文档文本内容
专题05 空间向量与立体几何
3 大考点概览
考点01 空间几何体的表面积与体积
考点02 点线面的位置关系
考点03 求线面角二面角与点到平面的距离
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下
底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是
，则该圆台的侧面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为
，
圆锥的母线
，
圆锥的侧面积是
，
，得
，解得
;
圆台的母线
，
圆台侧面积为
．
2．（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然
后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高
为（ ）
考点1
空间几何体的表面积与体积
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【详解】形成的正四棱锥
如图所示，取BC 中点
，连接SM，OM，
由题易知SM 为等腰三角形SBC 的高，所以
，设
，
中
，
则
，正四棱锥
的体积
，
令
，其中
即
，
正四棱锥
的体积最大即
取得最大值，
，
令
得到
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
时正四棱锥
的体积最大．
3．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧
面积与球的表面积的比值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得
，
，计算侧面积与球的表面积的比值.
【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为．
由
，得
，
，
，则
．
4．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥
中，
是棱PA 的中点，平面EBC 将该正四棱锥分割成
两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先得到截面，并由等体积法得到各个几何体之间的体积关系，得到答案
【详解】如图所示，在正四棱锥
中，
是棱PA 的中点，
取PD 的中点为
，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA，
所以
，因为
，所以
，
所以
，
，
，
四点共面，所以平面EBC 在四棱锥上的截面是平面BCFE.
平面BCFE 把四棱锥分为两个部分，设四棱锥
的体积为
，高为.
设四边形
的面积为
，
则
，
同理
.
设点
到平面AEF 的距离是，
则
，
即
，故
，
所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为
.
5．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥
中，
和
都是等腰三角形，且
，二面角
的大小为
，则三棱锥
外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，设
外接圆的圆心为
，设三棱锥
外接球的球心为
，连接
，
，
设
，过点
作
的平行线，与
的延长线交于点
，连接
，利用题中条件分别求得
，
,
4，进而
，
，由
，列式
，解得
，再根据球的表面积公式即可得答案．
【详解】如图，设
外接圆的圆心为
，
因为
都是等腰三角形，
，
，
所以
，
是
的中点．
设三棱锥
外接球的球心为
，连接
，
，则
平面
．
过点
作
交
的延长线于点
．
设
在平面
内的射影为
，连接
，
因为二面角
的大小为
,
所以
．
因为
是等腰三角形，且
，
所以
，
所以
．
过点
作
的平行线，与
的延长线交于点
，连接
，
则
,
4，
，
．
设
，则由
，可得
，
解得
，
故三棱锥
外接球的表面积为
．
二、多选题
6．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD 中，
，E 为BC 的中点，将
沿AE 向上
翻折到
，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面
平面ABCD，则
B．四棱锥
的体积最大值为
C．点P 从点B 翻折到AD 中点的过程中，PD 的中点F 形成的轨迹长度为
D．三棱锥
的外接球表面积的最小值为
【答案】AD
【详解】对于A：因为平面
平面
，平面
平面
，
因为
是
中点，
，所以
，
所以
，所以
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，故A 正确；
对于B：由已知梯形
的面积为
，
，直角
斜边
上的高为
，
当平面
平面
时，四棱锥
的体积取最大值
，故B 错误；
对于C：如图1，取
的中点
，则
，
平行且相等，四边形
是平行四边形，
所以点
的轨迹与点
的轨迹形状完全相同，过点
作
的垂线，垂足为
，
，
点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的半圆弧，从而
的中点
的轨迹长度为
，故C 错误；
对于D：如图2，
的外接圆
的半径为
，
是
的中点，
外接圆
的半径为2，
是圆
与圆
的公共弦，
，设三棱锥
外接球心为O，半径为
，
则
，
因为
，所以
，所以
的最小值为2，
所以三棱锥
的外接球表面积的最小值为
，故D 正确．
7．（2026·湖南郴州·三模）某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体
棱长为2，下列结论正确的有（ ）
A．平面
与平面
的夹角的余弦值为
B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C．正八面体的体积与表面积的比值为
D．点
到平面
距离为
【答案】ABD
【详解】设正方形
的对角线交点为
，则
，
，
A 选项，取
中点
，连接
和
，因为
和
都是等边三角形，所以
且
，
因此
即为二面角
的平面角，又
，
，
由余弦定理可得
，那么平面
与平面
的夹角的余弦值为
，A
正确；
B 选项，因为
到所有顶点的距离相等，因此
也是外接球球心，外接球半径
，
显然内切球球心也为
，内切球半径即为
到平面
的距离也即到
的高，
在
中，
，利用等面积法有
，可得
，所以比值为
，
B 正确；
C 选项，设正八面体的体积和表面积分别为
和，由等体积法可知
，其中即为内切球半径，所
以
，C 错误；
D 选项，设点
到平面
的距离为，利用等体积法有
，
即
，得
，D 正确.
8．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
为
中点，动点
满
足
则（ ）
A．若点
到直线
和
的距离相等，则
点的轨迹为抛物线的一部分
B．存在这样的点
使EP⊥平面
C．若点
与点
重合，则三棱锥
的外接球半径为
D．若
与
的夹角为
，
为线段
上的动点，则
的最小值为
【答案】AC
【分析】以
为原点，求得点
位于上底面内，过点
作
，得到
，结合抛物线的定义，
可判定A 正确；设
，求得平面
的法向量
，结合
，求得
的值，可判定B 不正确；设
三棱锥
的外接球的球心为
，根据
，列出方程求得球心的坐标，可
判定C 正确；求得点
在以
为圆心的圆弧上，结合对称性，求得
，转化为
，可判定D 错误.
【详解】以
为原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
由
，可得点
位于上底面
上，
对于A，连接
，在正方体
中，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，即点
到
距离即为
，
过点
作
，可得点
到
的距离即为
，
所以
，即点
到定点
的距离等于到定直线
的距离相等，
根据抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线在上底面
内的一部分，所以A 正确；
对于B，设
，其中
，则
，
又由
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
若
平面
，则
，即
，解得
，
因为
，所以不存在这样的点
使EP⊥平面
，所以B 不正确；
对于C，当点
与点
重合时，则三棱锥
即为三棱锥
，
因为点
是
的中点，所以
,且
，
设三棱锥
的外接球的球心为
，半径为
，
由
，可得
，
整理得
，即
，
由
，可得
，
整理得
，所以
，
由
，可得
，
代入
，可得
，即
，
再将
代入
，可得
，所以
，所以
，
所以外接球的半径为
，所以C 正确；
对于D，由
，其中
，且
，
可得
，
因为
与
的夹角为
，可得
，
所以
，即
，其中
，
所以点
在以
为圆心，半径为的圆弧上，
连接
，由对称性知，当点
位于
上时，
取得最小值，
过点
作
于点
，在直角
中，
，
所以
，所以
，
在平面
中，过点
作
于点
，则
，
所以D 错误.
三、填空题
9．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，现将
沿
折起，得到三棱锥
，且三棱锥
外接球的表面积为
，则
______．
【答案】
【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案
【详解】如图，过
作
，且
，过
作
，且
，
连接
，
，
，
，根据题意可知
，
，
由题意知
，
，
，所以
，
又
，
是平面
内的两条相交直线，所以
⊥平面
，
所以三棱柱
为直三棱柱．
则三棱锥
与直三棱柱
的外接球相同，设其半径为
．
由
，知
，设三角形
的外接圆半径为，
则
，求得
．
设
，则
，在
中，设
，
，
则
，
，
代入
，解得
或
（舍），
．
四、解答题
10．（2026·湖南岳阳·二模）如图1，
分别为边长为4 的正方形三边
的中点.将四边形
沿着线段EF 折起(如图2)，且点M 是线段
上一点.
(1)求证:
；
(2)若二面角
的大小为
且三棱锥M-DFG 的体积为
设过直线
且与直线
平行的平
面为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在原正方形中
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
（2）
，
，
就是二面角
的平面角，即
，
如图，以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
作垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标
系，
，
原正方形边长为
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，即
，
是
的中点，
，即
，
设
，即
，三棱锥
的体积为
，
，
,
，
平面
，
，
，
，
，解得
，即
，
平面
过直线
且与直线
平行，
设平面的法向量
，
，
，
，即
，
令
，可得
，
，即
，
平面
在
的平面上，
平面
的法向量
，
平面
与平面
所成角
，
.
11．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为
的正方形
中，
、
分别为线段
、
的中点，
现将四边形
折起至
，得到三棱柱
，如图2 所示，记二面角
的平面角
为
．
(1)若
时，求三棱柱
的体积；
(2)若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出
，
，可知
，证明出
平面
，当
时，求出
的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱
的体积；
（2）以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，过点
且垂直于平面
的直线为
轴建
立空间直角坐标系，分析可知
，根据
可求出点
的坐标，再利用空间向量法可求得直
线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【详解】（1）翻折前，在图1 中，因为四边形
为正方形，所以
，
，
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，且
，
因为
，所以
，
翻折后，在图2 中，
，
，
所以二面角
的平面角为
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
当
时，即
，且
，则
，
所以三棱柱
的体积为
.
（2）因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
过点
且垂直于平面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设点
，其中
，由题意可知
，则
，故
，
，
，
因为
，则
，解得
，
则点
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
因此直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
一、单选题
1．（2026·湖南永州·二模）已知
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，且
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论.
【详解】如图，
，
若
，则
与
相交或异面，不一定垂直；
若
，则
不一定成立.
考点2
点线面的位置关系
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
二、多选题
2．（2026·湖南长沙·二模）如图，在长方体
中，
，
，点P 是平面
上的动点，满足
（ ）
A．长方体各棱、体对角线所在的
条直线中,共有
对异面直线
B．点P 在底面
上的轨迹是一条直线
C．若角
是直线
和平面
所成角,则
的最大值是
D．不存在点
,使得
【答案】ABC
【分析】先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得
轨迹方程，确定
轨迹是直线判断B；线面角正切值与
到
距离成反比，用点到直线距离求最小值得
最大值判断C；
最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于
说明存在点
，判断D 错误，整体用空间向量与解析几何方
法逐一验证选项．
【详解】
对于A，长方体共有12 条棱和4 条体对角线，共16 条直线，
总直线对：
，
相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共
；
体对角线相交于中心，共
，每条体对角线与6 条棱相交，共
，总计
，
平行直线对：每组平行棱有4 条，共3 组（长、宽、高），每组
，共
；体对角线无平行，
所以异面直线对：
，A 正确；
对于B，以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，设
，
，
，
由
，得
，
化简得
，在平面内，这是一条直线方程，
所以点P 在底面
上的轨迹是一条直线，B 正确；
对于C，直线
和平面
所成角为
，设
，
，
要使
最大，即求
最小，
而
是
到原点
的距离
，
的最小值为原点
到直线
的距离，
，此时
的最大值是
，正确；
对于D，
，
，
若
，则
，即
，
联立
，消去
，得
，
，有实数解，
所以存在点
，D 错误．
3．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，正方体
的棱长为2，E 是
的中点，则（ ）
A．若
是
的中点，则直线
与
是异面直线
B．由
，C，E 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
C．
与平面BCE 所成角为
D．三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】BD
【分析】A 应用正方体的结构特征及平行线的传递性判断；B 由平面的基本性质画出截面图，并确定其形
状，进而求出截面图形的周长判断；C 利用线面垂直的性质判断
与CE 是否垂直即可；D 构建合适的空
间直角坐标系，标注相关点坐标并求出球心坐标，进而求出外接球的半径，即可得.
【详解】A，若
为
的中点，则
，
，
所以
为平行四边形，则
，
又
，
，则
为平行四边形，
所以
，故
，故A 错误；
B，如图，过
，C，E 三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形
，
其中F 为
的中点（平行则四点共面），则等腰梯形
的周长为
，B 正确.
C，
，
与
不垂直，且
平面
，
若
平面
，必有
，矛盾，C 错误；
D，以A 为原点，AB，AD，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设外接球的球心为
，则
，
，
，
联立可得
，
，
，
，
，D 正确.
4．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD 中，
，E 为BC 的中点，将
沿AE 向上
翻折到
，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面
平面ABCD，则
B．四棱锥
的体积最大值为
C．点P 从点B 翻折到AD 中点的过程中，PD 的中点F 形成的轨迹长度为
D．三棱锥
的外接球表面积的最小值为
【答案】AD
【详解】对于A：因为平面
平面
，平面
平面
，
因为
是
中点，
，所以
，
所以
，所以
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，故A 正确；
对于B：由已知梯形
的面积为
，
，直角
斜边
上的高为
，
当平面
平面
时，四棱锥
的体积取最大值
，故B 错误；
对于C：如图1，取
的中点
，则
，
平行且相等，四边形
是平行四边形，
所以点
的轨迹与点
的轨迹形状完全相同，过点
作
的垂线，垂足为
，
，
点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的半圆弧，从而
的中点
的轨迹长度为
，故C 错误；
对于D：如图2，
的外接圆
的半径为
，
是
的中点，
外接圆
的半径为2，
是圆
与圆
的公共弦，
，设三棱锥
外接球心为O，半径为
，
则
，
因为
，所以
，所以
的最小值为2，
所以三棱锥
的外接球表面积的最小值为
，故D 正确．
5．（2026·湖南郴州·三模）下面说法正确的是（ ）
A．设
是两个不同的平面，
是两条不同的直线，若
，则
B．命题“
”的否定形式是“
”
C．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
D．函数
的图象关于点
成中心对称
【答案】ABD
【详解】对于A，因为
，所以
，又因为
，所以
，故A 正确；
对于B，命题“
”的否定形式是“
”，故B 正确；
对于C，当
时，可得
，所以“
”是“
”的充分条件；
当
时，可得
，所以
，所以
，解得
或
，
所以“
”是“
”的不必要条件；
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故C 错误；
对于D，
，
所以函数
的图象关于点
成中心对称，故D 正确.
一、解答题
考点3
求线面角二面角与点到平面的距离
1．（2026·湖南怀化·二模）如图，在棱长为2 的正方体
中，E，F 分别是棱
，AB 的
中点．
(1)证明：CF⊥平面
．
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，判断其与
共线，从而得证；
（2）求出
与平面
的法向量的夹角的余弦值，进而求解.
【详解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
取
，可得
．
所以
，所以
平面
．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是矩形，
，E 是CD 的中点，AC 与BE 相交于点H，点F 在侧棱PD 上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，求点P 到平面
的距离；
(3)若
，当直线PC 与平面
所成的角最大时，求实数
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线面垂直的判定证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由点到平面距离公式即可求解；
（3）由线面夹角的向量公式即可求解．
【详解】（1）因为
底面
平面ABCD，所以
．
在
和
中，
，即
，
故
，得
，即
，
又
平面
，故
平面PAC．
（2）由已知得，
，
故以AB，AD，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
当
时，
，则
，
设平面HEF 的法向量为
，
则
，故可取
，
所以点P 到平面EFH 的距离
．
（3）由已知得
，
，
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
，
，
设平面AFC 的法向量为
，
则
，故可取
，
又
，取直线PC 的方向向量为
，
设直线PC 与平面AFC 所成的角为
，
则
．
因为
，所以
，当
时，
取最大值
，
又
，此时
取最大值，所以
．
3．（2026·湖南岳阳·二模）如图1，
分别为边长为4 的正方形三边
的中点.将四边形
沿着线段EF 折起(如图2)，且点M 是线段
上一点.
(1)求证:
；
(2)若二面角
的大小为
且三棱锥M-DFG 的体积为
设过直线
且与直线
平行的平
面为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在原正方形中
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
（2）
，
，
就是二面角
的平面角，即
，
如图，以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
作垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标
系，
，
原正方形边长为
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，即
，
是
的中点，
，即
，
设
，即
，三棱锥
的体积为
，
，
,
，
平面
，
，
，
，
，解得
，即
，
平面
过直线
且与直线
平行，
设平面的法向量
，
，
，
，即
，
令
，可得
，
，即
，
平面
在
的平面上，
平面
的法向量
，
平面
与平面
所成角
，
.
4．（2026·湖南·二模）如图，在四棱柱
中，底面ABCD 是菱形，E 为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，求直线
与平面ABCD 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，可证
为平行四边形，可得
，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）作辅助线，可证
面ABCD，法一：建立空间直角坐标系，求出线
的方向向量和平面
的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可；法二：根据线面角的定义，找到直线
与平面ABCD 所成
角即为
，根据三角函数求值即可.
【详解】（1）连接
，设
，连接CF，
因为
且
，则
为平行四边形，可得
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）因为
，可知直线
与平面ABCD 所成角即为直线CF 与平面ABCD 所成角，
连接
，因为
，则
，
设
，连接
，
因为
，且
为BD 中点，则
，
且
，
平面
，则
平面
，
由
平面ABCD，可得平面
平面ABCD，
又因为
，则
，即
，
且平面
平面
，
平面
，所以
面ABCD，
法一：可知MC，MD，
两两垂直，
以点M 为坐标原点，MC，MD，
分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则
，可得
，
且平面ABCD 的法向量为
，
则
，
所以直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
；
法二：过MD 中点
，连接FN，NC，
因为
平面ABCD，
，所以
面ABCD，
直线CF 与平面ABCD 所成角即为
，
可得
，则
，
所以直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
.
5．（2026·湖南常德·二模）如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，与
交于点
，根据面面垂直的性质定理可得
平面
，进而根据
及面面垂直的判定定理可得结果；（2）以C 为原点建立空间直角坐标系，根据
的坐标及平
面
的法向量可求结果.
【详解】（1）由三棱柱的性质可知四边形
，
均为平行四边形，
所以
，又
，
所以
，
所以
，所以
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
如图，连接
，与
交于点
，连接
，
则
为
的中点，所以
.
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）由三棱柱的性质可知四边形
为平行四边形，
所以
，
，又
，
所以
，
所以
，所以
，
由（1）知
平面
，所以
两两垂直，
以C 为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由
，可得
由
，可得
，
所以
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，可得
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
6．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为
的正方形
中，
、
分别为线段
、
的中点，
现将四边形
折起至
，得到三棱柱
，如图2 所示，记二面角
的平面角
为
．
(1)若
时，求三棱柱
的体积；
(2)若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出
，
，可知
，证明出
平面
，当
时，求出
的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱
的体积；
（2）以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，过点
且垂直于平面
的直线为
轴建
立空间直角坐标系，分析可知
，根据
可求出点
的坐标，再利用空间向量法可求得直
线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【详解】（1）翻折前，在图1 中，因为四边形
为正方形，所以
，
，
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，且
，
因为
，所以
，
翻折后，在图2 中，
，
，
所以二面角
的平面角为
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
当
时，即
，且
，则
，
所以三棱柱
的体积为
.
（2）因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
过点
且垂直于平面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设点
，其中
，由题意可知
，则
，故
，
，
，
因为
，则
，解得
，
则点
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
因此直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
7．（2026·湖南永州·二模）如图，
是半圆
的直径，
是
上的两个三等分点，点在底面
上的射影为
的中点
．
(1)当
时，求点
到平面
的距离；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由题可得四边形
是菱形，所以
，再证明
，进而得
平面
，
所以点
到平面
的距离为
，得解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）如图，连接
，设
与
相交于点
，再连接
，
因为
是弧
上的两个三等分点，所以
，
又
，所以
与
都是正三角形，
所以
，即四边形
是菱形，所以
，
又因为点在底面
上的射影为
的中点
，
所以
平面
，
由
，得
，即
，而
，所以
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，而
，
平面
，
所以
平面
，垂足为
，
即点
到平面
的距离为
，而
，
所以点
到平面
的距离为2.
（2）取
的中点
，连接
，由（1）可知
两两互相垂直，
故以点
为坐标原点，
的方向分别为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
当
时，可得
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
故
，
因为平面
轴，所以取平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
8．（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
是以
为
斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若
，
，且直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.
（2）以点
为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面
的法向量，再利
用线面角的向量法求解.
【详解】（1）由
是以
为斜边的等腰直角三角形，得
，由
平面
，
平面
，得
，而
平面
，
则
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）得
，而
平面
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
由
平面
，得直线
与平面
所成的角为
，且
，则
，
而
，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
