文档文本内容
数列的概念与简单表示
考点1
专题05 数列
（4 大考点）(四川专用)
2026 年高考数学二模分类汇编
3 大考点概览
考点01 数列的概念与简单表示法
考点02 等差数列
考点03 等比数列
考点04 数列的综合应用
1．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，
那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列
中，
，公和
为5，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据题意分析可知数列
是以2 为周期的周期数列，结合周期性分析求解.
【详解】因为
（公和），
所以
，
两式相减可得，
，
可知数列
是以
为周期的周期数列，
因为
，所以
，
又公和为5，所以
，
所以
，
.
2.（2026·四川·二模）在数列
中，
，
，
为
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知通项公式变形构造新数列，结合累加法分组求和以及等差数列求和公式分析求解
即可.
【详解】由
，两边同时除以
得：
，
即
，
令
，则
，
所以
，
所以
，
，
，
，
累加得：
，
又
，所以
，
由
，所以
，
所以
3．（2026·四川·二模）已知数列
的前
项和为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若数列
为等差数列，
，
，则
时，
最大
C．若数列
满足
，
，则
D．若
，则数列
的前
项和小于
【答案】B
【详解】选项A：已知
，当
时，
，解得
，
当
时，
，
，
两式相减得：
，
则
，故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，故A 错误；
选项B：由
，可得
，
又
，故得
，
，故数列前
项为正，第
项起为负，
在
时取得最大值，故B 正确；
等差数列
考点2
选项C：已知
，
，故
，即
，
数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，则
，解得
，
则
，
故
，故C 错误；
选项D：当
时，数列的第一项为
，
且对于
，因
，即
恒成立，故前
项和不可能小于
，故D 错误．
1．（2026·四川雅安·二模）记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．100
B．95
C．50
D．15
【答案】A
【详解】在等差数列
中，
，解得
，而
，则
，
因此数列
的公差
，首项
，
所以
.
2．（2026·四川绵阳·二模）等差数列
的前n 项和为
，已知
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】利用等差数列的前n 项和公式，即可求解.
【详解】因为等差数列
的前n 项和为
，
所以
，则
，
即
，
故选：D
3．（多选）（2026·四川成都·二模）记
为等差数列
的前n 项和．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
为等差数列
D．
为等比数列
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利
用等差（比）数列的定义逐一判断即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，由题意可得
，解得
，故
.
对于A，由通项易得
，故A 正确；
对于B，因
，而
，即
，故B 错误；
对于C，因
，则
，由
，可得数列
为等差
数列，故C 正确；
对于D，因
，则
，由
，可得
为等比数列，故D 正确.
4．（多选）（2026·四川成都·二模）已知等差数列
的前
项和
存在最大值，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
取得最大值
D．
取得最小正值时
为31
【答案】ACD
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据
二次函数性质可判断D.
【详解】对于A，设等差数列
首项为
，公差为
，
则
，
因为
存在最大值，所以数列
的公差
，数列
单调递减，
要使
存在最大值，则数列先正后负，首项
，故A 正确；
对于B，由等差数列性质可知
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
所以
时，
取得最大值，故C 正确；
对于D，由
可得
，
由
，可得
，
所以
取得最小正值时
为31，故D 正确.
5．（多选）（2026·四川广元·二模）如图，有一系列正三角形，设第
个正三角形
的边长为
，其中，
在曲线
上，
为坐标原点，
在
轴上.记
为数列
的
前
项和，则（ ）
A．
B．对任意的
，
C．数列
的前
项和为
D．
【答案】ACD
【分析】选项A：结合正三角形的性质求出
坐标，代入曲线
求解即可；选项B：结合正三
角形的性质求出
坐标，代入曲线
得到
，根据
与
的关系求出
，进
一步判断即可；选项C：由B 求出
，进而求出
，结合裂项相消法求和即可；选项D：由
解
析式代入求解即可.
【详解】选项A：由题意易知，
，则
，即
，解得
，
故A 正确.
选项B：易知
，即
，
则
，即
，则
，
所以
，
即
，
又
，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，所以
.
因为
，故B 错误.
选项C：
，则
，
所以数列
的前
项和为
，故C 正确.
选项D：
，故D 正确.
6．（2026·四川凉山·二模）若数列
满足
，则
前6 项的平均数
__________.
【答案】2
【分析】利用递推公式求出
的通项公式，然后得到答案.
【详解】令
，则
，即
是公差为2 的等差数列，
由
得
，
故
，
于是
，
所以
，
，
，
，
，
，
故
前6 项的平均数
.
7．（2026·四川广安·二模）记
为数列
的前
项和
，已知
，
是公差为1 的
等差数列．则
的通项公式为____________．
【答案】1
【分析】由等差数列的通项公式求得
，再根据
与
的关系即可求解．
【详解】因为
，
是公差为1 的等差数列，
所以
，则
①，
当
时，
②，
由①
②得，
，
所以数列
为常数列，
．
8．（2026·四川绵阳·二模）已知数列
是等差数列，且
，
，则
的前
项和等于
______________.
【答案】
【分析】直接根据等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式可得.
【详解】因为数列
是等差数列，且
，
，
所以由等差数列的性质得
，
.
故答案为：
.
9．（2026·四川泸州·二模）已知
是公差不为0 的等差数列，
，
是
和
的等比中项．
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据题意，得到
和
，联立求得
的值，即可求得
的通项公式；
（2）由（1）知
，得到
，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列
的公差为
，
因为
，可得
，
又因为
是
和
的等比中项，可得
，即
，即
，
因为
，所以
，代入
，可得
，
所以
，所以数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）知：
，可得
，
所以
.
10．（2026·四川成都·二模）已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可用
与
的关系消去
，求出数列
的通项公式；
（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，即
，
所以
，即
，
由数列
为正项数列，所以
，从而有
，
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，
．
（2）由（1）知
，所以
，
，则
，
从而
，
即
，
所以
.
11．（2026·四川达州·二模）已知数列
为等差数列，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)在数列
的相邻两项
与
之间插入
个1（
）后，构成一个新数列
，数列
的前
项和记为
，求
.
【答案】(1)
(2)609
【分析】（1）列出关于
的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解；
（2）首先求出到原数列第
项
为止插入的总项数
，令
得出
，
即得出插入510 个1，然后利用分组求和即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，由
得：
，
，解得
，
，
故通项公式为
.
（2）根据题意，在
和
之间插入
个，设到原数列的第
项
为止，
则新数列
的总项数
，
令
，代入验证得
时，
，刚好满足，
即
包含原数列前9 项和所有插入的1：
插入1 的总个数为
，插入部分和为
，
原数列前9 项和：
，
因此：
.
12．（2026·四川·二模）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
等比数列
考点3
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法及等差数列的前
项和公式求解即可.
（2）结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
，
，
，
所以
，即
.
所以
.
当
时，
满足上式，
故
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，则
，
所以
，
因为
，所以
，则
，因此
，
故
.
1．（2026·四川广元·二模）等比数列
的前
项和为
，且
，则公比
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】先分类讨论
和
，再根据等比数列求和公式列出方程即可求解．
【详解】若
，则
，不合题意舍；
所以
，则
．
2．（2026·四川达州·二模）已知数列
满足
，若
，则
为（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81
【答案】B
【分析】由题意可知，数列
为等比数列，可求解
与
，再求解
与
即可.
【详解】因为
，所以
，
所以数列
为等比数列，公比
为，因为
，
所以
，则
，
即
，解得
，所以
，
，
所以
.
3．（2026·四川成都·二模）一座7 层塔，塔的顶层共有3 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一
层灯数的2 倍，则塔共挂了多少盏灯？（ ）
A．380
B．381
C．384
D．386
【答案】B
【分析】根据题意构造等比数列，由等比数列的求和公式计算即得.
【详解】设这座塔的顶层的灯数为
，从顶层开始向下每层的灯数依次构成公比为
的等比
数列
，
因塔共有7 层，故该塔共挂的灯有
盏.
4．（2026·四川·二模）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，
，则（ ）
A．公比
B．数列
是单调递减数列
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用等比数列
的前
项和公式列出方程组，能求出首项和公比，结合等比数列的通项
公式以及前n 项和公式一一判断各选项，即得答案．
【详解】若等比数列
的公比为1，则
，
；
，矛盾，
故
，
由于
，
，
，解得
，
，A 正确；
故
，数列
是单调递增数列，B 错误，C 正确；
，D 错误.
5.（2026·四川眉山·二模）设
为等比数列
的前
项和，若
，
，则数列
的公
比为________．
【答案】2
【分析】根据等比数列前
项和的定义可得
，
，结合等比数列性质运算求解.
【详解】设等比数列
的公比为
，
因为
，
，则
，
，
可得
，即
，
所以数列
的公比为2.
6．（2026·四川雅安·二模）已知一个等比数列的前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这个数
列的公比为______．
【答案】
【详解】令此等比数列为
，设其公比为
，
依题意，
，则
，解得
，
所以这个数列的公比为
.
7．（2026·四川南充·二模）已知数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到
和
，根据条件可得
，再由
求
.
（2）利用裂项求和法求和即可证明.
【详解】（1）由题意，
，
，
所以
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，上式亦成立，所以
.
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
.
所以
.
8．（2026·四川·二模）已知数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将原式变形得到
，利用等比数列定义即可证明；
（2）利用等比数列通项公式得到
，即可得到
（3）利用放缩法得到
，由错位相减法求得
的前
项和
，即可
证明
.
【详解】（1）由已知
，变形得
，故
.
又因为
，所以
，
因此数列
是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列.
（2）由(1)知数列
是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列.
所以
.
因此数列
的通项公式为
.
（3）由(2)知
，因此
，代入得
，
对任意正整数
， 有
， 即
，
两边取倒数得
，因此
设放缩后的数列前
项和为
，
即
①
①式两边同乘
得：
②
①
②错位相减得：
，整理得
由
，可得
，
结合
，可证得
，原不等式成立.
9．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列
的首项为1，前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求使
成立的
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列前
项和的性质，
，
，
成等比数列，且公比为
，
即可求出公比，写出通项公式；
（2）求出等比数列的前
和，分类讨论解不等式即可得解.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
，
当
时，
，不符合题意，所以
，
所以
，
，
成等比数列，且公比为
，
，所以
，
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
数列的综合应用
考点4
所以由
可得
，
即
，
当
为正偶数时，不等式显然成立；
当
为正奇数时，则
，
因为
为递减数列，且
，
所以
且
为奇数，
综上，
1．（2026·四川成都·二模）在数列
中，
，设
的前n 项和为
．记
表
示不超过x 的最大整数．
(1)求
；
(2)是否存在常数A，
，使得
？若存在，求A 和
的值；若不存在，
请说明理由；
(3)求
．
【答案】(1)
，
，
(2)存在，
，
(3)
【分析】（1）由数列递推公式赋值求出
，再根据取整函数的定义依次计算即得；
（2）由（1）得结论，代入
，求出
，即得数列通项，验证即可；
（3）先求导证明
，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得
，结合
可得
，最后利用等差数列求和公式即可
求得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，故
；
又
，故
，
，所以
；
同理
，故
，
因
，则
,故
,
所以
，故
.
（2）假设存在常数A，使得
，
则由（1）得
，即
.
因为
，可得
，解得
（负值舍去）.
故
.又
，则得
，即
，故
.
此时，
.
所以存在
，
满足题意.
（3）当
时，
，所以
.
当
时，因为
，所以
，故
.
设函数
，则
.
所以
在
上单调递增，故
，即
.
所以
.
则
，因
，
所以
.故
.
综上，当
时，
，故
.
令
，则当
时，
.
又因为
满足
，所以
，
.
