二项式定理
考点1
专题05 计数原理与概率统计
5 大考点概览
考点01 二项式定理
考点02 排列组合
考点03 统计
考点04 概率
考点05 随机变量及其分布
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）若
，则
（ ）
A．-56
B．-28
C．28
D．56
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数.
【详解】令
，则原等式化为
，
所以
.
故选：C
二、填空题
2．（2026·安徽宿州·一模）在
的展开式中，
的系数是__________.（用数字作答）
【答案】
【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得.
【详解】因为
的展开式的通项为
，
令
，得
，所以
的系数是
.
故答案为：
3．（2026·安徽淮北·一模）代数式
的展开式中
的系数为__________．
【答案】
排列组合
考点2
【分析】第一步，
中的
和
的展开式的常数项相乘为
的展开式中
的
项；第二步，
中的和
的展开式的
的项相乘为
的展开式中
的项，
这两步相加为
的展开式中
的项，从而得到所求.
【详解】第一步，
中的
和
的展开式的常数项相乘为
的展开式中
的项，
即
；
第二步，
中的和
的展开式的
的项相乘为
的展开式中
的项，
即
；
则
的展开式中
的项为
，系数为
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（2026·安徽安庆·一模）将1，1，2，2，3，3 六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌
不相邻的排法总数为（ ）
A．12
B．30
C．60
D．90
【答案】B
【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列，及“两个1 相邻”和“两个
2 相邻”和“两个3 相邻”的排列数，和“两个1，两个2，两个3 都相邻”的排列数，再利用容斥
原理从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数.
【详解】总排列数：
，
两个1 相邻的排列数：
，
两个2 相邻的排列数：
，
两个3 相邻的排列数：
，
两个1 相邻且两个2 相邻的排列数：
，
两个1 相邻且两个3 相邻的排列数：
，
两个2 相邻且两个3 相邻的排列数：
，
两个1，两个2，两个3 都相邻的排列数：
，
由容斥原理得：两个1 相连或两个2 相连或两个3 相邻的排列数为：
.
所以相同的数字牌不相邻的排法总数为
.
2．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去
五个不同的景点游览．在确定景点
的游览顺序时，要求
在
之前，
与
相邻，则不同的游览顺序共有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．48 种
D．60 种
【答案】B
【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出.
【详解】若
与
相邻，则需将其捆绑并排列，再将
四个元素排列，共有
种，
因为
在
之前和
在
之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有
种.
故选：B
3．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6 这6 个数中随机选取3 个不同的数，则这3 个数
的中位数为4 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】总样本点个数为：
；
若3 个数的中位数为4，则必须满足：
一定选中数字4，剩余2 个数中，恰好1 个比4 小、1 个比4 大，
统计
考点3
比4 小的数有1，2，3 共3 个，比4 大的数有5，6 共2 个，
因此符合条件的样本点个数为：
；
根据古典概型公式，得：所求概率为：
.
4．（2026·安徽淮南·一模）2025 年12 月11 日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、
丙、丁等7 位学生约好2026 年1 月1 日去科技馆志愿服务．现将7 位学生随机分为3 组，每组至少
一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，利用不平均分组问题计算方
法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率.
【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，
当分组为5,1,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为4,2,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为3,2,2 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为3,3,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
甲乙同组且丙丁同组的概率为
.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·一模）某公司50 名员工的月工资统计表如下：
工资/元
3600
4000
4400
5000
6000
7000
人数/名
5
10
20
7
5
3
记这50 名员工月工资的平均数为
元，中位数为
元，众数为元，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可.
【详解】这50 名员工月工资的平均数为
元；
从小到大排列后第25 和第26 个数均为4400，所以中位数为
元；
显然4400 出现次数最多为20 次，所以众数为
元
故
.
故选：B.
二、多选题
2．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025 年2 月至10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下
（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）：
月份
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9 月
10 月
累计收入
（亿元）
43.88
66.57
83.96
96.87
134.69
150.09
161.05
191.67
213.39
同比增长
率（%）
2
2.1
2.1
3
1
4.2
4.8
根据图表，下列说法正确的是（ ）
A．该地区2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B．2025 年8 月该地区的地方一般公共预算收入超过22 亿元
C．2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入比2024 年9 月高
D．2024 年前9 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20 亿元
【答案】CD
【详解】对于A，由图表可知，3 月的地方一般公共预算收入为
（亿元），
4 月的地方一般公共预算收入为
（亿元），故A 错误；
对于B，8 月该地区的地方一般公共预算收入为
（亿元），故B 错误；
对于C，由图表可知，2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入为
（亿
元），
而2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长
，
所以2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为
（亿元），
2025 年8 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长
，
所以2024 年8 月该地区的地方一般公共预算收入累计为
（亿元），
所以2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入为
（亿元），比2025 年9
月少，故C 正确；
对于D，由C 选项可知，2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为
（亿元），
所以2024 年前9 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为
（亿元），故D 正
确．
3．（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200 名同学参赛，经过评判，这200 名参赛
者的得分都在
之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．这200 名参赛者得分的中位数为64
C．得分在
内的频率为
D．得分在
内的共有80 人
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A 的正误；根据直方图中位
数的求法，代入计算，即可判断B 的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数
的关系，即可判断C、D 的正误.
【详解】由题意有
，解得
，故A 正确；
设中位数为
，所以
，解得
，故B 错误；
由题意得得分在
内的频率为
，故C 正确；
由题意得得分在
内的频率为
，
则得分在
内的共有
人，故D 正确.
故选：ACD.
4．（2026·安徽淮南·一模）某AI 软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月
份
以及每个月获得的利润
（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到
经验回归方程
，则（ ）
月份
1
2
3
4
5
利润
5
8
10
12
15
A．
B．每增加1 个月份，月利润约提高2.8 万元
C．10 月份的利润约为26.4 万元
D．5 月份利润的残差为0.2 万元
【答案】AD
【分析】由回归方程过样本中心点即可求解
判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解
判断BCD．
【详解】依题意
，
将
代入
中，解得
，故A 正确；
可以估计每增加1 个月份，月利润提高2.4 万元，故B 错误；
将
代入
中，得到
，故C 错误；
将
代入
中，得到
，则所求残差为
，故 D 正确．
故选：AD．
三、解答题
5．（2026·安徽合肥·一模）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有
合金部件样本900 件，
合金部件样本500 件，采用分层抽样抽取140 件做耐热疲劳测试，以部
件能承受1000 次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表：
材料配方类型
耐热疲劳性能
合计
测试合格
测试不合
格
配方材料试
样
75
配方材料试样
20
合计
140
(1)请完成上述列联表；
(2)依据
的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？
附：
，其中
，
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联
【分析】（1）按照样本总量比例计算A 和B 配方的抽样数量；
（2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关
【详解】（1）由已知
合金部件应抽取
件，
合金部件应抽取
件，由此可得列联表如下
材料配方类型
耐热疲劳性能
合计
测试合格
测试不合格
配方材料试样
75
15
90
配方材料试样
30
20
50
合计
105
35
140
（2）零假设为
：材料配方与耐热疲劳性能无关联，
由表知，
，
，
，
，
，
代入公式得
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
6．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用
情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200 名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制
了如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的
分位数；
(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样
的方式从
，［30，40）年龄段中随机共抽取8 名居民.若从选定的这8 名居民中随机再抽取3
名，记3 人中在
年龄段的人数为
，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)28
(2)分布列见解析，
【分析】（1）解法1：按照
分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可；
解法2：按照
分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在
的居民占的比例为
，年
龄在
的居民所占到比例为
，所以
分位数位于
内，
设其为
，
则
，解
，
所以年龄样本数据的
分位数为28.
解法2.由频率分布直方图知，年龄在
的居民所占的比例
，年龄在
的居
民所占的比例为
，所以
分位数位于
内，
由
所以年龄样本数据的
分位数为28.
（2）被调查的居民年龄在
，
比例为1:3，按照分层随机抽样，
应抽取
人，
应抽取
人.
设从中随机抽取的3 名居民中年龄在
的人数记为X，X 的可能取值为0，1，2.
.
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
0
1
2
所以数学期望为：
.
7．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5 名居民每周参与体育锻炼
的时长
（单位：小时）与身体活力指数
的对应数据，结果如下表所示：
特征量
居民
居民
居民
居民
居民
2
4
6
8
10
4
5
6
8
7
(1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；
(2)求身体活力指数
关于每周锻炼时长
的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民
的身体活
力指数残差.
参考公式：相关系数
；回归系数
.
【答案】(1)
，
与
成正相关，有较强的相关性；
(2)
，1.1.
【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度.
（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差.
【详解】（1）由给定数表得
，
，
，
，
所以样本相关系数
，
与
成正相关，有较强的相关性.
（2）由（1）得
，
所以身体活力指数
关于每周锻炼时长
的一元线性回归方程为
，
当
时，
，所以居民
的身体活力指数残差为
.
8．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，
阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足
球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100 名进行调查，部分数据
如表所示：
喜欢足
球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范点球射门，已知男生进球的概
率为
，女生进球的概率为
，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3 人进球总次数的分布
列和数学期望.
附：
，其中
.
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
有；
(2)
0
1
2
3
数学期望
.
【分析】（1）根据题意，得到
列联表，求得
，参照对应的临界值即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可
求解.
【详解】（1）依题意，得到
列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
于是
，
所以有
的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，人进球总次数
的所有可能取值为
，
则
，
，
，
所以随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
所以
的数学期望为
.
9．（2026·安徽黄山·一模）2025 年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低
碳积分．某社区随机抽取100 名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常
通勤采用公交、骑行、步行”）：
参与绿色出行
不参与绿色出行
总计
青年群体（
40
岁）
35
15
50
中老年群体（
40
岁）
20
30
50
总计
55
45
100
(1)依据小概率值
的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？
(2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为
；若前一天没有参与绿色
出行，则后一天参与绿色出行的概率为
．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为
，分别求
出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率．
附：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【答案】(1)与年龄群体有关
(2)
，
【分析】（1）结合题中数据计算
，然后与临界值比较即可判断.
（2）设
“市民甲第天参与了绿色出行”，
“市民甲第天没有参与绿色出行”，根据全
概率公式和对立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）零假设
：参与绿色出行与年龄群体无关，
概率
考点4
则
，
根据小概率值
的独立性检验，
不成立，
所以参与绿色出行与年龄群体有关．
（2）设
“市民甲第天参与了绿色出行”，
“市民甲第天没有参与绿色出行”，
．
由题意知：
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为
，第三天参与了绿色出行的概率为
．
一、单选题
1．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式
求解.
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则
，
，
所以
.
故选：B
2．（2026·安徽淮南·一模）2025 年12 月11 日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、
丙、丁等7 位学生约好2026 年1 月1 日去科技馆志愿服务．现将7 位学生随机分为3 组，每组至少
一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，利用不平均分组问题计算方
法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率.
【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，
当分组为5,1,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为4,2,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为3,2,2 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
当分组为3,3,1 时，共有
种，其中甲乙同组且丙丁同组有
种；
甲乙同组且丙丁同组的概率为
.
故选：A.
二、填空题
3．（2026·安徽合肥·一模）互不相等的正实数
，
是
的
任意顺序排列，设随机变量
满足：
，满足
的概率
为___________．
【答案】
【分析】根据
找出满足
的排列即可．
【详解】根据题意，
的全排列有
种，
因为随机变量
满足：
，
所以当
或
时，
；
当
或
时，
；
当
或
时，
；
因为满足
或
，
即满足
的排列有：
，共种，
所以
的概率
．
三、解答题
4．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52 张扑克牌，共包含4 种花色（黑桃、红桃、
方片、梅花），每种花色各有13 张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、
7、6、5、4、3、2，其中A 可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副
扑克牌中随机抽取3 张，定义如下牌型：
豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222；
顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23；
金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24；
顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5 红桃6 方片7；
对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334；
散牌：不构成上述任何一种牌型的3 张牌组合.
请回答下列问题：
(1)在一次游戏中，记事件
为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件
为“抽到的牌型为顺金”，
求
；
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请
从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）；
(3)玩家初始持有
次抽牌机会
，每消耗1 次抽牌机会，就从52 张扑克牌中随机抽取3 张，
观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会
数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1 次后的数量；若剩余抽牌机会数为
0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为
，初始持有
次抽牌机会时，玩
家最终获胜的概率为
.试证明：
（i）证明：数列
是严格递增数列；
（ii）证明：对任意
，都有
.
【答案】(1)
(2)规则不合理、不公平
(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断；
（3）（i）找出数列
的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）顺子的牌点组合共12 种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应
种花色组合，故
.
顺金要求花色相同且牌点为顺子，共
种，故
.
由条件概率公式，
.
（2）分别计算各牌型的概率：
，
，
，
，
，
.
概率从小到大排序：
，与规则的牌型大小顺序不一致：
顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型；
顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型.
因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平.
（3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：
，
抽到顺子但非顺金的概率：
，抽到非顺子的概率：
，
初始1 次机会，抽1 次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜，
故
.
初始2 次机会，抽1 次后剩余1 次机会，递推得：
代入
，整理得：
，即
.
（i）用数学归纳法证明：
（一）归纳奠基：
时，
，
因
，
，
，故
.
（二）归纳推理：假设对任意
，都有
，即数列前
项严格递增.
对任意
，递推公式为：
，
因此
，
由归纳假设，
，
，且系数均为正，故
.
由数学归纳法，对任意
，
，即数列
严格递增.
（ii）令
，
，不等式转化为证明
，
.
将
代入原递推公式，化简得：
，边界条件
.
令
，求导得：
，故
在
上严格递减，
因此对任意
.
下面用数学归纳法证明
：
（一）归纳奠基：当
时，
，成立；
（二）归纳推理：假设对任意
，
.
对
，由递推公式和归纳假设：
，
只需证明
，两边除以
得：
，
代入
，右边化简为
，
左边减右边得：
（因
），
故不等式成立，即
.
由数学归纳法，对任意
，即
，移项得：
，得证.
5．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数
从小到大排列构成一个数
，
为这个数的位数.例如：当
时，此数为
，共有
个数字，则
.
现从这个数中随机取一个数字，
为恰好取到
的概率.
(1)求
；
(2)当
时，求
的表达式；
(3)令
为这个数中数字
的个数，
为这个数中数字的个数，
，
，求当
时
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）计算
和数字0 的个数即可求所求概率.
（2）分
、
、
、
四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑
时，当
时，当
时
三种情况，得到
和
的解析式，得到
，再计算概率的
最值得到答案.
【详解】（1）由题可知当
时，
，
即这个数中共有
个数字，其中数字
的个数为
，
则恰好取到
的概率为
；
（2）由题当
时，这个数由位数组成，
；
当
时，这个数由个一位数和
个两位数组成，
则
；
当
时，这个数由个一位数、
个两位数和
个三位数组成，
则
；
当
时，这个数由个一位数、
个两位数、
个三位数和
个四位数组成，
则
；
综上所述
；
（3）当
时，
，
当
时，
；
当
时，
，
即
，
同理有
，
由
可知
，
所以当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
由函数
是关于
单调递增的，
得当
时，有
的最大值为
，
又
，所以当
时，
的最大值为
．
6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5 个大小相同的球，其中有2 个黄球，3 个白球．
(1)随机一次取出3 个球，用
表示取出的球为黄球的个数，求
的分布列和均值
；
(2)逐个不放回地随机取出5 个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的
个数”为事件
，求
．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）求出
的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可
得解；
（2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2 次取到白球或第2 次取到黄球两种情况分析
即可计算求解.
【详解】（1）
的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得
的分布列为
用表格表示
的分布列，如下表所示．
0
1
2
所以
的均值为
．
（2）由题意可知第一次取到的球为白球，设
“第次取到白球”（
）．
若事件
发生，则后面出现情况均满足题意，所以
；
若事件
发生，则事件
一定发生，后面出现的情况均满足题意，
则
．
故
．
7．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球
时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设
次传球后球在乙手中的概率为
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)求
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式计算即可.
（2）根据全概率公式列出
的表达式，确定
是首项为
，公比为
的等比数列，进
而根据等比数列的通项公式求出结果.
（3）根据（2）中的结果得到
，然后根据错位相减法求出
，进而求得结果.
【详解】（1）记
“经过
次传球后，球在乙手中”，
1，2，3，…，
当
时，
，
当
时，
．
（2）由
，即
，
∴
，
∴
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，
∴
．
（3）由（2）知
，令
．
所以
，
从而
，
将以上两式相减可得
，
所以
．
所以
．
8．（2026·安徽芜湖·一模）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6 个小球，编号分别为1，2，
3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3 的倍
数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球.
(1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3 的倍数的概率；
(2)假设第一次是甲摸球，在前4 次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量
，求随机变量
的分布
列和期望；
(3)假设第一次是乙摸球，求第
次是乙摸球的概率.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，
；
(3)
.
【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可；
（2）根据已知有
，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望；
（3）根据已知有
，当
时
，从而得到
为等比数列，即可得.
【详解】（1）在一次摸球后有
种等可能的结果，
其中“两球编号之和为3”有1 种结果，“两球编号之和为6”有2 种结果，“两球编号之和为9”有2
随机变量及其分布
考点5
种结果，
故“两球编号之和是3 的倍数”的概率为
.
（2）由题意
，设事件
分别表示甲乙摸到3 的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)，
事件为
的概率
，
事件为
的概率
，
事件为
的概率
，
事件为
的概率
，
0
1
2
3
；
（3）由
，当
时，
，
整理可得
，又
，
所以
，即
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，故
.
一、单选题
1．（2026·安徽宿州·一模）2025 年11 月7 日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代
表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是
，
每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式
求解.
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则
，
，
所以
.
故选：B
二、填空题
2．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量
，且
，则
___________．
【答案】0.9772
【详解】由
，得
，
根据
，得
，
所以
.
3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件
满足
，
则
__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解.
【详解】由
，得
，
，
由全概率公式，得
，则
，
即
，解得
，
，
因此
，所以
.
故答案为：
4．（2026·安徽黄山·一模）已知随机变量
，若
，则
______．
【答案】0.2/
【分析】借助正态分布的对称性计算即可得.
【详解】由题意，
.
故答案为：
.
三、解答题
5．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q 的概率分布情况如下表所示．
学习强度指数Q
概率
0.2
0.5
0.3
应对情况
轻松应对
勉强应对
困难应对
(1)从该市随机选取3 名高三的学生，记学习强度指数
的人数为X，求
及X 的数学期
望．
(2)定义
为在事件M 发生的条件下事件N 发生的优势．记事件
“该学生学习有压力”
（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件
“该学
生困难应对”，求在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势．
【答案】(1)
，
的数学期望为
；
(2)
；
【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数
的概率为：
,
从该市随机选取名学生，记学习强度指数
的人数为
，则
服从二项分布
，
所以
；
的数学期望为：
；
（2）解：由题意可知，事件
为“该学生学习有压力”，事件
为“该学生困难应对”.
，
，
因为事件
包含于事件
中，所以
，
在事件
发生的条件下事件
发生的概率为：
，
在事件
发生的条件下事件
发生的概率为：
，
所以在事件
发生的条件下事件
发生的优势为：
.
6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5 个大小相同的球，其中有2 个黄球，3 个白球．
(1)随机一次取出3 个球，用
表示取出的球为黄球的个数，求
的分布列和均值
；
(2)逐个不放回地随机取出5 个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的
个数”为事件
，求
．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）求出
的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可
得解；
（2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2 次取到白球或第2 次取到黄球两种情况分析
即可计算求解.
【详解】（1）
的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得
的分布列为
用表格表示
的分布列，如下表所示．
0
1
2
所以
的均值为
．
（2）由题意可知第一次取到的球为白球，设
“第次取到白球”（
）．
若事件
发生，则后面出现情况均满足题意，所以
；
若事件
发生，则事件
一定发生，后面出现的情况均满足题意，
则
．
故
．
7．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用
情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200 名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制
了如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的
分位数；
(2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样
的方式从
，［30，40）年龄段中随机共抽取8 名居民.若从选定的这8 名居民中随机再抽取3
名，记3 人中在
年龄段的人数为
，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)28
(2)分布列见解析，
【分析】（1）解法1：按照
分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可；
解法2：按照
分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在
的居民占的比例为
，年
龄在
的居民所占到比例为
，所以
分位数位于
内，
设其为
，
则
，解
，
所以年龄样本数据的
分位数为28.
解法2.由频率分布直方图知，年龄在
的居民所占的比例
，年龄在
的居
民所占的比例为
，所以
分位数位于
内，
由
所以年龄样本数据的
分位数为28.
（2）被调查的居民年龄在
，
比例为1:3，按照分层随机抽样，
应抽取
人，
应抽取
人.
设从中随机抽取的3 名居民中年龄在
的人数记为X，X 的可能取值为0，1，2.
.
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
0
1
2
所以数学期望为：
.
