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专题三 立体几何
第3 讲 立体几何中截面、动态问题
【探究真题.明确方向】
1.(2023·新课标Ⅱ卷，T14)底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，
高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 .
2.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷，T12)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚
度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m 的球体
B.所有棱长均为1.4 m 的四面体
C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m 的圆柱体
D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m 的圆柱体
【命题预测】本讲是高考命题常考的内容，属于中高档题目，一般以选择题、填空题为主，分值约为5~6
分.
【考向预测】一是“截面、交线”问题，主要与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合；二是
“动态”问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新
颖.
考点一 截面问题
【典例】1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别为棱AB，AD 的中点，过点E，F，C1三点作该
正方体的截面，则( )
A.该截面多边形是四边形
B.该截面多边形与棱BB1的交点是棱BB1的一个三等分点
C.A1C⊥平面C1EF
D.平面AB1D1∥平面C1EF
【变式训练】1 (多选)如图，棱长为2 的正四面体ABCD 中，M，N 分别为棱AD，BC 的中点，O 为线
段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是( )
A.AO⊥平面BCD
B.球O 的体积为
❑√2π
3
C.球O 被平面BCD 截得的截面面积为4 π
3
D.球O 被正四面体ABCD 表面截得的截面周长为8 ❑√3 π
3
考点二 交线问题
【典例】2 (2025·九江模拟)在棱长为❑√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 在正方体内(包含边界)运动.
若直线A1P 与DC 所成的角为π
6 ，则动点P 所围成的图形的面积是( )
A.π
4
B.π
2
C.3 π
4
D.π
【变式训练】2 四棱锥P-ABCD 满足PA⊥底面ABCD，且AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=AD=1
2BC=1，
动点E 在以P 为球心，1 为半径的球与△PCD(包括边界)的交线上，动点F 在直线PB 上，则EF 的最小
值为 .
考点三 动态问题
【典例】3 (多选)在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 在侧面CC1D1D(含边界)内运动，Q 在底
面ABCD(含边界)内运动，则下列说法正确的是( )
A.若直线AC 与直线AP 所成角的大小为30°，则点P 的轨迹为椭圆的一部分
B.若过点Q 作体对角线A1C 的垂线，垂足为H，满足QA=QH，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分
C.若点P 到直线B1C1的距离与点P 到平面ABCD 的距离相等，则点P 的轨迹为抛物线的一部分
D.若点P 满足∠PAD=∠PAC1，则点P 的轨迹为线段
【变式训练】3 (多选)(2025·济宁模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 在正方体的内切球
表面上运动，且满足BP∥平面ACD1，则下列结论正确的是( )
A.BP⊥B1D
B.点P 的轨迹长度为π
C.线段BP 长度的最小值为
❑√6
6
D.⃗BP·⃗BC1的最小值为1-
❑√3
3
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为矩形ABCD，矩形A1B1C1D1对角线的交点，则平面
A1BC1与平面BB1D1的交线为( )
A.直线OO1
B.直线OB1
C.直线O1B
D.直线OD1
2.已知点P 是正四面体A-BCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则点P
的轨迹被平面ABE 所截得的图形为( )
A.线段
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
3.已知三棱锥P-ABC 的棱PA，PB，PC 两两垂直，且PA=4❑√3，PB=PC=4.以BC 为直径的球的球面与平面
APC 的交线为l，则l 的长度为( )
A.4
B.4
3
C.4 π
3
D.4π
4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F 分别是棱AD，B1C1的中点，若P 为侧面ADD1A1内
(含边界)的动点，且B1P∥平面BEF，则B1P 的最小值为( )
A.8 ❑√2
5
B.2❑√30
5
C.❑√5
D.2❑√2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.如图，棱长为a 的正四面体形状的木块，点P 是△ACD 的中心.劳动课上需过点P 将该木块锯开，并使得
截面平行于棱AB 和CD，则下列关于截面的说法中正确的是( )
A.截面不是平行四边形
B.截面是矩形
C.截面的面积为2a
2
9
D.截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABD
6.(2025·大庆质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2❑√3，BC=AA1=2，M，N 分别为B1C1，A1B1的中
点，则( )
A.B1D⊥平面BMN
B.若P 为对角线AC 上的动点(包含端点)，则三棱锥M-BPN 的体积为定值
C.三棱锥B1-BMN 的外接球的体积为8 ❑√2
3
π
D.若点P 为长方形ABCD 内一点(包含边界)，且D1P∥平面BMN，则D1P 的最小值为2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为
4，则a 的最大值为 .
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中点，记平面AD1E 与平面ABCD 的交线为l1，平面
AD1E 与平面ABB1A1的交线为l2，若直线AB 分别与l1，l2所成的角为α，β，则tan α= ，
tan(α+β)= .
