................................................................................................................................6
题型2 导数的运算..................................................................................................................................7
题型3 在点P
的切线
处
.................................................................................................................8
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
题型4 过点P
的切线
处
.................................................................................................................9
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
题型5 已知切线或切点求参数
.................................................................................................10
题型6 公切线问题
........................................................................................................................10
【方法技巧】公切线求解关键点
题型7 已知切线条数求参数.............................................................................................................11
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
题型8
化
切问题
距离最值转
为相
............................................................................................11
【方法技巧】平移切线法
题型9 奇偶函数切线问题.................................................................................................................12
04 真题溯源·考向感知......................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材......................................................................................................................13
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）导数的定义
（2）导数的运算
（3）导数的几何意义
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T12（5
分）
天津卷T20（1）
（4 分）
全国甲卷（理）T6（5
分）
全国 II 卷T16（1）（5
分）
全国 I 卷T13（5 分）
天津卷T20 （1 ）（4
分）
全国乙卷（文）T20（1）
（5 分）
全国甲卷（文）T8 （5
分）
全国乙卷（理）T21（1）
（4 分）
天津卷T20（1）（4 分）
考情分析：高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、
四则运算法则的应用和求切线方程为主，也涉及到公切线问题．
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数
在区间
上的平均变化率为：
.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
和
②作商：对所求得的差作商，即
.
自主检测函数f ( x)= x
2在区间[1,3)上的平均变化率为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．4
知识点2 导数的概念
1．定义：函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数,记作
.
2．定义法求导数步骤：
①
求函数的增量：
；
②
求平均变化率：
；
③
求极限，得导数：
.
自主检测设函数f (x)的导函数为f
' (x)，且f
'(x0)=2，则
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0)
Δ x
=（ ）
A．1
B．4
C．3
D．2
知识点3 导数的几何意义
函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
自主检测若曲线y = x
2−ln x在x =0.5处的切线的斜率为（ ）
A．1
B．−1
C．
❑√2
2
D．e
知识点4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
(
为常数)
(
)
(
)
(
，
)
自主检测已知 f (x)=−1
x
3 ，则 f
′ (x)=（ ）
A．−3
x
3
B．3
x
4
C．1
x
D．−1
x
2
知识点5 导数的运算法则
若
，
存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数f (x)= x ln x，则f
′ (π)= ．
知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
2．过型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
自主检测已知函数f (x)= x
3−x +1，则f (x)的图象在点(1,1)处的切线方程是（ ）
A．4 x + y −5=0
B．4 x−y −3=0
C．2 x + y −3=0
D．2 x−y −1=0
题型1 导数的概念
例1-1 已知函数f (x)= log2 x，则lim
x→2
f (x)−f (2)
x−2
= .
例1-2 已知函数f ( x)= x
2+ 1
x ，则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
2 Δ x
=（ ）
A．1
B．1
2
C．2
D．4
【变式训练1-1】已知f
′( x0)= 4，
lim
△x→0 f ( x0+2△x)−f ( x0)
△x
的值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．16
【变式训练1-2】设函数f (x)满足
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
2 Δ x
=1，则f
′(x0)=（ ）
A．1
B．2
C．1
2
D．3
【变式训练1-3】已知函数f (x)=−1
2 x
2+ln x，则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
的值为（ ）
A．e
B．−2
C．−1
2
D．0
题型2 导数的运算
例2-1 求下列函数的导数：
(1)y = x
2sin x；
(2)y =ln x + 1
x ；
(3)y =cos x
e
x
；
(4)y = ln(x
2+1)；
例2-2 求下列函数的导数
(1)y =−3 x
2−5 x +6；
(2)y = x⋅sin x +e
x
(3)y =ln x
x
2+1
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)y = x
2cos x
(2)y = ln x + 1
x
2
(3)y =tan x
2
x
−log3 x
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)f (x)= x⋅cos x
(2)f (x)=e
x
x
(3)y =ln x + 1
x
(4)y =(2 x
2−1)(3 x +1)
(5)y = x−sin x
2 cos x
2
(6)y = tanx
题型3 在点P 处的切线
例3-1 曲线y =sin xcos x−1在点(0,−1)处的切线方程为（ ）
A．x−2 y +2=0
B．x +2 y −2=0
C．x−y −1=0
D．x−y +1=0
例3-2 曲线y =e
x +1
x +2在x =0处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =3e
4 x
C．y =e
4 x +e
2
D．y =3e
4 x +e
2
法
方
技巧（在型切线求解步骤）
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数f (x)= 2
3 x
3−2 x的图象在点(3,f (3))处的切线方程为
.
【变式训练3-2·变考法】已知函数f ( x)={
x
2−3 x , x∈[0,2)
2f (x−2), x∈(2,+∞))，则f (x)在点(3,f (3))处的切线方程
为（ ）
A．8 x + y −40=0
B．2 x + y −10=0
C．2 x−y −10=0
D．2 x + y −2=0
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数f (x)=sin x + f
′ (0)cos x，则f (x)
在点(
π
2 ,f(
π
2 ))处的切线方程为 .
题型4 过点P 处的切线
例4-1 过点(0,−4)作函数f (x)= x−4
x 图像的切线，则切线方程为（ ）
A．y =5 x−4
B．y = 4 x−4
C．y =3 x−4
D．y =2 x−4
例4-2 已知f (x)= x
2−2 x +3，则过点A (2,−6)且与f (x)相切的直线方程为 .
法
方
技巧“过”型切线求解步骤
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
【变式训练4-1】（多选）过点(0,1)向曲线y = x
3−3 x
2作切线，切线方程可能是（ ）
A．4 x−15 y +15=0
B．3 x + y −1=0
C．x +3 y −3=0
D．15 x−4 y + 4 =0
【变式训练4-2】已知曲线y =2e
x，过点(0,2)作切线l，则l的方程为 ．
【变式训练4-3·变题型】若曲线y =(x +a)e
x存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ．
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1 若曲线f (x)= x
2−3
2 aln (2 x +1)在点P(1，f (1))处的切线与直线y = x−2垂直，则实数a 的值为
（ ）
A．3
B．❑√5
C．2
D．1
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线y = x为曲线y =e
ax +b的一条切线，则b
a的最小值为 ．
【变式训练5-1】函数f ( x)=e
x+ax在x =0处的切线与直线3 x−2 y −5=0平行，则实数a=（ ）
A．−1
B．1
C．1
2
D．1
4
【变式训练5-2】设曲线y =e
ax在点(0,1)处的切线斜率为2，则a 的值是（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．−2
【变式训练5-3】（2025·河北张家口·三模）已知曲线C : y =(2a+ln x)e
−x在x =1处的切线与y轴垂直，则
实数a的值为 .
题型6 公切线问题
例6-1 若直线l是曲线y = ln x−1与y = ln( x−1)的公切线，则直线l的方程为 .
例6-2（2025·辽宁·模拟预测）曲线y =e
x与曲线y = ❑√2e x的公切线方程为 .
法
方
技巧 公切线求
点
解关键
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切
点
横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式训练6-1·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线y = ln x在x =1处的切线与曲线y =e
x+a
相切，则a= ．
【变式训练6-2·变考法】已知曲线f (x)= ln x +1与g(x)=a x
2+ 3
2
(a>0)有公共切线，求实数a 的取值范
围是
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线f ( x)= ❑√x与曲线g( x)=a+ ln x存在公切线，则a的
取值范围是 ．
题型7 已知切线条数求参数
例7-1．过点P(t ,−2t )作曲线y =−2 x
3的切线，若切线有3 条，则t的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)∪(1,+ ∞)B．(−1,1)
C．(−∞,1)
D．(−∞,−1)
例7-2 若过点(1,m)可以作曲线y = x−2
x
(x>0)的两条切线，则实数m的取值范围是 ．
法
方
技巧
已知切线求参数
点
关键
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值，有多少个解对应有多少条切
线．
【变式训练7-1】过点(1,0)可以做三条直线与曲线f ( x)= xe
x−t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A．(−5
e
2 ,0)
B．(−5
e
2 ,e)
C．(−5
e ,e)
D．(−1
e ,0)
【变式训练7-2】已知过点P(t ,t )与曲线f (x)= x(1+ln x)相切的直线有两条，则实数t的取值范围是
【变式训练7-3】已知f (x)=(a x
2+ x +1)e
x.若a=0，过点P(m,0)可作曲线y = f (x)的两条切线，求m的取
值范围.
题型8 距离最值转化为相切问题
例8-1 点A是曲线y = 3
2 x
2−ln x上任意一点，则点A到直线y =2 x−2的最小距离为（ ）
A．
❑√5
10
B．
❑√5
5
C．3 ❑√5
10
D．❑√5
例8-2（2025·陕西西安·二模）若M 是曲线f ( x)=2 x
2−ln x上任意一点，则点M 到直线y =3 x−6的最小
距离为 .
法
方
技巧
平
切线法
移
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式训练8-1】已知P是曲线y = ln x上的一个动点，则点P到直线x−y +2=0的最小距离为
．
【变式训练8-2·变考法】1．已知
ln x1−x1−y1+2=0, x2+2 y2−4−2ln2=0, M = ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2，则（ ）
A．M的最大值为2❑√5
5
B．M的最大值为4
5
C．M的最小值为4
5
D．M的最小值为2❑√5
5
题型9 奇偶函数切线问题
例9-1 已知偶函数f (x)的定义域为R，且当x<0时，f (x)= ln (−3 x +1)+e
−x则曲线y = f (x)在点(1,f (1))
处的切线斜率为
A．1
4 +e
B．1
2 +e
C．3
4 +e
D．3
2 +e
例9-2 已知f (x)是定义在R上的奇函数，若x>0时，f (x)=2ln x +2，则曲线y = f (x)在点(−1,−2)处的切
线斜率为 .
【变式训练9-1】已知函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，当x<0时，f (x)= ln (1−2 x)，则曲线
y = f (x)在点(2,f (2))处的切线斜率为（ ）
A．2
5
B．−2
5
C．2
D．−2
【变式训练9-2】已知f (x)为奇函数，当x＜0 时，f (x)=−x
2，则曲线y = f (x)在点(1,1)处的切线斜率是
（ ）
A．－2
B．2
C．－e
D．e
−2+1
【变式训练9-3】已知奇函数f ( x)的定义域为R，且当x<0时，f ( x)= ln(1−3 x)，则曲线y = f ( x)在点
(1,f (1))处的切线斜率为 .
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数f (x)=e
x+2sin x
1+ x
2
，则曲线y = f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y =e
x
x +1在点(1,e
2)处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =e
2 x
C．y =e
4 x +e
4
D．y =e
2 x + 3e
4
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，
则a= .
4．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
1．( 人教A 版选择性必修第二册P81习题 5.2T ₅)求曲线y = sinx
x
在 点M(π,0)处的切线方程 .
2.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 3)已知函数
，且
，求
3.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 6)已知函数
满足
，求
在
4.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 2)求下列函数的导数
（1）
（2）
5.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 7)设函数
的图像与
轴相交于点
，求该曲线
在点
处的切线方程
