文档文本内容
专题05 空间向量与立体几何
3 大考点概览
考点01 空间几何体的表面积与体积
考点02 点线面的位置关系
考点03 求线面角二面角与点到平面的距离
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下
底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是
，则该圆台的侧面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然
后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高
为（ ）
A．
B．
C．3
D．
3．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧
面积与球的表面积的比值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥
中，
是棱PA 的中点，平面EBC 将该正四棱锥分割成
两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点1
空间几何体的表面积与体积
5．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥
中，
和
都是等腰三角形，且
，二面角
的大小为
，则三棱锥
外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD 中，
，E 为BC 的中点，将
沿AE 向上
翻折到
，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面
平面ABCD，则
B．四棱锥
的体积最大值为
C．点P 从点B 翻折到AD 中点的过程中，PD 的中点F 形成的轨迹长度为
D．三棱锥
的外接球表面积的最小值为
7．（2026·湖南郴州·三模）某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体
棱长为2，下列结论正确的有（ ）
A．平面
与平面
的夹角的余弦值为
B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C．正八面体的体积与表面积的比值为
D．点
到平面
距离为
8．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
为
中点，动点
满
足
则（ ）
A．若点
到直线
和
的距离相等，则
点的轨迹为抛物线的一部分
B．存在这样的点
使EP⊥平面
C．若点
与点
重合，则三棱锥
的外接球半径为
D．若
与
的夹角为
，
为线段
上的动点，则
的最小值为
三、填空题
9．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，现将
沿
折起，得到三棱锥
，且三棱锥
外接球的表面积为
，则
______．
四、解答题
10．（2026·湖南岳阳·二模）如图1，
分别为边长为4 的正方形三边
的中点.将四边形
沿着线段EF 折起(如图2)，且点M 是线段
上一点.
(1)求证:
；
(2)若二面角
的大小为
且三棱锥M-DFG 的体积为
设过直线
且与直线
平行的平
面为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
11．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为
的正方形
中，
、
分别为线段
、
的中点，
现将四边形
折起至
，得到三棱柱
，如图2 所示，记二面角
的平面角
为
．
(1)若
时，求三棱柱
的体积；
(2)若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
一、单选题
考点2
点线面的位置关系
1．（2026·湖南永州·二模）已知
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，且
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2026·湖南长沙·二模）如图，在长方体
中，
，
，点P 是平面
上的动点，满足
（ ）
A．长方体各棱、体对角线所在的
条直线中,共有
对异面直线
B．点P 在底面
上的轨迹是一条直线
C．若角
是直线
和平面
所成角,则
的最大值是
D．不存在点
,使得
3．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，正方体
的棱长为2，E 是
的中点，则（ ）
A．若
是
的中点，则直线
与
是异面直线
B．由
，C，E 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
C．
与平面BCE 所成角为
D．三棱锥
的外接球的表面积为
4．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD 中，
，E 为BC 的中点，将
沿AE 向上
翻折到
，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面
平面ABCD，则
B．四棱锥
的体积最大值为
C．点P 从点B 翻折到AD 中点的过程中，PD 的中点F 形成的轨迹长度为
D．三棱锥
的外接球表面积的最小值为
5．（2026·湖南郴州·三模）下面说法正确的是（ ）
A．设
是两个不同的平面，
是两条不同的直线，若
，则
B．命题“
”的否定形式是“
”
C．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
D．函数
的图象关于点
成中心对称
一、解答题
1．（2026·湖南怀化·二模）如图，在棱长为2 的正方体
中，E，F 分别是棱
，AB 的
中点．
考点3
求线面角、二面角与点到平面的距离
(1)证明：CF⊥平面
．
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是矩形，
，E 是CD 的中点，AC 与BE 相交于点H，点F 在侧棱PD 上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，求点P 到平面
的距离；
(3)若
，当直线PC 与平面
所成的角最大时，求实数
的值．
3．（2026·湖南岳阳·二模）如图1，
分别为边长为4 的正方形三边
的中点.将四边形
沿着线段EF 折起(如图2)，且点M 是线段
上一点.
(1)求证:
；
(2)若二面角
的大小为
且三棱锥M-DFG 的体积为
设过直线
且与直线
平行的平
面为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
4．（2026·湖南·二模）如图，在四棱柱
中，底面ABCD 是菱形，E 为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，求直线
与平面ABCD 所成角的正弦值．
5．（2026·湖南常德·二模）如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
6．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为
的正方形
中，
、
分别为线段
、
的中点，
现将四边形
折起至
，得到三棱柱
，如图2 所示，记二面角
的平面角
为
．
(1)若
时，求三棱柱
的体积；
(2)若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
7．（2026·湖南永州·二模）如图，
是半圆
的直径，
是
上的两个三等分点，点在底面
上的射影为
的中点
．
(1)当
时，求点
到平面
的距离；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
8．（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
是以
为
斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若
，
，且直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
