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专题05 磁场
安培力
一、单选题
1．（2025·安徽滁州·二模）某物理兴趣小组为研究通电导线周围的磁场，他们将一根很长的直导线，竖直
穿过水平桌面上O 点处的小孔并固定，然后在导线中通以恒定电流，以O 点为原点，某一水平方向为x 轴
建立坐标系，再将一个灵敏的小磁针放在x 轴上不同的位置，小磁针静止时N 极指向与x 轴正向的夹角为
θ，图1 为其俯视图。图2 为实验得到的sinθ 与位置x 之间的关系曲线。已知该区域地磁场水平分量大小为
B0。下列说法正确的是（ ）
A．导线中电流方向为竖直向下
B．此处地磁场方向与x 轴垂直
C．通电导线在x0处产生的磁感应强度大小为
D．x0处合磁场的磁感应强度大小为2B0
【答案】C
【详解】ACD．由图2 可知，当
时，知
解得
小磁针静止时N 极的指向为合磁场的方向，设通电导线在
处产生磁感应大小为
，该区域地磁场水平分
量大小为B0，如图所示
由数学关系知
解得
x0处合磁场的磁感应强度大小为
解得
根据安培定则，由小磁针的偏转情况可判断，导线中电流方向为竖直向上，故AD 错误，C 正确；
B．由图1 可知，小磁针放在x 轴上，小磁针静止时N 极指向与x 轴正向的夹角为θ，说明地磁场与x 轴不
垂直，故B 错误。
故选C。
2．（2025·安徽合肥·二模）图示为手摇发电机的示意图，正方形金属线框的边长为L，匝数为n，位于磁
感应强度大小为B 的匀强磁场中，并以恒定角速度
绕
轴转动。阻值为R 的电阻两端分别与换向器的
两个电刷相连，其余电阻不计，A 为理想电表。若从线框平面平行于磁场开始计时，则在线框转动一周的
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．AB 边中的电流方向保持不变
B．
时电流表示数为0
C．AD 边始终不受安培力作用
D．通过电阻R 的电荷量为
【答案】D
【详解】A．线框与磁场垂直时，线框中的电流为零，线框中的电流方向发生改变，在线框转动一周的过
程中，AB 边中的电流方向改变两次，故A 错误；
B．电流表的示数为电流的有效值，所以
时电流表示数不为0，故B 错误；
C．AD 边中有电流且与磁场不平行时受安培力作用，故C 错误；
D．线圈转动
周过程中通过电阻R 的电荷量为
又
,
联立得
线框转动一周的过程中，通过电阻R 的电荷量为
故D 正确。
故选D。
3．（2025·安徽蚌埠·二模）将长直导线折成如图所示形状固定在匀强磁场中，磁感应强度大小为
，磁场
方向与导线所在平面垂直，
三段相互平行，长均为
三段相互平行，长均为
与
垂直，给导线通入大小为
的恒定电流，则整个导线受到的安培力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】整个导线的有效长度为AH 的长度
，因此受到的安培力大小为
故选B。
带电粒子在磁场中的运动
一、单选题
1．（2025·安徽芜湖·二模）如图所示，在xOy 坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为B。在P 点有一粒子源，P 点坐标为（
，
）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率
向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为
，速率
。不计粒子重力及粒子间
的相互作用力，M 点坐标为（
，
），则下列说法正确的是（ ）
A．从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
B．从OM 之间射出磁场的粒子数占总粒子数的
C．到达x 轴的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9 2∶
【答案】B
【详解】A．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
解得
如图所示
可知从x 轴射出磁场的粒子所对应的角度范围为
，则从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
故A 错误；
B．如图所示
由几何关系可知从OM 之间射出磁场的粒子所对应的角度范围为
，则从OM 之间射出磁场的粒子数占
总粒子数的
故B 正确；
C．如图所示
到达x 轴的粒子中，当粒子到达P 点正下方位置对应圆心角最小，所用时间最短，则有
故C 错误；
D．如图所示
粒子在磁场中运动的最长路径对应的圆心角为
，最短路径对应的圆心角为
，可知粒子在磁场中运
动的最长路径与最短路径之比为
故D 错误。
故选B。
2．（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，
规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量
、质量
的带电粒子，位于某点O
处，在
时刻以初速度
沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其
他影响。从
时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
周期为
由图可知磁场变化的周期为
根据
可得在
时间内偏转的角度为
同理在在
时间内偏转的角度为
设粒子的出发点为
，经磁场变化的一个周期的终点为
，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁
场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得粒子的位移即为a、b 两点的距离，则有
从
时刻开始的磁场变化的一个周期
内，带电粒子的平均速度的大小为
故选D。
二、多选题
3．（2025·安徽合肥·二模）如图所示，带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁
场中，不计空气阻力，关于小球在磁场中运动的过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球做圆周运动
B．洛伦兹力对小球不做功
C．小球的速度保持不变
D．小球的机械能保持不变
【答案】BD
【详解】A．带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，所以小球受重力和
洛伦兹力作用，速度方向与合力方向夹角不是
，故小球做曲线运动，故A 错误；
BD．洛伦兹力方向与速度方向垂直，故洛伦兹力对小球不做功，故重力作用下，小球机械能保持不变，故
BD 正确；
C．小球在重力与洛伦兹力作用下，小球的速度发生变化，故C 错误。
故选BD。
4．（2025·安徽滁州·二模）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1所在空间存在与BD 方向平行的匀强磁场，
磁感应强度大小为B0，一质量为m、带电量为+q 的带电粒子以一定的速度从A 点沿AA1方向射入长方体区
域，并恰好从C1点离开该区域。已知AB=AD=l，AA1=
，不计粒子的重力。下列说法正确的是
（ ）
A．磁场方向由D 指向B
B．粒子的速度大小为
C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在长方体区域内运动的时间将减小
D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则该电场的电场强度大小为
【答案】BC
【详解】A．带电粒子从A 点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域，即向斜上方偏转，
由左手定则，磁场方向由B 指向D，选项A 错误；
B．粒子在A 点受洛伦兹力方向指向C 点，粒子又经过C1点，因
且
可知粒子做圆周运动的圆心在C 点，粒子做圆周运动的轨道半径为
根据
可得粒子的速度大小为
选项B 正确；
C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子轨道半径变大，粒子在长方体区域内圆弧所对的圆心角减小，根据
可知，粒子运动的时间将减小，选项C 正确；
D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则需满足
解得该电场的电场强度大小为
选项D 错误。
故选BC。
5．（2025·安徽·二模）如图所示，
平面内有两个匀强磁场，y 轴左侧的磁场垂直纸面向外，磁感应强
度大小为
，y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
．质量为m、电荷量为
的粒子，从x 轴上A 点
以速度
沿y 轴正方向射入磁场，恰好能垂直y 轴击中其上D 点
，若该粒子从O 点以速度
沿与x 轴正方向成
角射出，
，经过磁场偏转后能击中D 点，
不计粒子重力．下列说法正确的是（ ）
A．
B．粒子由O 运动到D 的时间可能为
C．粒子由O 运动到D 的时间可能为
D．若从x 正半轴上M 点以
沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y 轴击中D 点，M 距O 点的距离为
【答案】AB
【详解】A．带电粒子在磁场中运动，有
由题意可知
因
，则
结合几何关系得
所以
故A 正确；
BC．若粒子从y 轴左侧击中D 点，则有
其中
即
因
，即
解得
所以
，
粒子由O 到D 的时间为
若粒子从y 轴右侧击中D 点，则有
其中
即
因
，即
解得
所以
，
粒子由O 到D 的时间为
故B 正确，C 错误；
D．设
的方向与x 轴正半轴的夹角为
，如图所示
则有
求得
，
M 距O 点的距离为
故D 错误。
故选AB。
三、解答题
6．（2025·安徽淮北·二模）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，位于真空中
的xOy 平面内，x＜0 区域有一个圆心为P、半径为r 的圆形区域，其内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁
场。x＞0 区域存在多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d，纵向尺寸足够大。电
场强度大小为E，方向水平向右；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行
且与电场方向垂直。质量为m、电荷量为＋q 的大量同种粒子，从圆形区域的最高点M 以相同速率v 沿不
同方向垂直射入圆形磁场区域，在圆形区域磁场中做匀速圆周运动的半径等于r。不计粒子的重力及粒子
间相互作用的影响。
(1)证明所有粒子均平行于x 轴射出圆形磁场区域；
(2)求粒子在第1 层磁场中运动的速度大小
和轨迹半径
；
(3)粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为
，求
。
【答案】(1)见解析
(2)
，
(3)
【详解】（1）研究从M 点沿图1 中射入的粒子。
粒子做圆周运动的圆心为N，假设粒子从Q 点射出圆形磁场，图中
故四边形MPQN 为菱形；
则NQ 平行于MP，故NQ 垂直于x 轴，所以粒子平行于x 轴射出圆形磁场区域；
题中所有粒子运动规律均与图示粒子相同，故所有粒子均平行于x 轴射出圆形磁场区域。
（2）粒子从第1 层电场中射出时，据动能定理有
解得
粒子在第1 层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有
解得
（3）设粒子在第n 层磁场中运动的速度为
，轨迹半径为
（各量的下标均代表粒子所在层数，下同）
粒子进入第n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为
，从第n 层磁场右侧边界穿出时速度方向与水
平方向的夹角为
，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
故
由图2 可知出
故有
由上式看出
，
，…，
为一等差数列，公差为d，可得
由图3 得出，当
时，
解得
带电粒子在复合场中的运动
一、单选题
1．（2025·安徽池州·二模）如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，
其轨道半径为R，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不
计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．带电液滴沿逆时针运动
B．带电液滴运动速度大小为
C．若仅撤去匀强磁场，带电液滴可能做曲线运动
D．若仅撤去匀强电场，带电液滴机械能一定不变
【答案】D
【详解】AB．带电液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知液滴所受重力与
电场力平衡，即电场力方向竖直向上，液滴带负电，有
根据左手定则可判断带电液滴沿顺时针运动，对液滴有
联立，解得
故AB 错误；
C．若仅撤去匀强磁场，带电液滴仅在重力和电场力作用下，受力平衡，将做匀速直线运动，故C 错误；
D．若仅撤去匀强电场，带电液滴运动过程中，只有重力做功，机械能一定不变，故D 正确。
故选D。
二、解答题
2．（2025·安徽芜湖·二模）在如图所示的空间中，存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁
场，电场强度的大小为
，在电磁场中的P 点发射一带电微粒，粒子的比荷为
，当
微粒的初速度大小为
，方向如图中所示时，微粒恰好能沿图示虚线做直线运动，已知重力加速
度
。
(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小B 及微粒初速度与电场强度的夹角
；
(2)若撤去匀强磁场，求微粒在运动过程中离出发点P 的最大高度H；
(3)若撤去匀强电场，求微粒在运动过程中离出发点P 的最大高度h。
【答案】(1)
，粒子初速度方向与水平成
角，向右上方
(2)
(3)
【详解】（1）微粒受重力、电场力和洛伦兹力作用，根据平衡条件得
解得
又因为
解得
粒子初速度方向与电场方向成
角，向右上方。
（2）粒子在竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动的分解可得，上抛的初速度
上抛的最大高度
（3）撤去电场后，粒子只受到重力和洛伦兹力的作用，将洛伦兹力沿着水平和竖直方向分解，
洛伦兹力的竖直向上的分力
即洛伦兹力在竖直方向的分力等于粒子的重力，所以粒子在水平方向上做匀速直线运动，其速度为
竖直方向做匀速圆周运动，圆周运动的速度为
最大高度
解得
3．（2025·安徽黄山·二模）如图所示，边长为L 的正方形abcd 区域内存在方向垂直该平面向外的匀强磁场，
ad 边与y 轴重合，且坐标原点O 位于ad 边的中点。第三象限内存在方向沿y 轴正方向的匀强电场，电场
强度为E。带正电的粒子质量为m，电荷量为q，从第三象限内（包含坐标原点）的不同位置p 沿x 轴正方
向以速度v0出发，都经过坐标原点O 进入正方形abcd 区域。若p 位于O 点时，粒子恰好从cd 边中点垂直
于cd 边射出，不计粒子的重力，求：
(1)磁感应强度大小；
(2)带电粒子出发点p 的坐标轨迹方程；
(3)从bc 边飞出磁场的粒子，其出发点p 的x 轴坐标范围。
【答案】(1)
(2)
(x<0，y<0)
(3)
【详解】（1）进入磁场时速度为v0的粒子为坐标原点出发，速度水平，恰好从cd 边中点垂直于cd 边射出，
故圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
解得磁感应强度
（2）设p 点的坐标为（x，y），粒子运动到坐标原点的时间为t，由运动学公式
，
，
联立解得出发点p 的坐标轨迹方程
(其中
,
)
（3）设从坐标原点O 飞入磁场的粒子速度为v，方向与x 轴正方向的夹角为α，则轨道半径为r，有
即
可知磁场中所有粒子的轨迹圆心都在dc 边上，当粒子与ab 边相切时，粒子打到bc 边上的位置为飞出的上
边缘，由图的几何关系可知
，
所以
飞入磁场时的竖直分速度
则出发点p 的x 轴坐标
粒子打在c 点为飞出bc 边的下边缘，打在c 的粒子运动轨迹如图所示
此时轨迹与c 点相切，由几何关系
，
所以
粒子飞入磁场时的竖直分速度
则出发点p 的x 轴坐标
从bc 边飞出磁场的粒子，其出发点p 的x 轴坐标范围
4．（2025·安徽安庆·二模）如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，x<0，z≤L，y≥0 的空间内充满匀强磁场，方
向沿y 轴正方向；0≤x≤L，y≥0 的所有空间内充满匀强电场，方向平行于xOy 平面，与y 轴正方向夹角为
37°。质量为m、电荷量为+q 的带电粒子，在xOz 平面内从图中磁场边界的
点以速度v 沿与x 轴负方向夹
角θ=60°射入磁场，经磁场偏转后从坐标原点O 沿x 轴正方向射入电场，粒子在电场中运动时，恰好没有
从x=L 的边界射出电场，之后从y 轴上的P 点（图中未画）再次射入磁场，不计带电粒子的重力，取
sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)匀强磁场磁感应强度的大小；
(2)P、O 两点间的距离；
(3)带电粒子第n（n>2）次射出磁场时的y 轴坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在xOz 平面内，设粒子从A 点到O 点做匀速圆周运动的半径为R，匀强磁场的磁感应强度
大小为B，由几何关系可得
解得
由向心力公式有
联立解得
（2）由题意知，粒子在xOy 面内的运动轨迹与直线x=L 相切，切点记为C，如图所示
由运动的分解知：粒子在x 轴、y 轴方向上均做匀变速直线运动，设电场强度大小为E，粒子在x、y 方向
上的分加速度大小分别为ax、ay，则有
，
联立解得
设粒子从O 点运动P 点的时间为t，则从O 点运动到C 点的时间为
，x 方向有
y 方向有
联立解得
（3）粒子从O 点运动到C 点的过程中，x 轴上满足
可得
代入
解得
由（2）问分析知：粒子每次在电场中运动的时间均为t，从第1 次出磁场至第n 次出磁场，粒子在电、磁
场中均运动（n-1）次。若仅考虑粒子在电场中
轴正向的加速，由于每次加速的ay不变，相当于粒子从初
速为零开始匀加速了（n-1）t 的时间，粒子在这段时间内加速的总位移为
粒子在磁场中的运动为螺旋状运动，粒子每次进磁场时垂直于磁场方向的速度为v 不变，由运动的分解可
把粒子在磁场中的运动看成xOz 面内线速度为v 的匀速圆周运动（半径仍为R）和y 轴正向的匀速直线运动，
设每次磁场中运动过程中，粒子在y 方向匀速运动的分速度大小分别为
、
，则有
分析易知，粒子每次在磁场中运动的时间均为其做圆周运动的半个周期时间，设此时间为t′，则有
所以粒子在磁场中运动的时间内，在y 轴方向上匀速运动的总位移为
联立解得
综上所述，粒子第n 次出磁场时的y 轴坐标为
5．（2025·安徽蚌埠·二模）如图所示，水平虚线
、
、、
间距均为
，
、
间和、
间有沿水平
方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的
匀强电场，电场强度大小为
，一个质量为
、电荷量为
的带正电粒子在
点由静止释放，粒子进磁场
Ⅰ时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线
相切，已知
点离虚线
距离也为
，不计粒子
的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线
相切，则
粒子释放的位置离虚线
的距离为多少；
(3)不撤去电场，将粒子在虚线
上方距离为
的
点（图中未标出）以水平速度向右射出，结果粒子恰
好不能从磁场Ⅱ的
边界射出，则初速度多大。
【答案】(1)
(2)粒子应在边界
上由静止释放
(3)
【详解】（1）设粒子进磁场Ⅰ时的速度大小为
，根据动能定理有
解得
据题意可知，粒子在磁场I 中做匀速圆周运动，其半径
据牛顿第二定律有
解得
（2）设粒子释放的位置离虚线
的距离为
，粒子与虚线
相切时的速度大小为
，据动能定理有
解得
粒子在磁场I 中运动到
的过程，水平方向应用动量定理有
在竖直方向有
解得
，即粒子应在边界
上由静止释放。
（3）由题意可知，粒子到边界
时速度与
相切水平向右，设其速度大小设为
，则有
粒子在两个磁场中运动到
的过程，水平方向应用动量定理有
在竖直方向有
则有
解得
