文档文本内容
第05 讲 椭圆及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 椭圆的定义...........................................................................................................4
知识点2 椭圆的简单几何性质...........................................................................................4
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 椭圆的定义及其应用...............................................................................................6
【方法技巧】定义结合焦点三角形
题型2 椭圆的标准方程.....................................................................................................10
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
..............................................................................14
题型4 椭圆中的焦点三角形
......................................................................................16
题型5 离心率
..............................................................................................................21
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
..............................................................................26
题型7 椭圆的实际应用
...............................................................................................29
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................35
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................48
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.理解
的定
、几何
椭圆
义
形、
准方程
图
标
；
2.掌握
的
几何
椭圆
简单
性质（范
、
称性、
围对
顶
点、离心率）；
3.掌握
的
用
椭圆
简单应
.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，18
题，17 分
全国二卷，16
题，15 分
北京卷，19 题，
15 分
新课标I 卷，第16 题，
15 分
新课标Ⅱ卷，第5 题，
5 分
新课标I 卷，第5 题，5
分
全国甲卷（理数），第12
题，5 分
北京卷，第19 题，15 分
考情分析：
椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方
程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.
例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特
征，进而得出椭圆的定义.
2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会
数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得
到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化.
3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标
准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从
方程到曲线性质的推理逻辑.
知识点1 椭圆的定义
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：(1)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M 的轨迹为椭圆；
(2)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M 的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M 的轨迹不存在.
自主检测（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：
上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则
．
【答案】3
【分析】通过椭圆的焦点在x 轴或者y 轴上，由椭圆的定义求出
即可求解.
【详解】若椭圆的焦点在x 轴上，则
，由
得
（舍去）；
若椭圆的焦点在y 轴上，则
，由
得
.
故答案为：3．
知识点2 椭圆的简单几何性质
1..椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
范围
－
a ≤ x ≤ a
且－
b ≤ y ≤ b
－
b ≤ x ≤ b
且－
a ≤ y ≤ a
顶点
A1( －
a ，
0)
，
A2( a ，
0)
，
A1(0
，－
a ) ，
A2(0
，
a ) ，
B1(0
，－
b ) ，
B2(0
，
b )
B1( －
b ，
0)
，
B2( b ，
0)
轴长
短轴长为2 b ，长轴长为2 a
焦点
F1( －
c ，
0)
，
F2( c ，
0)
F1(0
，－
c ) ，
F2(0
，
c )
焦距
|F1F2|＝2 c
对称性
对称轴：x 轴和
y 轴
，对称中心：原点
离心率
e ＝
(0<
e <1)
a，b，c 的关系
a 2 ＝
b 2 ＋
c 2
2.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，
当椭圆为x
2
a
2 + y
2
b
2 ＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|+|P F2|
2
)
2
＝a2.
(2)当PF2⊥x 轴时，点P 的坐标为(c，± b
2
a )．
(3)|PF1|＝a ＋
ex
0，|PF2|＝a －
ex
0．
(4)|PF1|max＝a ＋
c ，|PF1|min＝a －
c ．
(5)4c2＝| PF
1| 2 ＋
| PF
2| 2 －
2| PF
1|| PF
2|cos
θ ．
(6)S△F1P F2＝b 2 tan
θ
2＝c | y 0|，当|y0|＝b，即点
P 的位置为短轴端点时
，θ 最大，S 取最大值，最
大值为bc.
(7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4 a ．
自主检测（多选）已知椭圆
，则（ ）
A．C 的长轴长为8
B．C 的焦点坐标为
C．C 的离心率为
D．C 上的点到焦点的最大距离为
【答案】ACD
【分析】由椭圆的标准方程分别得到
，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于椭圆
，
，则
，
则
，
对于A，椭圆的长轴长为
，故A 正确；
对于B，椭圆的焦点在
轴上，且
，
则焦点坐标为
，故B 错误；
对于C，离心率
，故C 正确；
对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为
，故D 正确；
故选：ACD
题型1 椭圆的定义及其应用
例1-1 如图，把椭圆
的长轴
分成8 等份，过每个等分点作
轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点，
是椭圆的左焦点，则
.
【答案】35
【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解.
【详解】设椭圆的右焦点为
，连接
，
根据椭圆的对称性，可知
，
，
，
又根据椭圆的定义，得
，
，
，
，
所以
，
又由椭圆
，可知
，
所以
.
故答案为：
.
例1-2 给定点
，已知点
是椭圆
上的动点，
是左焦点.
(1)当
取最小值时，求
点的坐标；
(2)求
的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）由椭圆的第二定义可求得
，利用化折为直的思想即可求得当
|取最
小值时，点
的坐标；
（2）由椭圆第一定义有
，即
，又
，利
用两点间的距离公式求
，进而求解.
【详解】（1）由题意可知
，且左准线为：
.
过点
作准线
的垂线，垂足为
，过
作此准线的垂线，垂足为
，由椭圆第二定义有
.
从而
（定值）.
当且仅当点
是
与椭圆的交点时等号成立，此时点
.
当
取最小值时，点
的坐标为
.
（2）设
是椭圆的右焦点，则
.
由椭圆第一定义有
，
.
，且
，
，
的最大值和最小值分别为
和
.
方法技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率
等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【变式训练1-1】（多选）已知
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，
点
在
上，
，且
为
上一个动点，则（ ）
A．
B．
的长轴长为4
C．
的最小值为
D．
的最大值是
【答案】ABD
【分析】根据数量积的坐标运算求得
，然后由
求得
判断A，将点B 的坐标代入椭圆
方程，结合
列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断
D.
【详解】设
，因为
，所以
，
因为
，所以
，解得
，A 正确．
因为点
在
上，所以
解得
则
的长轴长为
，B 正确．
的最小值为
，C 错误．
因为
，
当且仅当
共线时等号成立，所以
的最大值为
，D 正确．
故选：ABD
【变式训练1-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
【答案】5
【详解】根据椭圆的定义确定点
的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值.
【分析】因为
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆.
易知
，即
，
所以
.
故答案为：5
【变式训练1-3】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，分析可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，进而可得
和方程.
【详解】设
，
因为
，可得
，
可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，则
，
所以动点M 的轨迹方程是
.
故答案为：
.
题型2 椭圆的标准方程
例2-1 “
”是“曲线
表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题考查的是对充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征.
【详解】曲线
表示椭圆等价于
，解得
且
，
所以“
”是“曲线
表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B．
例2-2（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆
上任意一点
到
的两个焦点
的距离之和为
.
(1)求
的方程；
(2)已知直线
与
相交于A，B 两点，若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知焦点及定义计算求解椭圆方程；
（2）先联立方程组得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.
【详解】（1）由题意可得
解得
故
的方程为
.
（2）联立
，得
.
，解得
.
设
，则
，
，
解得
，即
的值为
.
方法技巧
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x
2
a
2＋m
＋y
2
b
2＋m
＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝λ 或y
2
a
2 ＋x
2
b
2 ＝λ(a>b>0，λ>0).
【变式训练2-1】方程
表示的曲线是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
【答案】A
【分析】由题意可得
，利用圆锥曲线的定义可得结论.
【详解】由方程
，可得
，
即
到
的距离与到直线
的距离之比为
，
由圆锥曲线的定义可知，表示的曲线为椭圆．
【变式训练2-2·变考法】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过右焦点的直线交
于
两点，且
，
，则椭圆
的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可.
【详解】因为
，所以
，
设
，则
，
，所以
，
．
因为
，所以
，
在
中，
，即
，解得
，
所以
为等腰直角三角形，所以
为椭圆
的上顶点，所以
，
所以
，所以椭圆
的标准方程为
．
故答案为：
【变式训练2-3·变载体】已知点
是椭圆
上的三点，其中点
是椭
圆的右顶点，直线
过椭圆的中心
，且
，
，如图所示.
(1)求点
的坐标及椭圆
的方程；
(2)若椭圆
上存在两点
，使得直线
与直线
关于直线
对称，求直线
的斜率.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据已知条件判断
的形状，然后求出
的坐标，进而求出椭圆方程.
（2）首先求出直线
的方程，然后联立直线
方程和椭圆方程，将
用
表示出来，从而可
求出
的斜率.
【详解】（1）
，且
过椭圆的中心
，
.
.
又
点
的坐标为
.
是椭圆的右顶点，
，则椭圆方程为：
.
将点
代入方程，得
，
椭圆
的方程为
.
（2）直线
与直线
关于直线
对称，
设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，从而直线
的方程为：
，
即
，
由
，消去
，整理得：
.
是方程的一个根，
，即
.
同理可得：
.
，
，
，
则直线
的斜率为定值
.
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
例3-1 已知椭圆
的焦距为4，则离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论焦点的位置，根据
的关系列方程求解即可求出离心率.
【详解】由题：焦距为4，所以
若焦点在
轴上，则
,此时离心率为
，
若焦点在
轴上，则
（舍），
故选：C.
例3-2（2025·河南·三模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 为BC 边上一点，且
，
，当
在变化时，点
总在椭圆
上，则该椭圆的长轴
长为（ ）
A．6
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】首先根据
，以及余弦定理，确定
，再根据椭圆方程，即可求
解.
【详解】由
及余弦定理，得
，
整理得
，
即
，故该椭圆的长轴长为
.
故选：A
例3-3（多选）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】由离心率、短轴长以及
的关系式，建立方程组，可得答案.
【详解】由题可知
，所以
.
故选：A.
方法技巧
以椭圆的标准方程
(a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=
b；令y=0，得x=
a.
这说明
(-a,0)，
(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点，
(0,-b),
(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴、
y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段
，
分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长
=2a，短轴长
=2b，a 和b 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
【变式训练3-1】（2025·重庆·三模）已知椭圆
的焦点在圆
上，则此椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出
的值，最后根据椭圆离心率公式求出离
心率.
【详解】已知椭圆方程
，则
.
根据椭圆的性质
，可得
，那么椭圆的焦点坐标为
.
因为椭圆的焦点在圆
上，将焦点坐标
代入圆的方程可得：
即
，移项可得
.
因为
，所以
.
由
，
.
根据椭圆离心率公式
，可得
.
此椭圆的离心率为
.
故选： B.
【变式训练3-2】（多选）如图所示，将椭圆
绕着坐标原点旋转一定角度，得到
“斜椭圆”的方程为
，则椭圆
的（ ）
A．长半轴长为
B．短半轴长为
C．焦距为4
D．离心率为
【答案】AD
【分析】结合不等式
及轨迹方程求得
，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得
的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案.
【详解】
，
，解得
.
该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，
短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，
椭圆
的焦距为
，
椭圆
的离心率
A，D 项正确，B，C 项错误.
故选：AD.
题型4 椭圆中的焦点三角形
例4-1（2025·福建福州·三模）设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，
为
的平分线与
轴的交点.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：不妨设点
位于第一象限，设
，
，根据题意得出关于
、
的方程组，
解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出
，结合三角形的面积公式可求出
的值；
解法二：不妨设点
位于第一象限，设
，
，根据题意得出关于
、
的方程组，解出这
两个量的值，由
结合三角形的面积公式可求出
的值.
【详解】依题意，
，
，
解法一：不妨设点
位于第一象限，设
，
，则
①，且
.
因为
，所以
，所以
②.
由①②解得：
，
.
因为
平分
，由角平分线定理可得
，故
，
所以
，即
，
故
，所以
.
解法二：不妨设点
位于第一象限，设
，
，则
①，且
.
因为
，所以
，所以
②.
由①②解得：
，
.
由
，得
，
所以
.
故选：B.
例4-2（多选）已知
是椭圆
上一点，
、
为其左、右焦点，且
的面积为，则下
列说法正确的是（ ）
A．
点纵坐标为
B．
的周长为
C．
D．
的内切圆半径为
【答案】BCD
【分析】利用三角形的面积公式可判断A 选项；利用椭圆的定义可判断B 选项；设
，利用三角
形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于
、
的方程，解出
的值，可
判断C 选项；利用等面积法可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，在椭圆
中，
，
，
，
，则
、
，
设点
，
，
，故选项A 错误；
对于B 选项，由椭圆的定义可知，
的周长为
，故选项B 正确；
对于C 选项，设
，
，可得
，
由余弦定理可得
，
所以
，
所以
，解得
，故选项C 正确，
对于D 选项，设
的内切圆半径为，
则
，
，故选项D 正确.
故选：BCD.
方法技巧
P 为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P 为短轴端点时，θ 最大，S△F1P F2最大；当点P 为长轴端点时，θ 最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|＋|P F2|
2
)
2
＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【变式训练4-1】（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 为椭圆C 上一点，则下
列说法正确的有（ ）．
A．
的面积的最大值为12
B．
的平分线必过椭圆的中心
C．若
，则
D．设
，椭圆C 上存在点P，使得
【答案】ACD
【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义
结合余弦定理计算CD 后可判断它们的正误.
【详解】由题设有椭圆的长半轴长
，短半轴长
，
半焦距
，故
，
对于A，当
为短轴顶点时，
的面积的最大，
此时面积为
，故A 正确；
对于B，若
的平分线必过椭圆的中心，
因为
，则此时
为等腰三角形，故
，
故此时
为短轴顶点，故当
不为短轴顶点时，
的平分线不过椭圆的中心，
故B 错误；
对于C，因为
，故
，
由余弦定理可得
，
故
，故
，
所以
，故
，故C 正确；
对于D，设
，则
，
故
，
所以
，
而
，故
，
所以
即
，故
，
所以
，因为
，故
符号该不等式，
故椭圆C 上存在点P，使得
，故D 正确；
故选：ACD.
【变式训练4-2·变载体】已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，
是
上在第二象限内的
一点，且
，则直线
的斜率为 ．
【答案】
/
【分析】首先根据椭圆的定义求出
的值，然后可确定
，进而得到点
的坐标，从而求
出直线的斜率.
【详解】如图所示，根据椭圆的定义可知，
①，
由题意知
②，
联立①②方程组可解得
.
而
，所以
，即
为直角三角形，
.
由于
在第二象限，所以
点的坐标为
.
因为
，所以直线
的斜率为
.
故答案为：
.
题型5 离心率
例5-1 设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为A，直线
交M 于另一点
B，
的内切圆与
相切于点C，若
，则椭圆M 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.
【详解】由题意，如图，P，D 是内切圆与
的切点，
因为左、右焦点分别为
，上顶点为A，椭圆参数关系
，
由
，结合对称性、圆的切线性质，
令
，且
，
所以
，
所以
，可得
，故
，
故选：D．
例5-2（多选）已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点
是
他们的一个公共点，且
则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】对
，设
，由椭圆和双曲线的标准方程可得
和
，由此即可判
定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B 中结论
转化为离心率即可判定；对D，由C 中结论
，利用
构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定.
【详解】对于
，设
，因为
是椭圆
的焦点，所以
；
又因为
是双曲线
的焦点，所以
所以
，故A 正确；
对于B，由题意可得
，两式平方整理得
，
在
中，由
，得
，即
，
又由
，
，可得
，解得
，故B 正确；
对于C，由B 可得
，即
，即
，故C 错误；
对于D，由C 可得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
的最小值为
，故D 正确．
故选：ABD.
方法技巧
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝c
a 求解.
(2)由a 与b 的关系，利用变形公式e＝❑√
1- b
2
a
2 求解.
(3)构造a，c 的方程.可以不求出a，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e.
【变式训练5-1】已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在
上，点
在
轴上，
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率.
【详解】设
，
，
，
，
，
，
又
，
，解得
，
，
此时
，
，
，
，解得
，
又点
在
上，
，
，
，
又
，即
，解得
，
，
即
.
故选：
【变式训练5-2】已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
.若直线 与椭圆相
切于点
，且
（
为坐标原点），则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件求出椭圆方程，设
，可得切线的方程为
，利用垂直关系即可求
解.
【详解】由离心率
，得
，结合
，解得
.
将点
代入椭圆方程，得
，解得
，故椭圆方程为
.
设
，则切线的方程为
.
当
时，即
，此时直线方程为
，满足
，
当
时，即
，此时直线方程为
，满足
当
，
时，得斜率关系
，则不满足
，
结合选项，正确答案为
.
故选：A
【变式训练5-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知
为椭圆
的左顶点，
、
是
椭圆上的点.若四边形
满足
，
，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得
，则
，设
为直线
的倾斜角，可得
，进而求得
的范围，得解.
【详解】由题意知
，由
知
为平行四边形，则
、
关于
轴对称，
设
，
（不妨设
），将
点坐标代入椭圆方程可得
，
因为
，设
为直线
的倾斜角，则
，
所以
，所以
，
.
所以椭圆离心率的取值范围为
.
故选：B.
【变式训练5-4】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆
上存在一点
，使
得
为等腰三角形，且
为钝角，则椭圆
的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】不妨设点
在第一象限，根据题意求出
的取值范围，结合椭圆方程可得出
的取值范围，
由此可得出关于
、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】设椭圆
的半焦距为，则
，
，
因为
为等腰三角形，且
为钝角，则
，
设点
，则
，
，
则
，可得
，又因为
，故
，
所以
，
所以
，化简得出
.
故答案为：
.
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
例6-1（多选）已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，P 是C 上任意一点，则（ ）
A．C 的离心率为
B．
的周长为12
C．
的最小值为3
D．
的最大值为16
【答案】BD
【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据
的最小值为
作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断.
【详解】椭圆
即为
，
故
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
的周长为
，故B 正确；
对于C，
的最小值为
，故C 错误；
对于D，
，当且仅当
时等号成立，故D 正确，
故选：BD.
例6-2（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点A，B 均在C 上，其中
，则
（ ）
A．椭圆C 的长轴长为
B．椭圆C 的离心率为
C．点
在椭圆C 内
D．
的值可以是6
【答案】BC
【分析】根据题意先求
，进而得
即可判断ABC，对于D 设
，则
，利用
的范围即可判断.
【详解】由题意有
，所以椭圆方程为
，所以
，
所以椭圆的长轴长为
，故A 错误；
离心率为
，故B 正确；
又因为
，故C 正确；
设
，
，
所以
，
又
，所以
，又
，故D 错误，
故选：BC.
方法技巧
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
【变式训练6-1】（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
）是椭圆E 上的
一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E 的长轴长为5
B．椭圆E 的离心率为
C．
D．恰好存在两个点P 使得
【答案】BC
【分析】由椭圆的方程可得
，即可判断AB；由
判断C，确定P 点所在方
程，联立椭圆方程可求出符合题意的点的个数，判断D.
【详解】对于椭圆
，
，故椭圆长轴长为
，A 错误；
椭圆离心率为
，B 正确；
点
）是椭圆E 上的一个动点，则
，即
，C 正确；
由
可知P 点位于以
为直径的圆上，
，
则该圆方程为
，联立
，解得
，
则
或
或
或
，故满足题意的点P 有4 个，D 错误，
故选：BC
【变式训练6-2】（多选）椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
在
上，双曲线
与椭圆
有
相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点
，使得
B．若
，则
C．若
是等腰三角形，则满足条件的
点有4 个
D．若
是椭圆
与双曲线
的交点，且
在第二象限，
交
轴于
点，
平分
，则双
曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据
的范围判断A，利用余弦定理判断B，根据对称性判断C，记双曲线
的实半轴长为
，
设
，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达
，从
而建立关于
的方程，求出
，即可判断D.
【详解】对于A：椭圆
的左右焦点分别为
，
，
点
在
上，所以
，故A 正确；
对于B：因为
，
在
中由余弦定理
，
即
，即
，所以
，故B 正确；
对于C：若
是等腰三角形，若
或
，由对称性可知满足条件的
点有
个；
若
，又
，则
，此时点
在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件
的
点有
个；
综上可得，满足条件的
点有
个，故C 错误；
对于D：记双曲线
的实半轴长为
，
在第二象限，
所以
，
，
设
，因为
交
轴于点
，且
平分
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知，
，
设
，则
，
由角平分线定理可知，
，即
，解得
，
在
中，
，
所以
，因为
，解得
，
因此，双曲线
的离心率
，故D 正确.
故选：ABD
题型7 椭圆的实际应用
例7-1（多选）已知
，
是椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，是椭圆的一条切
线，切点为
，
，
在直线上的投影分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】设切线上一动点为
，根据椭圆定义得到
，设右焦点
关于切线的对称点为
，
设左焦点
关于切线的对称点为
，
，分析知
，
，
三点共线，所以
，即可判断选项A，由投影及对称性分析得
，
，判
断选项B，取切点
在椭圆上顶点时，可得
，由椭圆中
与
的大小不确定，进而判断选
项C，设
，
，
，结合余弦定理，化简后即可判断选项D.
【详解】对于选项A：设切线上一动点为
，
一方面根据椭圆定义得到
，
当且仅当点
在切点
时，取到等号；
另一方面，设右焦点
关于切线的对称点为
，
设左焦点
关于切线的对称点为
，
则
，
当且仅当点
，
，
，三点共线时，取到等号；
所以
，
，
三点共线，所以
，故选项A 正确；
对于选项B：由前面分析得到
，同理
，
所以
，故选项B 正确；
对于选项C：举反例说明，如取切点
在椭圆上顶点时，则
，
而所给椭圆中
与
的大小不确定，故选项C 不正确；
对于选项D：设
，
，
，
所以
，
，则
，
又在
中，
，
化简得
，即
，
所以
，故选项D 正确.
故选：ABD.
例7-2 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心
且与太
阳平行光线垂直的平面为
，地面所在平面为
，篮球与地面的切点为
，球心为
，球心
在地面的影
子为点
；已知太阳光线与地面的夹角为
；如图，
为球
的一条直径，
为
在地面的影子，
点
在线段
上，小明经过研究资料发现，当
时，篮球的影子为一椭圆，且点
为椭圆的焦点，线
段
为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（ ）（用
表示）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设篮球半径为
，连接
，过
作
交
于
，则
，于是椭
圆长轴长
，
，由二倍角公式化简即可求解.
【详解】
设篮球半径为
，显然平面
平面
，连接
平面
，
过
作
交
于
，则
，
于是椭圆长轴长
，
在四边形
中，
，
令椭圆半焦距为，而
，则
，
解得
，
所以该椭圆的离心率为
.
故选：A
【变式训练7-1】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5 世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，
则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何
体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积
相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图
1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得
到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都
相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即
．现将椭圆
绕
轴旋转一周后得到如图3 所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造一个底面半径为
，高为
的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可
得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.
【详解】构造一个底面半径为
，高为
的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体．
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为
时，设小圆锥底面半径为，
则
，即
，故新几何体的截面面积为
．
把
代入
，即
，解得
，
故半椭球的截面面积为
，
由祖暅原理，可得椭球的体积为：
圆柱
圆锥
．
故选：A．
【变式训练7-2】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北
京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿
是一个半径为2 的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为
时，在地面形成了一个椭圆形影
子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得短半轴长
，再根据正弦定理求得
，进而根据离心率的公式求解
即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长
，
在
中，
，
由正弦定理得：
，
所以
，
故选：D.
【变式训练7-3】如图，在一个高为20，底面半径为2 的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓
球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度
均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭
圆的一个标准方程 .
【答案】
或
【分析】设切点为
，与圆柱面相交于
，由题意
即为椭圆的长轴
，椭圆短轴即为圆柱底面
直径的长，分析即得解.
【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为
，与圆柱面相交于
，
此时可知
即为椭圆的长轴
，在直角三角形
中
，
,又
，
所以
，
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即
，
所以椭圆的标准方程为
或
，
故答案为：
或
.
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 与C 交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故
，而离心率为
，故
，
故
，故椭圆方程为：
.
（2）
由题设直线
的斜率不为0，故设直线
，
，
由
可得
，
故
即
，
且
，
故
，
解得
，
故
.
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点
为B，
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ)
(ⅱ)
【分析】（1）根据题意列出
的关系式,解方程求出
,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设
,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点
的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接
运算即可解出.
【详解】（1）由题可知,
，所以
，解得
，
故椭圆C 的标准方程为
；
（2）(ⅰ)设
，易知
，
法一：所以
，故
，且
．
因为
，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以点
的坐标为
.
法二：设
，则
，所以
，
，故
点
的坐标为
.
(ⅱ)因为
,
,由
,可得
,化简得
,即
,
所以点
在以
为圆心,
为半径的圆上（除去两个点）,
为
到圆心
的距离加上半径,
法一：设
,所以
,当且仅当
时取等号,
所以
.
法二：设
，则
，
，当且仅当
时取等号,
故
.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为
或
.
【分析】（1）代入两点得到关于
的方程，解出即可；
（2）方法一：以
为底，求出三角形的高，即点
到直线
的距离，再利用平行线距离公式得到平移
后的直线方程，联立椭圆方程得到
点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点
到直线
的
距离，再设
，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点
到
直线
的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线
斜率不存在的情况，再设直线
，联立椭圆方程，得到点
坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线
斜率
不存在的情况，再设
，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线
法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘
表达面积即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以
.
（2）法一：
，则直线
的方程为
，即
，
，由（1）知
，
设点
到直线
的距离为
，则
，
则将直线
沿着与
垂直的方向平移
单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点
，
设该平行线的方程为：
，
则
，解得
或
，
当
时，联立
，解得
或
，
即
或
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，联立
得
，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为
或
.
法二：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，则
，解得
或
，
即
或
，以下同法一.
法三：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，其中
，则有
，
联立
，解得
或
，
即
或
，以下同法一；
法四：当直线
的斜率不存在时，此时
，
，符合题意，此时
，直线的方程为
，即
，
当线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立椭圆方程有
，则
，其中
，即
，
解得
或
，
，
，
令
，则
，则
同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
则
，解得
，
此时
，则得到此时
，直线的方程为
，即
，
综上直线的方程为
或
.
法五：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当的斜率存在时，设
，令
，
，消
可得
，
，且
，即
，
，
到直线
距离
，
或
，均满足题意，
或
，即
或
.
法六：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当直线斜率存在时，设
，
设与
轴的交点为
，令
，则
，
联立
，则有
，
，
其中
，且
，
则
，
则
，解得
或
，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为
或
，即
或
.
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，进一步得
，由此即可得解；
（2）设
，
，联立椭圆方程，由韦达定理有
，而
，令
，即可得解.
【详解】（1）由题意
，从而
，
所以椭圆方程为
，离心率为
；
（2）直线
斜率不为0，否则直线
与椭圆无交点，矛盾，
从而设
，
，
联立
，化简并整理得
，
由题意
，即
应满足
，
所以
，
若直线
斜率为0，由椭圆的对称性可设
，
所以
，在直线
方程中令
，
得
，
所以
，
此时
应满足
，即
应满足
或
，
综上所述，
满足题意，此时
或
.
6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、下顶
点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到
，
，再结合
，解之即可；
（2）依题意求得直线
、
与
的方程，从而求得点
的坐标，进而求得
，再根据题意求得
，得到
，由此得解.
【详解】（1）依题意，得
，则
，
又
分别为椭圆上下顶点，
，所以
，即
，
所以
，即
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）因为椭圆
的方程为
，所以
，
因为
为第一象限
上的动点，设
，则
，
易得
，则直线
的方程为
，
，则直线
的方程为
，
联立
，解得
，即
，
而
，则直线
的方程为
，
令
，则
，解得
，即
，
又
，则
，
，
所以
，
又
，即
，
显然，
与
不重合，所以
.
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
，使得
恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：
，
， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合
韦达定理和向量数量积的坐标运算可用
表示
，再根据
可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，故
，
，其中为半焦距，
所以
，故
，
故
，所以
，
，故椭圆方程为：
.
（2）
若过点
的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，
设
，
由
可得
，
故
且
而
，
故
，
因为
恒成立，故
，解得
.
若过点
的动直线的斜率不存在，则
或
，
此时需
，两者结合可得
.
综上，存在
，使得
恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设
，根据
的坐标及
轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设
，
，
，联立直线方程和椭圆方程，用
的坐标表示
，结
合韦达定理化简前者可得
，故可证
轴.
【详解】（1）设
，由题设有
且
，故
，故
，故
，
故椭圆方程为
.
（2）直线
的斜率必定存在，设
，
，
，
由
可得
，
故
，故
，
又
，
而
，故直线
，故
，
所以
，
故
，即
轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1.椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【答案】D
【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.
【详解】椭圆
的长轴长为
，短轴长为
，焦距为
，离心率为
，
椭圆
的长轴长为
，短轴长为
，
焦距为
，离心率为
，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.
故选：D.
2.若椭圆
上一点
到焦点
的距离为6，则点
到另一个焦点
的距离 ．
【答案】14
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由
，则
，由
在椭圆上，故有
,
又
，所以
.
故答案为：
.
3.如图，一动圆与圆
外切，与圆
内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程.
【详解】圆
的圆心为
，半径
.
圆
的圆心为
，半径
，
，所以圆
与圆
的关系是内含.
设动圆圆心为
，动圆半径为，
由于
，
所以
点的轨迹是以
为焦点，即
，
，
的椭圆，
所以点
的轨迹方程为
.
4.求椭圆
的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
【答案】答案见解析
【分析】由椭圆的标准方程
可以知道
，
，则椭圆位于四条直线
，
所围成
的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个椭圆．
【详解】根据椭圆的方程
，得
，
，
，
所以，椭圆的长轴长
，短轴长
，
离心率
，焦点为
，
，
顶点为
，
，
，
．
将方程变形为
，
根据
算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标（如下表所示）：
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2.94
2.75
2.4
1.8
0
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
5.如图，在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段
的中点M 的轨迹是什么？为什么？
【答案】点M 的轨迹是椭圆，理由见解析
【分析】点
在圆
上运动，点P 的运动引起点
运动．我们可以由
为线段
的中点得到点
与点
坐标之间的关系式，并由点
的坐标满足圆的方程得到点
的坐标所满足的方程．
【详解】设点M 的坐标为
，点P 的坐标为
，则点D 的坐标为
，
由点M 是线段
的中点，得
，
．
因为点
在圆
上，
所以
①
把
，
代入方程①，得
，
即
．
所以点
的轨迹是椭圆．
6.根据下列条件判断方程
表示什么曲线.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)椭圆
(2)双曲线
【分析】（1）利用椭圆的标准方程判断即可；
（2）利用双曲线的标准方程判定即可.
【详解】（1）当
时，
且
，故方程
表示椭圆；
（2）当
时，
，方程
，故表示双曲线；
7.已知椭圆C 的焦点为
，短轴的一个端点为B，且
是一个等边三角形，求椭圆C 的离心率．
【答案】
【分析】根据等边三角形以及椭圆的知识求得正确答案.
【详解】因为
，
由于
是等边三角形，所以
，
从而有
．
