文档文本内容
专题06 平面解析几何
7 大考点概览
考点01 直线方程与圆的方程
考点02 椭圆方程及其性质
考点03 双曲线方程及其性质
考点04 抛物线方程及其性质
考点05 圆锥曲线弦长面积问题
考点06 圆锥曲线定点定值问题
考点07 圆锥曲线证明，最值与探索问题
一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P 是直线
上一点，过点P 作圆
的两条切
线，切点分别为A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求得
的最大值，再由二倍角公式得出
的最小值．
【详解】圆
的圆心C 的坐标为
，半径为1．
因为PA，PB 为圆C 的切线，切点分别为A，B，
所以
，
，
，
，
所以
，
．
当
时，
取最小值，
，此时
取最大值
，
又
，函数
在
上单调递增，即
取最大值，此时
取最大值，
又
，所以
．
考点1
直线方程与圆的方程
2．（2026·湖南·二模）过点
且倾斜角为
的直线l 交圆
于
、
两点，则弦
的
长为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】过点
且倾斜角为
的直线
，即
．
∵圆
，即
，
∴圆心坐标为
，圆心到直线l 的距离
，
∴直线被圆截得的弦长
.
3．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆
与双曲线
渐近线相切得出
，即可求解椭圆的离心率．
【详解】由圆
得，圆心
，半径为1，
双曲线
的一条渐近线为
，即
，
因为圆
与双曲线
的渐近线相切，
所以圆心
到渐近线
的距离
，整理得
，
所以椭圆
的离心率
．
4．（2026·湖南岳阳·二模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在
平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点
是阴影区域(含边
界)上的一个动点，则
的值不可能是（ ）
A．0
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【分析】设
，则
，讨论P 点所在区域，求出
的最大
值和最小值，即可得
的最大值和最小值，即可判断出答案.
【详解】由于
，
设
，即
表示阴影区域(含边界)上的点P 和点
之间的距离，
则
；
当P 在半圆
上时，
的最小值为
；
当P 在x 轴下方的阴影区域（包含边界）时，
的最小值为
和
或
之间的距离，为
，
而
，即
的最小值为
；
当P 在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为
，
的最大值为
；
故
的最小值为
，最大值为
结合
可知
的值不可能是10.
二、填空题
5．（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
，动点
满足
.当
取最大值时，
______.
【答案】
【分析】先求出点
的轨迹方程，判断出当
取最大值时点
的位置，结合直线与圆的位置关系求解
即可.
【详解】设
.
因为
，所以
，
整理得
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
则当
取最大值时，
与圆相切，则
.
在
中，
，
所以
.
6．（2026·湖南常德·二模）已知曲线
在
处的切线与圆
相交于
两点，则
___________．
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解.
【详解】由
得
，故
，进而可得曲线
在
处的切线方程为：
，
即
，
圆心
到直线的距离为
，
故
.其中为圆
的半径.
一、单选题
1．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
考点2
椭圆方程及其性质
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆
与双曲线
渐近线相切得出
，即可求解椭圆的离心率．
【详解】由圆
得，圆心
，半径为1，
双曲线
的一条渐近线为
，即
，
因为圆
与双曲线
的渐近线相切，
所以圆心
到渐近线
的距离
，整理得
，
所以椭圆
的离心率
．
二、多选题
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
两点，则下列结论成立的是（ ）
A．
的周长为8
B．
C．
的最小值为
D．存在直线，使得
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据
的最大角即可判断D．
【详解】A，根据椭圆的定义，
，
所以
的周长为
，故A 正确；
B，根据基本不等式，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C，设直线
的方程为
，
，
与椭圆方程联立
得，
，
，
，
，
当
时，
最小为1，故C 错误；
D，当直线过短轴顶点时，
最大，
此时
，即
最大为
，
所以存在直线，使得
，故D 正确．
3．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是曲线
上的动点，点
，
内切圆的圆心记为
，直线
与直线
交于点
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．存在点
，使得
（
为坐标原点）
C．
为定值
D．
【答案】ACD
【分析】对曲线
方程中
互换，得出方程不变，从而得出
，判断选项A；对曲线方程进行变形，
利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出
，从而判断
选项C；利用选项C 结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D．
【详解】对于A，由方程中
互换后方程不变可得曲线
关于直线
对称，故A 正确；
对于B，设
，由
，得
，
当且仅当
时，等号成立，
，从而
，故B 错误；
对于C，
，故
4，是定值，故C 正确；
由选项C 可知，
是以
为焦点，4 为长轴长，
为焦距的椭圆，
是
的内心，
在
上，
由三角形内角平分线定理得
，变形得
，
是
的角平分线，则
，令
，
在
中，
，即
，①
在
中，
，即
，②
三点共线，则
，
则
，
将①除以②，可得
，
，由等比性质，可得
，
即
，故D 正确．
4．（2026·湖南郴州·三模）已知二次曲线
表示一个椭圆，则（ ）
A．
的对称中心为
B．
上的点到原点距离的取值范围是
C．当点
在
上时，
D．
的离心率为
【答案】ACD
【分析】根据对称性定义计算可判断A；令
，由
代入化简可得
，
计算可判断B；将曲线看作关于
的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证明旋转公式，再将原方
程标准化，计算判断D 即可.
【详解】对于A，设
是二次曲线
上任意一点，
将
代入二次曲线
，
化简可得
，所以
在二次曲线
上，
则二次曲线
的对称中心为
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
因为
，得
，
所以
，解得
，即
，
所以二次曲线
上的点到原点距离的取值范围是
，故B 错误；
对于C，将曲线方程
视为关于
的方程
，
因为
为实数，所以
，
解得
，当点
在二次曲线
上时，
可得
，故C 正确；
对于D，先推理旋转公式，记平面内点
在角
的终边上，则
，
而绕原点顺时针旋转一个锐角
，可得旋转后的坐标为
，
由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下，
为
，
又
，
所以
，即旋转公式得证，
将原方程化为标准方程，而其旋转角为
，
旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得
，
而
，解得
，设
，
代入曲线
，化简可得
，
故二次曲线
可以看作由椭圆
绕坐标原点逆时针旋转
得到，
如图所示，作出符合题意的图形，
在椭圆
中
，
故二次曲线
的离心率为
，故D 正确.
三、填空题
5．（2026·湖南长沙·二模）已知点
在椭圆
上，
的左焦点为
，若线段
的中点在以原
点
为圆心，
为半径的圆上，则
的值为_______.
【答案】
【分析】连接
与椭圆的右焦点，
与
的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可.
【详解】由已知得：
，
设椭圆的右焦点为
，
的中点为
，连接
和
（如图所示），
因为
在以
为圆心，
为半径的圆上，所以
，
又
为
的中点，
为
的中点，所以
，
由椭圆的定义知：
.
6．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是椭圆
和抛物线
的公共焦点，
是
的另一个焦点，
是
与
的交点，若
是等腰直角三角形，则
的离心率为
__________．
【答案】
【分析】过
作
准线的垂线，设垂足为
，通过
是等腰直角三角形，结合抛物线和椭圆定义
即可求解.
【详解】如图，因为
是
的公共焦点，
是
的另一个焦点，所以
的准线经过点
．
根据对称性，不妨令
在第一象限．
因为
是等腰直角三角形，所以
．
过
作
准线的垂线，垂足为
，则
是等腰直角三角形，
则
．又
，
所以
，即
．
设
，则
，
则
的离心率为
．
7．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆
，
，
为
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
两点，
的面积为
，
的内切圆与
相切于点
，若
，则
的离心率为__________．
【答案】
【分析】利用三角形面积可求得
为椭圆短轴端点，再利用切线线相等的性质可求得
，再结合椭圆的定义可求得
，最后利用椭圆的第二定义推导的焦半径
公式来表达相等关系，即可求得离心率.
【详解】由
的面积
，
代入椭圆方程得
，即
为椭圆短轴端点，
不妨取
，
由椭圆的定义可得
的周长为
，
根据内切圆切线长性质：
，
由椭圆的定义得：
，
，
，
则
，
由
得
，即
，
直线
过
)和
，方程为
，
联立椭圆方程
，代入可得：
，
解得
点横坐标
，
由椭圆右焦半径公式
，
再代入
可得：
，
所以解得
.
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
且斜
率为
的直线与双曲线E 的右支交于
两点，若
则双曲线E 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．2 或
D．
或
考点3
双曲线方程及其性质
【答案】D
【分析】直线的倾斜角为
，由题意可得
，结合双曲线定义及已知可得
，
，
分
在第一象限，
在第四象限时和
在第四象限，
在第一象限两种情况，求出
与
的关系，在
中，利用余弦定理找到
的关系，结合离心率的定义求解即可.
【详解】如图所示：
设直线的倾斜角为
，则有
，所以
，
即
，又因为
，解得
，
又因为直线与双曲线的右支交于
两点，所以
，即有
，
所以
，
，所以
，解得
，
又因为
所以
，
由双曲线定义可得
，所以
，
又因为
，在
中，
，
由余弦定理可得
,
所以
，
整理得：
，
即
，解得
，负根舍去.
当
在第一象限，
在第四象限时，如图所示：
此时在
中，
，
由余弦定理可得
,
所以
，整理得：
，
即
，解得
，负根舍去.
综上，
或
.
2．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆
与双曲线
渐近线相切得出
，即可求解椭圆的离心率．
【详解】由圆
得，圆心
，半径为1，
双曲线
的一条渐近线为
，即
，
因为圆
与双曲线
的渐近线相切，
所以圆心
到渐近线
的距离
，整理得
，
所以椭圆
的离心率
．
二、多选题
3．（2026·湖南怀化·二模）已知双曲线C：
，则下列结论正确的是（ ）
A．m 的取值范围是
B．C 的焦距与m 的取值无关
C．若C 的离心率不小于2，则m 的取值范围为
D．存在实数
，使得点
在C 上
【答案】ABC
【分析】A.由
求解判断；B.由C 的焦距为2 判断；C.由
和
求解判断；
D.结合
，由
判断.
【详解】由题意得
，则
，A 正确．
由题意知
，故C 的焦距为2，与m 的取值无关，B 正确．
由
，解得
，又
，所以m 的取值范围为
，C 正确．
假设存在实数
，使得点
在C 上，则
，
．
当
时，
，则
，
所以
在
上无实数解，D 错误．
4．（2026·湖南永州·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
是
的渐近线上一点（
在
轴上方），直线
与圆
相切，且与
的左、右两支分别交于
两点，若
，则（ ）
A．以
为直径的圆与圆
相切
B．
的离心率
C．线段
的中点在直线
上
D．
的面积为
【答案】ABD
【分析】设
的中点为
，则
，即可判断A；设直线
与圆
的切点为
，直线
为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得
，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点
差法计算可得
，求出直线
的斜率即可判断C；设
，则
，
根据双曲线的定义可得
，结合
计算即可判断D.
【详解】设
的中点为
，则
，
以
为直径的圆与圆
的圆心距为两圆的半径之和，
故以
为直径的圆与圆
相切，故A 正确；
因为点
是双曲线的渐近线上的一点，
，
所以
，设直线
与圆
的切点为
，
则
，故直线
的斜率为
，
即直线
为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知，
，即
，
所以双曲线的离心率为
，故B 正确；
设
的中点为
，设
，
则
，直线
的斜率为
，
且
，两式相减得
，
整理得
，即
，
又因为直线
的斜率为
，所以直线
的斜率为
，
所以
的中点在直线
上，故C 错误；
D：设
，因为
，
所以
，由双曲线的定义得，
，
因为
，代入得
，化简整理得
，
即
，即
，
解得
，又
，
所以
的面积为
，故D 正确.
故选：ABD
5．（2026·湖南湘潭·二模）已知
，
是双曲线
上两个不同的点，
是
的左顶点，则（ ）
A．
的焦距为
B．当
轴时，
与
可能垂直
C．当
时，
，
的横坐标之和的取值集合为
D．当
，
的纵坐标异号时，对任意的点
，都存在点
，使得
【答案】AC
【分析】对于A，根据双曲线方程进行判断；对于B，利用向量法进行判断；对于C，得到Q，R 的轨迹方
程，联立双曲线方程，求解；对于D，根据倾斜角和渐近线进行判断.
【详解】
的焦距为
，A 正确．
当
轴时，
．
（方法一）
，则
，因为
的两条渐近线互相垂直，所以
，B 错误．
（方法二）设
，
，则
，
，
则
，
若
，则
，解得
，
此时
，
，
三点重合，这与题意不符合，所以
与
不可能垂直，B 错误．
当
时，
，
在以
为圆心，3 为半径的圆上，
该圆的方程为
，
由
得
，
整理得
，解得
，
，
所以
，
的横坐标之和可能为
，
，
，
故
，
的横坐标之和的取值集合为
，C 正确．
如图，设
在第一象限，当直线
的倾斜角为
时，设直线
与
轴交于点
，
若
，则
，则直线
与
的一条渐近线
平行，从而点
不存在，D 错误．
故选：AC.
三、填空题
6．（2026·湖南衡阳·二模）已知双曲线
的右焦点为F，过F 作双曲线C 的渐近线
的垂线，垂足为P，若
，则C 的离心率为_______．
【答案】
【详解】由题意设
，不妨设双曲线的渐近线为
，即
，
则点F 到渐近线
的距离
，又
，所以
，
所以双曲线的离心率
．
四、解答题
7．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线
，我们称
与
互为“交
换双曲线”；对于椭圆
，我们称
与
互为“交换椭圆”.
(1)若双曲线E 的“交换双曲线”为自己本身，且过点
，求双曲线E 的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设双曲线E 的左顶点为A，斜率为2 的直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，且
B，C 均不在x 轴上.试判断
的垂心是否在双曲线E 上，并说明理由；
(3)已知椭圆W 的焦点在x 轴上，长轴长为
，离心率为
.封闭曲线
上任一点
满足：当
时，点D 在椭圆W 上；当
时，点D 在椭圆W 的“交换椭圆”上.若矩形
关于直线
对称且
各顶点均在曲线
上，求证：矩形
的面积小于5.20.（注：
）
【答案】(1)
(2)
的垂心在双曲线E 上，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出
，即可得答案.
（2）分别表示出直线
、直线
的方程，两式联立求出
，再代入双曲线的方程验证即可证
明.
（3）求出椭圆
的方程与其“交换椭圆”的方程，设
，根据矩形的性质，可得
的表达式，根
据直线
平行直线
，求出直线PN 的方程，与椭圆W 联立，根据韦达定理，可得N 点坐标，根据弦
长公式，可得
表达式，进而可得面积S 的表达式，根据椭圆W 的参数方程，结合三角函数的性质，即
可得证.
【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知
，即
，
所以设双曲线的方程为
，又因为过点
，
所以
，双曲线E 的标准方程为：
.
（2）
，设直线的方程为：
，设
，
，
联立
可得：
，
直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，
所以
，解得：
，
又因为
，
，
设垂心为
，所以直线
的方程为：
，
又因为
，所以直线
的方程为：
，
联立
可得：
，
则
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，又因为
在
，
所以
，所以
，
又因为：
.故
的垂心在双曲线E 上.
（3）由长轴为
，可得
，由离心率
，得
，
所以
，
不妨设椭圆
的焦点在x 轴，则方程为
，
则椭圆
的“交换椭圆”方程为
，
所以曲线
的方程为
，
因为矩形关于
对称，设
在椭圆W 上
，
则
在“交换椭圆”上
，则
，
又直线
平行直线
，则直线PN 的斜率为1，
所以直线PN 的方程为
，即
，
联立
，得
，
所以
，得
，
所以
，
所以面积
，
因为点P 在椭圆W 上，所以
，
令
，
代入可得
，
取
，此时等号成立，
且当
时，
，
，
，满足
，
故矩形
的面积小于5.20.
一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·二模）已知抛物线
上的点
到抛物线焦点F 的距离为5，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义，结合抛物线的准线方程，即可求得答案.
【详解】由抛物线的定义可得，点P 到抛物线焦点F 的距离等于点P 到准线的距离，
抛物线的准线方程为
， 所以
，解得
.
2．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线
的焦点为
，点
在
轴上且位于
右侧，点
在
上，
考点4
抛物线方程及其性质
若
为等边三角形，则
（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】如图，设
，则
，结合抛物线的定义得
，进而建立
关于
的方程，解之即可求解.
【详解】如图，
，设
，
的中点为
，
则
，又
为等边三角形，所以
，
由抛物线的定义知
，所以
，
解得
，所以
.
故选：D
3．（2026·湖南张家界·三模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
上一点
作的垂
线，垂足为
，则直线
的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线方程，进而得出焦点坐标和准线方程，即可得出
，再计算直线
的一般
式方程．
【详解】把点
坐标代入
的方程可得
，
所以
，故点
，
则直线
的斜率为
，
于是
，转化为一般方程为
．
4．（2026·湖南永州·三模）已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，直线
交
轴于点
．
若
为
的中点，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】D
【详解】
由抛物线
得焦点
，设
，
因为
是
的中点，所以
的坐标为
，
因为
在抛物线上，将
坐标代入
得：
，
再由两点间距离公式：
.
5．（2026·湖南郴州·三模）已知点
，抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一动点，
则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】设
到准线的距离为
，则
．然后求出
．判断当
与抛物
线
相切时，
最小，即
取得最大值，再利用切线性质计算即可得.
【详解】抛物线
的准线方程为
，
设
到准线的距离为
，则
，
则
，
则当
与抛物线
相切时，
最小，即
取得最大值，
设过
点的直线
与抛物线相切
，
联立
，得
，
，解得
，
即有
，解得
，把
代入
得
，
或
，此时
.
二、多选题
6．（2026·湖南·二模）设抛物线
的焦点为
，
到准线的距离为
，过
的直线交
于
、
（
在第一象限）两点，过点
作准线的垂线，垂足为
，直线
交
轴于点
，则（ ）
A．抛物线
的方程为
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则直线AB 的方程为
【答案】ABD
【分析】利用焦点到准线的距离计算即可得A；由抛物线定义可计算出点
坐标，再利用面积公式计算即
可得B；利用焦半径公式计算可得点
坐标，则可得点
、
坐标，即可得C；设出直线
的方程，联
立曲线方程，利用韦达定理计算可得
、
，再利用焦点弦公式计算即可得D.
【详解】对A：因为
到准线的距离为2，所以
，故抛物线方程为
，故A 正确；
对B：因为
，则
，
，即
，
则
，故B 正确；
对C：若
，则
，
，即
，
所以
，
，则直线FN 的方程为
，
所以
，故
，故C 错误，
对D：易知直线AB 的斜率不为0，设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，易知
，则
，
又
，
，
，
因为
，即
，设
，
则
，
所以
，
，所以
，所以
，
又点A 在第一象限且
，所以
，所以直线
的方程为
，故D 正确．
三、填空题
7．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是椭圆
和抛物线
的公共焦点，
是
的另一个焦点，
是
与
的交点，若
是等腰直角三角形，则
的离心率为
__________．
【答案】
【分析】过
作
准线的垂线，设垂足为
，通过
是等腰直角三角形，结合抛物线和椭圆定义
即可求解.
【详解】如图，因为
是
的公共焦点，
是
的另一个焦点，所以
的准线经过点
．
根据对称性，不妨令
在第一象限．
因为
是等腰直角三角形，所以
．
过
作
准线的垂线，垂足为
，则
是等腰直角三角形，
则
．又
，
所以
，即
．
设
，则
，
则
的离心率为
．
四、解答题
8．（2026·湖南常德·二模）抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知直线交抛物线
于
两点，直线
交抛物线的准线于点
，且
轴．
（i）证明：直线过定点；
（i）点
为抛物线
的准线与
轴的交点，若
的面积与
的面积相等，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组
，即可求解；
（2）（i）设直线
，
，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间
的关系，得
，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成
到直线
的距离相等，再利用
点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
，
则
，消
得到
，解得
，所以抛物线
的标准方程
.
（2）（i）由题可设
，
，
由
，消
得到
，则
，
，
又
，所以
，令
，得到
，
所以
，又
轴，则
，得到
，
所以
，解得
，则
，所以直线过定点
.
（ii）因为
在抛物线上，则
，解得
，所以
，由（i）知
，
又点
为抛物线
的准线与
轴的交点，则
，又
的面积与
的面积相等，
则
到直线
的距离相等，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
一、解答题
1．（2026·湖南常德·二模）抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知直线交抛物线
于
两点，直线
交抛物线的准线于点
，且
轴．
（i）证明：直线过定点；
（i）点
为抛物线
的准线与
轴的交点，若
的面积与
的面积相等，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组
，即可求解；
考点5
圆锥曲线弦长面积问题
（2）（i）设直线
，
，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间
的关系，得
，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成
到直线
的距离相等，再利用
点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
，
则
，消
得到
，解得
，所以抛物线
的标准方程
.
（2）（i）由题可设
，
，
由
，消
得到
，则
，
，
又
，所以
，令
，得到
，
所以
，又
轴，则
，得到
，
所以
，解得
，则
，所以直线过定点
.
（ii）因为
在抛物线上，则
，解得
，所以
，由（i）知
，
又点
为抛物线
的准线与
轴的交点，则
，又
的面积与
的面积相等，
则
到直线
的距离相等，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
2．（2026·湖南·三模）已知椭圆
的上、下焦点分别为
，
，右顶点为
，
为锐角三角形且面积为
．
(1)求椭圆
的离心率．
(2)过
的直线交椭圆
于
，
两点（
在
的左侧），且
的面积与
的面积相等．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）若
，求椭圆
的方程．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
或
；（ⅱ）
.
【分析】（1）法一：利用三角形面积公式求出
，得到
，进而得到
关系，求出离心率；
法二：联立方程组，将
代入，得到关于
的齐次式，进而求出离心率；
（2）（ⅰ）由
得到
和
到直线的距离相等，分两种情况：当
和
在直线同侧时，
，计算
的斜率；当
和
在直线异侧时，直线过
的中点，计算
的斜率；
（ⅱ）先验证斜率为
时，
，不符合题意，舍去；
再分析斜率为
的情况：联立直线与椭圆方程，用韦达定理求出弦长
，由
垂直平分
得
，结合椭圆定义转化得
，进而求出
，得到椭圆方程.
【详解】（1）法一：因为
，
所以
，又
为锐角三角形，所以
，即
为等边三角形，
所以
，即
．
法二：由题意得
消去
得
，
同除以
得
，即
，解得
或
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，故
．
（2）（ⅰ）
，
和
到直线的距离相等，
当
和
在直线同侧时，
，直线的斜率为
；
当
和
在直线异侧时，直线过
的中点
，
直线的斜率
，
综上，直线的斜率为
或
．
（ⅱ）当直线的斜率为
时，设直线的方程为
，
，
，
联立
消去
，得
，
解得
或
所以
，
，
（不合题意，舍去）；
（另解：在
中，
，
，故
，从而
，不合题
意）
当直线的斜率为
时，设直线的方程为
，
，
，
联立
消去
，得
，
故
，
．
，
由（ⅰ）知
垂直平分
，故
，
所以
，故
，
此时椭圆
的方程为
，
综上所述：椭圆
的方程为
．
3．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆
的离心率为
，椭圆
经过点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若椭圆
的左、右顶点分别为
，直线交椭圆
于
两点（与
不重合）．设直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，且
．
（i）求证：
；
（ii）设弦
的中点为
，
为坐标原点，直线
与椭圆交于
两点，求四边形
面积的取值
范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据离心率、椭圆
之间关系直接求解即可；
（2）（i）由椭圆第三定义和已知斜率关系可证得
，由此可结论；
（ii）由
，结合韦达定理可求得
，得到直线
方程；利用点差法可求得直线
方程，
进而得到
坐标；根据弦长公式、点到直线距离公式可表示出四边形
的面积，由函数值域求法可
求得结果.
【详解】（1）
椭圆
经过点
，
，
设椭圆的半焦距为，则
，
，
，
椭圆
的方程为：
.
（2）（i）连接
，由椭圆方程知：
，
，设
，
，
，
，
，
又
，
，即
，
；
（ii）易知直线
斜率不为
，可设直线
方程为：
，
由
得：
，则
，
，
，
，
，
即
，
，
又
，
，
整理可得：
，解得：
，
，
，
，
，
当
时，
与
轴重合，即
，此时
；
当
时，
，
，则直线
，即
，
由
得：
，
，
则点
到直线
的距离分别为
，
，且
与
异号；
，
，
，
，
且
，即
；
综上所述：的取值范围为
.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求四边形的面积；
④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
4．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆
的离心率为
分别是椭圆的左，右焦
点，点
为椭圆上任意一点，且
面积的最大值为
所在的直线经过椭圆的中心
，现将坐标
平面沿
轴折成一个直二面角，如图1､2 所示.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)当
不在
轴上时，如图2，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）当
在短轴端点时
面积最大，再结合离心率为
与
，可求出椭圆方程；
（2）折叠前直线
与椭圆方程联立求出
坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定
的
空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值；
（3）直线
与椭圆方程联立，利用韦达定理得到
坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写
出
的空间坐标，利用空间向量可算出
到
的距离
，再根据三角形面积公式
结合
基本不等式可求出面积最大值.
【详解】（1）由题意知
，解得
∴椭圆C 的标准方程为
.
（2）翻折前，
所在直线方程为
，
联立
，消
得
，解得
，
不妨设
，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
于是
.
设异面直线
与
所成角为
，
.
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（3）设翻折前
所在直线方程为
，
联立
，消
得
，
设
（令
），
由韦达定理有
.
翻折后，
，
故
，
则
，
所以
，
于是
.
所以
，
令
，有
，于是
.
令
，由对勾函数的性质，
在
上单调递增.
所以当
时
取得最小值，为
，此时
取得最大值，
的最大值为
.此时
，解得
.
所以当直线的斜率
时，
面积取得最大值，最大值为2.
5．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线
，我们称
与
互为“交
换双曲线”；对于椭圆
，我们称
与
互为“交换椭圆”.
(1)若双曲线E 的“交换双曲线”为自己本身，且过点
，求双曲线E 的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设双曲线E 的左顶点为A，斜率为2 的直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，且
B，C 均不在x 轴上.试判断
的垂心是否在双曲线E 上，并说明理由；
(3)已知椭圆W 的焦点在x 轴上，长轴长为
，离心率为
.封闭曲线
上任一点
满足：当
时，点D 在椭圆W 上；当
时，点D 在椭圆W 的“交换椭圆”上.若矩形
关于直线
对称且
各顶点均在曲线
上，求证：矩形
的面积小于5.20.（注：
）
【答案】(1)
(2)
的垂心在双曲线E 上，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出
，即可得答案.
（2）分别表示出直线
、直线
的方程，两式联立求出
，再代入双曲线的方程验证即可证
明.
（3）求出椭圆
的方程与其“交换椭圆”的方程，设
，根据矩形的性质，可得
的表达式，根
据直线
平行直线
，求出直线PN 的方程，与椭圆W 联立，根据韦达定理，可得N 点坐标，根据弦
长公式，可得
表达式，进而可得面积S 的表达式，根据椭圆W 的参数方程，结合三角函数的性质，即
可得证.
【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知
，即
，
所以设双曲线的方程为
，又因为过点
，
所以
，双曲线E 的标准方程为：
.
（2）
，设直线的方程为：
，设
，
，
联立
可得：
，
直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，
所以
，解得：
，
又因为
，
，
设垂心为
，所以直线
的方程为：
，
又因为
，所以直线
的方程为：
，
联立
可得：
，
则
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，又因为
在
，
所以
，所以
，
又因为：
.故
的垂心在双曲线E 上.
（3）由长轴为
，可得
，由离心率
，得
，
所以
，
不妨设椭圆
的焦点在x 轴，则方程为
，
则椭圆
的“交换椭圆”方程为
，
所以曲线
的方程为
，
因为矩形关于
对称，设
在椭圆W 上
，
则
在“交换椭圆”上
，则
，
又直线
平行直线
，则直线PN 的斜率为1，
所以直线PN 的方程为
，即
，
联立
，得
，
所以
，得
，
所以
，
所以面积
，
因为点P 在椭圆W 上，所以
，
令
，
代入可得
，
取
，此时等号成立，
且当
时，
，
，
，满足
，
故矩形
的面积小于5.20.
一、多选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是曲线
上的动点，点
，
内切圆的圆心记为
，直线
与直线
交于点
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．存在点
，使得
（
为坐标原点）
C．
为定值
D．
【答案】ACD
【分析】对曲线
方程中
互换，得出方程不变，从而得出
，判断选项A；对曲线方程进行变形，
利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出
，从而判断
选项C；利用选项C 结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D．
【详解】对于A，由方程中
互换后方程不变可得曲线
关于直线
对称，故A 正确；
对于B，设
，由
，得
，
当且仅当
时，等号成立，
，从而
，故B 错误；
对于C，
，故
4，是定值，故C 正确；
由选项C 可知，
是以
为焦点，4 为长轴长，
为焦距的椭圆，
是
的内心，
在
上，
考点6
圆锥曲线定点定值问题
由三角形内角平分线定理得
，变形得
，
是
的角平分线，则
，令
，
在
中，
，即
，①
在
中，
，即
，②
三点共线，则
，
则
，
将①除以②，可得
，
，由等比性质，可得
，
即
，故D 正确．
二、解答题
2．（2026·湖南湘潭·三模）已知双曲线
的实轴长与虚轴长相等，且
的焦距为
．
(1)求
的方程．
(2)对于
上的任意两点
，定义：
．
①若
是
右支上两个不同的点，证明：
．
②若
是
右支上三个不同的点，且存在常数，使得
，证明
为定值，并求
该定值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
①证明见解析；②证明见解析，该定值为
【分析】（1）根据题意即可求出
，从而得到答案；
（2）①根据
是
右支上两个不同的点，以及
的定义即可判断；②根据题意得出
均在直线
上，从而得出
为定值.
【详解】（1）由题可知，
解得
，
则双曲线
的方程为
．
（2）①依题意可设直线
的方程为
．
由
可得
，
则
，且
，
，
所以
因为
是
右支上两个不同的点，所以
．
又
，所以
．
则
，
由
，得
，即
，
则
，故
.
②设
．由
和①可得
，
且
则
均在直线
上．
若
，则
，的方程为
，由
可得
，
则
，因此
若
，则的方程可化为
，
由
可得
．
因为
，所以上式可化为
，
此时
，且
，
因此
，
综上所述，
为定值，且该定值为
．
3．（2026·湖南永州·二模）已知椭圆
经过点
为
的右焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点（的斜率存在且不为0），设点
关于
轴的对称点为
，
的外接圆圆心为
．
（i）求
面积的最大值；
（ii）直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）是；定值为1，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆定义求
，再根据
关系联立方程求解椭圆方程；
（2）（i）直线
方程为
,跟椭圆方程联立可得
，根据直线
与
直线
的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线
过定点
，再利用韦达定理转化面积，再由
一般不等式求解面积最值；
（ii）求解
和
的垂直平分线方程为
，
，联立两直线方
程可得
，
，即得
，再结合
可得斜率乘积为定值.
【详解】（1）如图所示，因为
为
的右焦点，则
，且椭圆左焦点为
，
所以
,
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，
，
联立
，得
，
，即
，
，
，
因为点
关于
轴的对称点为
，则直线
与直线
的斜率之和为0，
所以
，
即
，即
，
得
，即
，所以直线
过定点
，且
，
所以
，
即
，令
，
，
当且仅当
时，即
时，
面积的最大值为
.
（ii）因为
的垂直平分线方程为
，
即
①，同理
的垂直平分线方程为
②，
+
①②得，
，故
，
-
①②得，
，
所以
，即
，
所以
，故
，
又因为
，故
，
所以直线
与直线
的斜率之积是定值1.
4．（25-26 高二下·湖北·月考）已知点
，圆
，P 为圆上的一个动点，线段PD 的
中垂线与PC 交于点Q，当点P 在圆上运动时，记点Q 的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若过定点
且斜率存在的直线l 与曲线
交于A，B 两点，试探究：
①在y 轴上是否存在定点M，使得直线MA，MB 的斜率之积为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
②若N 为平面内一动点，直线NA，NT，NB 斜率的倒数成等差数列，则点N 是否在某定直线上？若存在，
求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
时，直线MA，MB 的斜率之积为定值 ；②点N 在定直线
上
【分析】（1）根据已知结合椭圆定义计算得出
进而得出椭圆方程；
（2）①联立直线和椭圆方程，再应用斜率公式计算求解得出定值；
②应用
，代入化简，再分
和
时，分别计算求解.
【详解】（1）由题意可得，
，则
，
故点Q 的轨迹为椭圆，且
，所以
，
则曲线
的方程为
；
（2）①设直线l 的方程为
，点
．
联立
，消y 可得
，
则
，
所以
，
，
所以
，
整理得
，
则当
，即
时，直线MA，MB 的斜率之积为定值；
②设点
，
由直线NA，NT，NB 斜率的倒数成等差数列，则
，
即
，所以
，
又
，代入可得
．
当
时，则点N 在直线l 上，显然不满足定直线，
当
时，
，
又直线NT 的斜率不能为零，则
，
所以
，即
．
由①可得，
，则
．
综上，所以点N 在定直线
上（经检验
合题意）.
5．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系
中，点
，动点P 满足
，记点P 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)过点Q 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于两点E，F（E 在F 的左侧）．设直线AE，AF 的斜率分别为
．
①求证：
为定值；
②设直线AF，BE 相交于点M，求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可知点
在以
，
为焦点，4 为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程.
（2）①设直线的方程为
，
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦
达定理，即可得到
，再由斜率公式计算可得；
②作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线，设
，表示出直线
、
的方程，
即可得到
，
，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明.
【详解】（1）由
，
，
所以点
在以
，
为焦点，4 为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为
，
焦距为
，则
，
，
所以
，
所以C 的方程为
.
（2）①由
，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为
，
，
，
，
联立
，得
，
则
，
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
，
.
②由①可知，
，所以
，
作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线，
又
，
，设
，
则直线
方程即为直线
方程
，
又直线
方程为
，
作差可得
，
所以
，
所以
，
，
又
，得出
，
又因为
，
所以
，
即
，即
，
所以点
在以
，
为焦点，1 为实轴长的双曲线的左支上运动，
所以
.
一、解答题
1．（2026·湖南·二模）已知动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)若曲线
与
轴的交点分别为
、
（
在
的左侧），过点
的直线交曲线
于点
（
位于第二象
限），
的角平分线交
于点
．
（i）求证：点
在定直线上；
（ii）连接直线
且与曲线
的另一个交点为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点
的轨迹方程；
（2）（i）求出点
、
的坐标，直线
的方程为
，将该直线方程与双曲线
的方程联立，
考点7
圆锥曲线证明，最值与探索问题
求出点
的坐标，点
，利用角平分线定理得出
，结合两点间的距离公式解出
的值，
即可证得结论成立；
（ii）先证明
、
、
三点共线，可得出
，根据点
在第二象限求出
的取值范围，再利用
二次函数的基本性质可求出
的取值范围.
【详解】（1）设
是点
到直线
的距离，
根据题意，动点
的轨迹就是点的集合
，
由此得
，平方化简得
，即
．
（2）（i）令
，代入
，得
，解得
，故
、
，
设直线
的方程为
，与曲线
的方程
联立得：
，则
，
所以
，解得
，
故
，故
，
设点
，则
，
由题意得
，
，
因为
平分
，由角平分线定理得
，即
，
化简得
，即
，解得
，
所以点
在定直线
上．
（ii）连接
并延长交双曲线于点
，下证点
与点
重合，
因为
，
，所以
，
所以直线
的方程为
，
将直线
与曲线
的方程
联立得：
，
所以
，
，
故
，则
，
由（i）得
，则
，故
、
、
三点共线．
又因为
、
、
三点共线，即
与点
重合，所以
，
因为点
在第二象限，则
，解得
，
所以
．
2．（2026·湖南怀化·二模）已知O 为坐标原点，椭圆E：
的右顶点为
，离心
率为
，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B，与直线
，
分别交于点C，D．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若
，求直线l 的方程；
(3)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由右顶点得
，由离心率得
，进而求得椭圆方程；
（2） 利用平行线分线段成比例及对称性，证明线段相等关系，结合已知比例推出点
的纵坐标，代入椭
圆方程求得
点坐标，从而确定直线方程；
（3）设直线方程，联立椭圆方程可表示点
坐标，并写出
、
坐标；计算直线
、
、
的斜率，
利用两角差的正切公式证明
，通过代数化简得到两者相等，再验证斜率取特殊值时
直接计算向量数量积也可得角度相等，从而结论成立.
【详解】（1）由题可知
，解得
，
所以椭圆E 的方程为
．
（2）因为直线
，
到x 轴的距离均为
，
过点
作
轴于点
，交直线
于点
，所以
，
因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
．
因为点
的纵坐标为
，所以点B 的纵坐标为
．
将
代入
，得
，即
．
故直线l 的方程为
或
．
（3）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为
，
，
，
，
．
当
时，
，
．
由
，得
，
．
因为
，所以
，
，
所以
．当
时，
．
又
，
，
所以
，所以
．
当
或
时，以
为例，
直线
，与
联立得
，与
联立得
，
与椭圆方程联立解得另一交点
，
因为
，
，所以
，即
，
因为
，
，所以
，即
,
因此
，其他特殊值同理可证.
综上，
．
3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆
与抛物线
有相同的焦点，坐标原点
为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且
.
(1)求椭圆方程；
(2)若封闭曲线
围成的区域面积为S，证明：
(3)将封闭曲线
绕x 轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω 内部有一个以x 轴为轴的圆台，圆台体积为
，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据抛物线的焦点求出椭圆的，再根据点
的条件列出方程求出
即可；
(2)利用切线放缩，转化成求多边形面积即可；
(3)对圆台位置分类讨论，利用均值不等式或函数求最值即可.
【详解】（1）由抛物线
有相同的焦点为
，
从而在椭圆中有
，得
；
由
，故点
在
的垂直平分线上，由题意
，
从而点
的横坐标为
，代入
，得
，即
，
又点
在椭圆上，从而有
，即得
，
即
，解得
（负值舍去），从而
，
从而所求椭圆方程
.
（2）由（1）可知
，
，
如图过点
，
分别作
轴的平行线，分别交
轴于
，
过点
作
轴的垂线，交
于
，交
于
，
在点
分别作抛物线与椭圆的切线
，分别交
轴于
，直线
于
.
由点
在第一象限，可把抛物线表示为
，求导得：
，
椭圆表示为
，求导得
，
从而
，
从而
的表达式为：
，得
，故
，
从而
的表达式为：
，得
，故
.
由
，
故在第一象限内，直线
在抛物线
上方；
由
，
，
令
，则
，
故在第一象限内，直线
在椭圆
上方；
从而由对称性可知封闭曲线OPAQ 围成的区域面积为
即
，即可得
.
（3）当圆台的两底面均在直线
的左侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
，
又由均值不等式
，当且仅当
时取等号，故
，
即
；
当圆台的两底面在直线
的两侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
（此处应用
的变形
），
而
，
又
，
当且仅当
时，取等号，
而
，
故
，
从而
.
当圆台的两底面在直线
的右侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
，
（此处应用
的变形
），
而
由
，
，而
，
所以
，
令
，
，则
，
令
，
，或
（舍去）
在
导函数
，从而
单调递增；
在
导函数
，从而
单调递减；
从而
在
的最大值为
,
从而
.
综上，封闭曲线
绕x 轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω 内部有一个以x 轴为轴的圆台，圆台体积
为
4．（2026·湖南湘潭·三模）已知双曲线
的实轴长与虚轴长相等，且
的焦距为
．
(1)求
的方程．
(2)对于
上的任意两点
，定义：
．
①若
是
右支上两个不同的点，证明：
．
②若
是
右支上三个不同的点，且存在常数，使得
，证明
为定值，并求
该定值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
①证明见解析；②证明见解析，该定值为
【分析】（1）根据题意即可求出
，从而得到答案；
（2）①根据
是
右支上两个不同的点，以及
的定义即可判断；②根据题意得出
均在直线
上，从而得出
为定值.
【详解】（1）由题可知，
解得
，
则双曲线
的方程为
．
（2）①依题意可设直线
的方程为
．
由
可得
，
则
，且
，
，
所以
因为
是
右支上两个不同的点，所以
．
又
，所以
．
则
，
由
，得
，即
，
则
，故
.
②设
．由
和①可得
，
且
则
均在直线
上．
若
，则
，的方程为
，由
可得
，
则
，因此
若
，则的方程可化为
，
由
可得
．
因为
，所以上式可化为
，
此时
，且
，
因此
，
综上所述，
为定值，且该定值为
．
5．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，
、动点
满足
，
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程：
(2)已知点
，
，过点
作斜率为
的直线交
于
，
两点，设直线
，
的斜率分别为
，
，若
，
，
成等差数列，求．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用双曲线定义求出点
的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线
的方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解.
【详解】（1）由
，得点
的轨迹是以
为左右焦点，实轴长为2 的双曲线，
实半轴长
，半焦距
，虚半轴长
，
因此点
的轨迹方程为
，设
，由
，得
，
于是
，即
，所以曲线
的方程为
.
（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为
，
，
由
消去
得
，
，
则
，
，
，
由
，
，
成等差数列，得
，即
，
则
，即
，所以
.
6．（2026·湖南·三模）已知双曲线
的渐近线互相垂直，
分别为其左、右焦
点，双曲线与圆
的某个交点的横坐标为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过右焦点
的直线l 与
的右支交于P，Q 两点，其中点P 位于第一象限内，直线
分别与y 轴
交于M，N 两点.
（i）是否存在直线l 使得点
在以线段MN 为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，
请说明理由；
（ii）当
时，求出
的大小.
【答案】(1)
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）
或
【分析】（1）由渐近线互相垂直得到
， 双曲线方程和圆方程联立方程组解出即可得解；
（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到
，利用点斜式写出直线
的方程为，直线
的方程为，从而得到点M 的坐标和点N 的坐标，
若点
在以线段MN 为直径的圆上，则
，利用数量积求出
，解得
的值，（ii）利
用两点间距离公式求出
，解得
的值，利用二倍角的正切公式求
.
【详解】（1）因为渐近线互相垂直，所以
，
将双曲线方程和圆方程联立，解出
，解得
，
则双曲线的方程为
；
（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，
设直线
，与双曲线方程联立得到
，设点P，Q 的坐标分别为
，且
恒成立，则
，
直线
的方程为：
，直线
的方程为：
，
故点M 的坐标为
，点N 的坐标为
，
若点
在以线段MN 为直径的圆上，则
，
则
，解得
，
但是注意到直线l 仅与双曲线右支相交，所以
，因此上述直线不符合条件，因此不存在；
（ii）由两点间距离公式可得，
，
则
，解得
或
（舍），可得
，当
时，设l 的倾
斜角为
，
则
，
所以
，同理可得另一个角为
，因此
为
或
.
