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专题五 数列专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·山东烟台·三模）已知等差数列
中，
，其前n 项和为
，则
（ ）．
A．21
B．28
C．42
D．56
【答案】B
【解析】因为
，所以
，则
.故选：B.
2．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插
入3 个数，组成一个新的等差数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的公差为
，则
，
，故
.故选：B.
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
即数列
为等差数列，又
，所以数列
首项为1，公差为3，
，则
，故选：D.
4．（2025·浙江嘉兴·三模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人
中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6 次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设事件
第
“
次球在甲手中
，
”
第
“
次球在乙手中
，
”
第
“
次球在丙手中
，
”
那么由题意可知可知：
，又
，
所以
，构造等比数列
，
因为第一次由甲传球，可认为第
次传球在甲，即
，
所以
是以
为首项，公比为
的等比数列，
故
，
因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称，
即
，所以经过
次传球后，球恰在乙手中的概率为
.
故选：C.
5．（2025·四川成都·模拟预测）数列
是公差不为零的等差数列，其中
是等比数列
的连续三项，
则数列
的公比等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】设数列
的公差为
，首项为
，
因为
是等比数列
的连续三项，所以
，即
，得
，
所以
，所以数列
的公比等于
.故选：C.
6．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列
前
项和为
，且满足
，
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】由题可设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
或
，
所以
，
，
所以
为单调递增数列，
为单调递减数列，
所以
单调递增，故
，
故若
恒成立，则
的最小值为
.
故选：D
7．（2025·福建·模拟预测）已知
是等差数列，
是公比为
的等比数列，
为元集集合，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】假设等差数列的公差为
，
若
①
依题意，有
，
即
，
，则
.
则可得
，与题设矛盾，故舍去.
若
②
依题意，有
，
即
，
，则
，
此时可得
，与题设矛盾，故舍去.
若
③
依题意，有
且
，
消去
，可得
，显然
，
则
，整理得
，解得
或
，
当
时，
，此时
，符合题意；
当
时，
，与题设矛盾，故舍去.
若
④
依题意，
且
，
消去
，可得
，显然
，
则
，整理得
，解得
或
，
当
时，
，
此时，
，符合题意；
当
时，
，与题设矛盾，故舍去.
综上所述，
或
.
故选：A.
8．（2025·江苏·模拟预测）函数
满足：
，且
．设
，则
的前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
所以当
时
，
所以
，
所以
，
则
的前
项的和为
，
则
的前
项的和为
.
故选：C
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，且
是
以1 为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由条件
可知，
，得
，
①
数列
是以1 为公差的等差数列，所以
，即
，
即
，即
，
②
综合
可知，
①②
，
，
，所以ABC 正确，D 错误.
故选：ABC
10．（2025·山东泰安·模拟预测）已知数列
的前
项的和
，
，
若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为等差数列 B．
C．
能取得最小值
D．当
时，
取得最小值
【答案】BC
【解析】对于选项A，
两边同除以
，
得
，故选项A 错误；
对于选项B，由
，
可得
，
累加法得
，代入
，
得
，又
满足上式，
故
，
，故选项B 正确；
对于选项C，令
，
则
，
由
得
，
由
得
，
所以当
时
取得最小值，
经验证
时，
能取得最小值
，故选项C 正确；
对于选项D，由
，
，
所以
，
由
得
，由
得
，
由上可知
的最小值在
或时取得，
当
时，
，
当
时，
，
经验算
时取得最小值，故选项D 错误.
故选：BC
11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知数列
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．若数列
为常数列，则
或
C．若数列
为递增数列，则
D．当
时，
【答案】ABD
【解析】对于A，当
时，
，
令
，则
，
，故
，
即
，故A 正确；
对于B，若数列
为常数列，令
，则
，解得
或
，
或
，故B 正确；
对于C，令
，则
，
若数列
为递增数列，则数列
为递增数列，
则
，解得
或
，
当
时，
，且
，
，此时数列
为递增数列，即数列
为递增数列；
当
时，
，且
，
，此时数列
不为递增数列，即数列
不为递增数列；
当
时，
，
，此时数列
为递增数列，即数列
为递增数列.
综上所述，当
或
，即
或
时，数列
为递增数列，故C 错误；
对于D，令
，则
，
，
则
，
，
数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
，即
，故D 正确.
故选：ABD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·上海·模拟预测）已知
，若
的前
项和为
，
为递增数列，则
范围为
．
【答案】
【解析】因为
的前
项和为
，
为增数列，
所以数列
从第二项开始要为正数，
，
则
范围为
.
故答案为：
13（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，则
．
【答案】
【解析】由题意得
，所以
．
故答案为：
．
14．（2025·湖南长沙·模拟预测）任取一个大于1 的正整数
，若
是奇数，就将
乘以3 再加上1；若
是
偶数，就将
除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过
个步骤后，必将
变成1，然后进入循环
圈
，简称
为
步
雹程
，这就是数学史上著名的
冰雹猜想
（又称
角谷猜想
）．例如取
“
”
“
”
“
”
，根据上述运算规则，先后得出的数为
，从而
为6 步
雹程
．
“
”
（1）
为 步
雹程
；
“
”
（2）若
为7 步
雹程
，则
“
”
的最大值为 ．
【答案】 8 128
【解析】（1）当
时，先后得出的数为
，
则
为8 步
雹程
．
“
”
（2）当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
因为
为7 步
雱程
，
“
”
则
，从而
．
若
为奇数，由
，得
；
若
为偶数，则
．
当
时，因为
不是3 的倍数，则
为偶数，所以
，
从而
或3．
当
时，因为
不是3 的倍数，则
为偶数，所以
，
从而
或21．
综上分析，
，所以
的最大值为128．
故答案为：8；128.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15 题13 分，16、17 题各
15 分，18、19 题各17 分
15．（2025·江苏苏州·二模）在数列
中，已知
，且当
为奇数时，
；当
为偶数时，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）依题意，
，
当
为偶数时，
，则数列
的奇数项是首项为2，公比为2 的等比数列，
于是
，即当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
.
16．（2025·湖北武汉·一模）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求满足
的
的最小值；
(3)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)最小值为
(3)证明见解析
【解析】（1）由已知
，
则
，
即
，则
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
则
；
（2）由（1）得
，且
，
即
，
化简可得
，
又
，即
，
所以满足
的
的最小值为
；
（3）依题意得，
，
则
，
又
，所以
，
所以
，
即
.
17．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
.
(1)令
，证明数列
是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）
，
两端除以
，得
，即
，
由
，得
，
所以数列
是以4 为首项，3 为公差的等差数列，
.
（2）
，
，①
，②
由①-②，得
，
.
18．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【解析】（1）设公差为
，公比为
，
，故
，
，
，故
，
联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）
，
设数列
的前
项和为
，
则
，①
，②
两式①-②得：
，
所以
；
（3）令
，设数列
的前
项和为
，
则
，
由
，解得
，
当
时，
，则
，
当
时，
，
则
，
综上：
.
19．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若正整数
成等差数列，且
，试判断
能否构成等比数列，并说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)不能构成等比数列，理由见解析.
【解析】（1）由数列
的前
项和为
，且
，
当
时，可得
，解得
；
当
时，可得
，
整理得
，即
，所以
，
所以数列
是首项
，公比为
的等比数列，则
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，可得
，
设
，
则
两式相减，可得
，
所以
，
又由
，所以
.
（3）由题意，正整数
成等差数列，则
，
若
构成等比数列，则满足
，
因为
，可得
，
整理得
，即
，
又因为
，可得
，所以
，即
两边同除
，可得
，
因为
，且
，所以
，
所以
与
均为偶数，则
为奇数，
为偶数，
所以等式
不成立，所以
不能构成等比数列.
