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专题06 平面解析几何
1．B
2．D
3．D
4．B
5．C
6．
（或
）（两种形式均正确）.
7．
1．A．
2．B
3．C
4．ACD
5．
/
6．
/
1．A
2．D
3．D
4．C
5．C
6．ABD
7．
/
考点1
直线与圆
考点2
椭圆
考点3
双曲线
1．C
2．C
3．BCD
4．ACD
5．ACD
6．ACD
7．AC
8．ABD
9．
10．B
11．【详解】（1）依题意可知，动圆
的圆心
到点
与到直线
的距离相等，
根据抛物线定义可得曲线
是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以曲线
的方程为
，则直线
经过抛物线的焦点，
设
，联立
，整理得
恒成立，
则
，又
可化为
，则
，
所以
，联立
，
消
可得
，
又因为
，所以点
的轨迹方程为
.
（2）
考点4
抛物线
（i）设
，则
，
又
，则
，又
，
所以
，即直线
的方程为
，
整理得
，令
，可得
，①
同理得
的方程为
，令
，可得
，②
又直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，令
，得
，
由①可知，
，
①②可得
.
于是可得
，即
，又因为
，则
，
于是
，即
，即
，
即
，又
，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
则
，所以
，所以
.
（ii）由（i）可知，
，则
，
所以
，
则
，
两式作差可得
所以
.
令
，即
.
当
时，显然不合题意；
当
时，
随着
的增大而增大，
又
，
，
，
则满足不等式
的
的最小值为9.
1．【详解】（1）由椭圆
的离心率为
，
可设
，
，则
，
由右焦点
，可知
，则
，
，
即椭圆的标准方程为
.
（2）如图：
考点5
圆锥曲线定值定点问题
过
且倾斜角为45°的直线的方程为
，
与椭圆
联立可得：
，即
，
可得
，
.
所以
，
所以
.
所以
.
2．【详解】（1）方法1：根据题意，得
，解得
，所以双曲线C 的标准方程为
；
方法2：根据题意知
，
，则
，
双曲线C 的标准方程为
；
（2）由题知直线斜率不为0，设过
的直线为
，
因为
，所以
，
即点
和点
到直线
的距离相等，
则有
，解得
（舍），
则直线MN 的方程为
.
3．【详解】（1）由
，得
，
为抛物线
上位于第一象限内的一点，
设
，
，则
，即
，
由题知，
，解得
，
抛物线
的方程为
；
（2）由上可知，点
的坐标为
，
若直线
的斜率不存在，则直线
垂直于
轴，
是
与
轴的交点，显然是
的中点，
若直线
的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线
的方程为
，
联立
整理得
，
设点
，
的坐标分别为
，
，则
，
则
，
的坐标分别为
，
，
直线
的方程为
，于是点
的坐标为
，
，
，
三点在同一直线上，
，
是线段
的中点；
（3）可设
（
），
由上可得
，
，
由
，得
，解得
，
点
的坐标为
，由题意得直线必不垂直于
轴，
可设
，联立
整理得
，
其中
恒成立，
设
，
，
由韦达定理，有
，
，
进而得
，
，
，
综上可得，直线
，
的斜率之积为定值
.
4．【详解】（1）
设圆的半径为，以
为圆心、
为半径的圆交
轴于
，
，点
在
轴上，
为原点，
所以
.
，
.
点
坐标为
，所以
.
设
点坐标为
，则
，所以
，
所以
，
即
，
解得
，所以抛物线
的方程为：
.
（2）由（1）知
.
设直线的方程为
，
，
.
代入抛物线
方程
，整理得
，
，所以
，所以
，
.
所以
的值为2.
5．【详解】（1）由题设
，
，则双曲线方程为
．
（2）①设
，且
，
的直线方程为
，
的直线方程为
．
设
，
，联立直线
与双曲线方程有
，
化简得
，由韦达定理知
，
有
，代入直线有
．则
联立直线
与双曲线方程，化简有
，
由韦达定理知
，有
，代入直线有
设
，
，
，
由
得
，
化简得
，可得
，则
．
②设直线
方程为
，则有
联立方程组
，化简得
，则
，
由
知
，由
知
，
．
6．【详解】（1）由题意可设
，则
，
根据椭圆的定义可知
的周长为
，
所以
，即椭圆方程为
；
（2）设点
在椭圆
上，易知
，
所以
，
即
，当且仅当
时取得等号，
即椭圆上有且仅有一点
在直线
上，
所以过椭圆上一点
的切线方程为：
；
（i）由上知
，可设l 方程为
，
，
而直线斜率存在且不为0 及椭圆的对称性可知
，
则
分别为
，
联立
可得
是定值，
又作差可得
，整理得
，
即
，所以M 点在定直线
上；
（ii）易知
，
联立
得
，
所以
，
则
，是定值，证毕.
7．【详解】（1）由题意可得
，解得
，
，
所以椭圆方程为
；
（2）（ⅰ）设
，则
，
，
所以
，
设
，
，
，
，其中
，
，
由
，消去
，得
，
则
从而
，
同理，可得
，
，
则
，
由
，
，
成等差数列，得
，即
，
解得
，
，或
（舍），
（舍），
所以点
的坐标为
．
（ⅱ）证明：设
，
，
，
当直线
的斜率不存在时，易得
，直线
的方程为
，或
，直线
的方程为
，
将
代入椭圆的方程，可得
，
所以
的面积
，
当直线
的斜率存在时，有
的中点
，则
，
因为
，
在椭圆上，则
，相减得
，
整理得
，所以可得
，
所以直线
的方程为
，
即
，
令
，可得直线
在
轴上的截距为
，则
，
将
代入椭圆的方程，得
，
即
，则
，
，
所以
，
所以
，
又因为
是△ABC 的重心，所以
，
综上，
的面积是定值
．
8．【详解】（1）由题意得
，
，
又
，
，
.
（2）
椭圆
的焦距为6，
，即
，故
，
，
又
，
，
设
，则
，
，解得
，
，
把
和
代入标准方程，得
，即
，
，
，故椭圆
的方程为
.
又
，点
的横坐标为
，
三角形的高为
，故
.
9．【详解】（1）记E 的半焦距为c，由右焦点为
可得：
，而
，
故
，于是E 的方程为
．
（2）
（ⅰ）不妨设
，
，
设
，联立
，
有
，可得
，
，
即
，
易知
，直线MB 的斜率为
，
故直线MB 的方程可表示为
，
当
时，显然
，
故
，
所以直线
过定点
．
而当AB 斜率为0 时，直线
就是
轴，也过点
．
综上，直线MB 过定点
．
（ⅱ）由（ⅰ）可得
，所以
，
则
，
所以有
，即
是定值．
1．【详解】（1）抛物线
的焦点坐标为
，已知焦点
，故
，
因此抛物线方程为：
.
（2）（i）由方程
，故在点
处切线方程为：
考点6
圆锥曲线范围最值问题
方程为
，
方程为
方程为
，
联立
故解得
，
同理可得
则过
点与垂直的直线为：
，①
过点
点与
垂直的直线：
，②
①－②可得：
故
的垂心在一定直线
上
（ii）设
，由（i）可知：
的直线方程为
，
将
代入可得：
，
同理可得
，
故
的直线方程为
，
联立直线
与抛物线得
，
由弦长公式
，
为了使
的面积最大，必须保证
处的切线与直线
平行，
所以
，
从而
故
的面积为：
，
当
时，取得最大值
.
2．【详解】（1）由已知
，解得
，所以C 的方程为
（2）设MN：
，
，
将直线与椭圆方程联立
，
整理得
，经检验
，
根据韦达定理
，
因为
，所以
，即
，
所以
，整理得
，
将韦达定理代入得
，
去分母后整理得
，解得
，
3．【详解】（1）由题知点
，
，
又因为两椭圆离心率相同，
因此
，即
，
，
．
（2）由（1）知
，
，
当斜率k 不存在时，显然成立；
当斜率k 存在时，设直线l 为
，
，
，
，
，
联立
得，
，
，韦达定理
，
设
中点为
，则
，
，
，
联立
得，
，
，韦达定理
，
设
中点为
，则
，
，
，
和Q 重合，
，
，
（ⅱ）①当斜率k 不存在时，
，
联立
得，
，
联立
得，
，
所以
，计算得
，所以
．
②当斜率k 存在时，
，
，
，
，
平方化简得，
，
直线
，
所以原点到直线的距离为
，
，
，
，
，
，
综上，坐标原点O 到直线距离的取值范围是
．
4．【详解】（1）解：因为椭圆
的离心率
，且过点
，
可得
且
，解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆
，可得
，
设直线的方程为
，
的方程为
，且
，
，
联立方程组
，整理得
，
所以
，
，
因为
为
的中点，所以
，
，
即
，同理可得
，
直线MN 的方程为
，即
，
所以直线MN 过的定点为
.
（ⅱ）由MN 过的定点为
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的面积最大值为
.
