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专题 01 空间向量与立体几何（6 种经典基础练+3 种优选提升
练）
空间向量的线性运算及坐标表示
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•湖北期末）已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向
量的模为
A． B． C． D．
2．（2023秋•房山区期末）在三棱柱 中， 为棱 的中点．设 ，
，用基底 ， ， 表示向量 ，则
A． B． C． D．3．（2023秋•清远期末）已知空间向量 ，则下
列说法正确的是
A． 是等腰直角三角形
B． ，则 ， ， ， 四点共面
C．四边形 是矩形
D．若 与 分别是异面直线 与 的方向向量，则 与 所成角的余弦值为
二．多选题（共3小题）
4．（2023秋•红山区期末）已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ，
， ，2， ， ，2， ．下列结论正确的有
A． B．
C． 是平面 的一个法向量 D．
5．（2023秋•合肥期末）如图，空间四边形 中， ， 分别是边 ， 上的点，且
， ，点 是线段 的中点，则以下向量表示正确的是
A． B．
C． D．
6．（2023秋•重庆期末）给出下列命题，其中正确的是A．任意向量 ， ， 满足
B．在空间直角坐标系中，点 ，3， 关于坐标平面 的对称点是 ，3，
C．已知 ， ， ， 为空间向量的一个基底，
则向量 ， ， 能共面
D．已知 ，1， ， ，2， ， ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
三．填空题（共3小题）
7．（2023 秋•遵义期末）已知长方体 中，点 为线段 的中点，
，则 ．
8．（2023秋•许昌期末）已知 ，1， 、 ，3， 、 ，2， ，则向量 在 上的
投影向量的模是 ．
9．（2023秋•天津期末）已知空间向量 ，则 ．
四．解答题（共1小题）
10．（2023秋•喀什市校级期末）已知向量 ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 ， 的值．空间中点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•桂林期末）在空间直角坐标系 中，点 ，1， 到坐标原点 的距离为
A． B． C． D．
2．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，正方体 中， 是线段 上的动点
（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线 始终异面
A． B． C． D．
3．（2023秋•东营期末）若平面 平面 ，直线 ，直线 ，那么 ， 的位置关系是
A．无公共点 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
4．（2023秋•浦东新区期末）下列命题中，为假命题的是
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一个平面的两条直线平行
C． ， 是空间两条直线，若 且 ，则
D．若直线 垂直于平面 内的两条相交直线，则直线 垂直于平面
5．（2023秋•湖州期末）已知空间内三点 ，1， ， ，2， ， ，3， ，则点 到直线 的距离是
A． B．1 C． D．
二．填空题（共3小题）
6．（2023秋•海淀区校级期末）如图，已知 ， 分别为三棱锥 的棱 ， 的中点，
则直线 与 的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交” ．
7．（2023秋•长宁区校级期末）在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线
与直线 的位置关系是 ．
8．（2023秋•浦东新区期末） ， ， 三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个．
三．解答题（共2小题）
9．（2024春•巴音郭楞州期末）如图，已知正四棱柱 ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面10．（2023秋•五华区校级期末）如图，正四棱锥 的高为6， ，且 是棱
上更靠近 的三等分点．
（1）证明： ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，求 的长度．
空间中直线与直线所成的角
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•仙游县期末）如图所示的四棱锥 中，底面 为正方形，且各棱长均相
等， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为A．1 B． C． D．
2．（2023秋•新余期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，
该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示
的曲池，其中 底面 ，底面扇环所对的圆心角为 ，扇环对应的两个圆的半径之比为
， ， ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
3．（2023秋•沈阳期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 中，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
4．（2023秋•东城区期末）如图，已知 是正方体 的棱 的中点，则直线与 所成角的余弦值为 ．
5．（2023秋•成都期末）如图所示，圆锥的轴截面是边长为 2的正三角形， 为 的中点，
为 的中点，则直线 与 所成角的大小为 ．
6．（2023秋•眉山期末）如图是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．
其中 ，那么直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
7．（2023秋•苏州期末）已知圆台的高为2，上底面圆 的半径为2，下底面圆 的半径为4，
， 两点分别在圆 、圆 上，若向量 与向量 的夹角为 ，则直线 与直线 所
成角的大小为 ．
8．（2023秋•佛山期末）佛山是全国著名的工业城市，这里生产的部分产品通过水路运输到全国
乃至全世界．如图1是佛山一个货运码头的吊机，其作用是完成集装箱的装船或卸船．为了研究其
结构的稳固性，工程师把一个吊机的部分结构（图 1 中圈住部分）画成图 2 的空间几何体
．若四边形 是矩形， ， ， ， ，
， ，则直线 与 所成角的余弦值为 ．三．解答题（共3小题）
9．（2023秋•邵东市校级期末）如图，三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，
平面 ， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
10．（2023 秋•安顺期末）将矩形面 绕边 顺时针旋转 得到如图所示几何体
．已知 ， ，点 在线段 上， 为圆弧 的中点．（1）当 是线段 的中点时，求异面直线 写 所成角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？如果存在，求出线段 的长，如果不
存在，说明理由．
11 ． （ 2023 秋 • 湖 北 期 末 ） 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 底 面 是 菱 形 ， 且
， ， ．
（1）求 的长．
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值．空间中直线与平面所成的角
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•黔东南州期末）在空间直角坐标系中，已知向量 是平面 的一个法向
量，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
2．（2023秋•保定期末）在空间直角坐标系中，过点 ， ， 且一个法向量为 ， ，
的平面 的方程可写为 ．已知直线 的方向向量为 ，1，
，平面 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
三．解答题（共4小题）
3．（2023秋•浦东新区校级期末）在圆锥 中， 是底面圆周上一点．设 的长为1，且圆
锥的侧面展开图是半圆．
（1）记圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积 （用 ， 表示）；在
本题中，求圆锥的侧面积；
（2）求母线 与底面所成角的大小．4．（2023秋•聊城期末）如图，在长方体 中， ， ， 为 的
中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2023秋•西城区校级期末）如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形，
平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．6．（2023秋•大东区校级期末）如图，在长方体 中， ， ，点
在 上，且 ．
（Ⅰ）求直线 与 所成角的大小；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦．
二面角
一．选择题（共2小题）
1．（2023秋•大连期末）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面
的 方 程 （ 即 平 面 上 任 意 一 点 的 坐 标 ， ， 满 足 的 关 系 式 ） 为 ：
”．用此方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为
和 ，则这两平面所成角的余弦值为A． B． C． D．
2．（2023秋•西青区期末）在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平
面 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
3．（2024春•南阳期末）三棱锥 中，平面 与平面 的法向量分别为 ， ，
， ，1， ，则二面角 的大小可能为
A． B． C． D．
三．填空题（共1小题）
4．（2024春•成都期末）如图，在正方体 中，直线 与直线 所成角的大小
为 ；平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
四．解答题（共3小题）
5．（2023秋•电白区期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形， ， ， ，点 在棱 上．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值．
6．（2023 秋•道里区校级期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， 是棱 上一点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
7．（2023秋•二道区校级期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，
是等边三角形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小；
（3）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，若存在，求线段 的
长；若不存在，说明理由．
体积法求点面距离
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•济南期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边
三角形，在该几何体中， 为直线 上的动点，则 到直线 距离的最小值为
A． B． C． D．二．多选题（共1小题）
2．（2022秋•淄博期末）在棱长为3的正方体 中，点 在棱 上运动（不与顶
点重合），则点 到平面 的距离可以是
A． B． C．2 D．
三．填空题（共1小题）
3．（2023秋•西安期末）在四棱锥 中， 面 ，四边形 为直角梯形，
， ， ，则平面 与平面 夹角的余弦值为
，异面直线 与 的距离为 ．
四．解答题（共1小题）
4．（2023秋•重庆期末）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边
长为2的等边三角形，四边形 是矩形， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离．空间向量与翻折问题
1．（2023秋•泰安期末）如图1，在直角梯形 中， ， ， ，
， ， ， 分别为 ， 的中点，沿 将平面 折起，使二面角
的大小为 ，如图2所示，设 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上的动
点（不包括端点）．
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 ．
2．（2023秋•仙游县期末）如图1， 是边长为6的等边三角形，点 ， 分别在线段 ，
上， ， ，沿 将 折起到 的位置，使得 ，如图2．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；（Ⅱ）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
3．（2023秋•邯郸期末）如图，四边形 是平行四边形， ， 为 的中点．以
为轴，将 折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，以 为轴，将
折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，设平面 平面 直
线 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2023秋•锦州期末）如图1，在直角梯形 中， ， ， ，
， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到△ 位置，如图2．
（1）证明： ；
（2）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．5．（2023秋•景德镇期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面
体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1， ， ， 分别是边长为4的正方形的
三边 ， ， 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段 折起，连接 ， 就得到了一个“刍薨”（如图 ．
（1）若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的平面角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
6．（2023秋•西山区期末）已知平行四边形 如图甲， ， ，沿 将
折起，使点 到达点 位置，且 ，连接 得三棱锥 如图乙．（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023秋•让胡路区校级期末）已知 和 均是等腰直角三角形， 既是 的斜
边又是 的直角边，且 ，沿 边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中
点．
（1）求证： ．
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 ．若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
空间向量与存在性问题
1．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形 的边长为1， 平面 ，三角形
是等边三角形．
（1）求异面直线 与 所成的角的大小；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成的角大小为 ？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由．
2．（2023秋•金东区校级期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，
， ， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）在直线 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不
存在，请说明理由．
3．（2023秋•威宁县期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角
梯形， ， ， ．
（1）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明；若
不存在，请说明理由．
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．4．（2023秋•驻马店期末）如图，在四棱锥 中， 面 ， ，且 ，
， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在，求
出 的值，若不存在，说明理由；
（3）在平面 内是否存在点 ，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请
写出点 的轨迹图形形状．空间向量与最值问题
1．（2023秋•包河区校级期末）正方体 的棱长为5，点 在棱 上，且 ，
点 是正方体下底面 内（含边界）的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距
离的平方差为25，则动点 到 点的最小值是
A． B． C． D．
2．（2023秋•湖北期末）如图，在 中， ，过 的中点 的动直线
与线段 交于点 ，将 沿直线 向上翻折至△ ，使得点 在平面 内的射影
落在线段 上，则斜线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
3．（2023秋•岳麓区校级期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边
长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，
且 和 的长度保持相等，记 ．
（1）求 长的最小值；（2）当 的长最小时，求二面角 的正弦值．
4．（2023 秋•乐山期末）已知直棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上任一点， ， 分别为 ， 中点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，平面 与平面 的二面角的正弦值最小，并求出最小值．5．（2022秋•萍乡期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为
2的正方形， ， 为 的中点， ， 是棱 上两点 在 的上方），且 ．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）当点 到平面 的距离取得最大值时，求 的长．
6．（2023秋•新华区校级期末）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
为底面圆 的内接正三角形，点 在母线 上，且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离．
