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专题05 空间向量与立体几何
3 大考点概览
考点01 空间几何体的表面积与体积
考点02 点线面的位置关系
考点03 求线面角二面角与点到平面的距离
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底
面直径为（ ）
A．1m
B．2m
C．
m
D．
m
2．（2026·湖南邵阳·一模）在正四棱锥
中，
是棱PA 的中点，平面EBC 将该正四棱锥分割成
两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，曲线
绕着
轴旋转一周得到一个旋转体
，
在
中放入4 个半径为的小球，四个小球均与旋转体
的表面以及开口平面相切，则小球半径的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O（O 为球心）的球面上，
为
等边三角形，
，
，且
，则二面角
的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
5．（2026·湖南湘潭·一模）在正四棱台
中，
，且
，记能将正
四棱台
罩住的半球的最小半径为
，正四棱台
外接球的半径为
，则
考点1
空间几何体的表面积与体积
（ ）
A．
B．1
C．
D．
6．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正
方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高
为
，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2026·湖南邵阳·一模）已知圆台
的上、下底面的面积分别为
和
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若圆台
存在内切球，则内切球的体积为
B．若圆台
的母线与下底面所成的角为
，则圆台
的外接球的表面积为
C．若圆台
的外接球的体积为
，则圆台
的表面积为
D．若圆台
的外接球的体积为
，则圆台
的体积为
或
三、填空题
8．（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，
、
分别是圆柱上、下底面圆的直径，
且四面体
的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为________.
9．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形
中，斜边
为斜边
上的一点，沿直线
将
折起形成二面角
．当三棱锥
的体积最大时，三棱锥
的外接球的
表面积为___________．
10．（2026·湖南永州·一模）在直四棱柱
中，底面ABCD 为平行四边形，
分别是棱
的中点，
是底面
内一动点．若直
线
平面
，则三棱锥
外接球表面积的最小值为___________．
一、单选题
1．（2026·湖南永州·一模）已知
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，且
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·湖南常德·一模）若
为两条直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
考点2
点线面的位置关系
D．若
，
，
，则
二、填空题
3．（2026·湖南株洲·一模）棱长为1 的正方体
的各顶点均在过点
的平面
的同侧，若
和
与平面
所成的角的大小均为
，则点
到平面
的距离为___________．
4．（2026·湖南邵阳·一模）已知正四面体
的棱长为
，用满足
的动点
构成的平面截正四面体
，则所得截面的面积为___________．
一、解答题
1．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥
中，平面
平面
是边长为2 的等边三
角形，
．
(1)证明：
；
(2)若线段
上的点
满足直线
与直线
所成角的余弦值为
，
求点
到直线
的距离．
2．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，点
在线段
上，
，平面
平面
.
考点3
求线面角、二面角与点到平面的距离
(1)求证：
；
(2)设点
是三棱锥
的外接球的球心，且四棱锥
的体积是
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
3．（2026·广西河池·一模）如图，在四棱锥
中，
，
平面
平面
是棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
4．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，侧面
是等边三角形，
，二面角
的平面角大小为
为
的中点.
(1)设平面
平面
，求直线与直线
的夹角大小；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值；
(3)设
为侧棱
上一点，四边形
是过
两点的截面，分别交
于
两点，其中
为
的中点，
平面
，求四棱锥
的体积的取值范围.
5．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)设
在线段
和
上，且
为
中点，
，若直线
与平
面
所成角的大小为
，
（i）求平面
与平面
所成角的余弦值；
（ii）平面
交直线
于点
，设
，求
的值.
6．（2026·湖南永州·一模）如图，四边形
为直角梯形，且
．点
满足
平面
．
(1)若
为
上靠近点
的三等分点，请判断直线
与平面
的位置关系并说明理由；
(2)若
，点
满足
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
7．（2026·湖南湘潭·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
是以
为
斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若
，
，且直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2026·湖南常德·一模）已知四棱锥
中，底面
为直角梯形，
平面
，
，
，
，
是
的中点.
(1)
为
的中点，
为
上一点，
平面
，证明：
为
中点；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
9．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
,
平面
为棱
上的点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，请确定点
的位
置；若不存在，请说明理由．
10．（2026·湖南永州·一模）如图，
是半圆
的直径，
是
上的两个三等分点，点在底面
上的射影为
的中点
．
(1)当
时，求点
到平面
的距离；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
11．（2026·湖南株洲·一模）如图①，在平面内，正方形
的边DE，CF 分别为两等腰直角
，
的腰．将
分别沿DE，CF 折起，使A，B 两点重合，记为点
，得到一个四棱锥
，点G，H 分别是线段
，
的中点，如图②．
(1)求证：
平面DEM；
(2)求直线CM 与平面
所成的角的正弦值；
(3)若
平面
，求
的值．
12．（2023·湖北武汉·一模）如图，在边长为4 的正三角形ABC 中，E，F 分别为边AB，AC 的中点．将
沿EF 翻折至
，得到四棱锥
，P 为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
平面EFCB，求直线
与平面BFP 所成的角的正弦值．
