文档文本内容
专题10 磁场
磁现象和磁场
1．（2025·山西晋中·三模）如图1 所示，在
，
的区域中存在垂直
平面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场（用阴影表示磁场的区域），边长为
、
匝数为
的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以
轴为转轴匀速转动时，其产生的交变
电流如图2 所示。若仅磁场的区域发生了如图3 所示的变化，线圈与磁场垂直时开始计时，
线圈匀速转动的周期为
，则磁场区域变化后，下列说法正确的是（ ）
A．
时刻，穿过线圈平面的磁通量为
B．磁场区域变化后所产生的交变电流的峰值与原来相比变小
C．
时，线圈中开始出现电流
D．线圈平面转过
时，穿过线圈磁通量的变化量为
【答案】C
【详解】A．
时刻，穿过线圈平面的磁通量为
故A 错误；
B．根据题意可知磁场变化前后最大值都在磁通量为零位置，此时两条边切割磁场产生电
动势，产生的感应电动势的最大值均为
故B 错误；
C．磁场区域变化后根据几何关系有
解得
所以线圈中开始出现电流的时刻为
故C 正确；
D．线圈平面转过
时，穿过线圈磁通量的变化量为
故D 错误。
故选C。
2．（2025·甘肃白银·三模）磁电式电表原理示意图如图所示，两磁极装有极靴，极靴中间还
有一个用软铁制成的圆柱。极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向，两者之间有可转动的线圈。
a、b、c 和d 为磁场中的四个点。下列说法正确的是（ ）
A．图示左侧通电导线受到安培力向下
B． c、d 两点的磁感应强度相等
C．圆柱内的磁感应强度处处为零
D．a、b 两点的磁感应强度大小相同
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，图示左侧通电导线受到安培力向上，选项A 错误；
B．因c 点磁感线较d 点密集，可知 c、d 两点的磁感应强度不相等，选项B 错误；
C．圆柱相当磁体，则内部的磁感应强度不为零，选项C 错误；
D．a、b 两点的磁感线疏密程度相同，可知磁感应强度大小相同，选项D 正确。
故选D。
3．（2025·云南·三模）如图所示，一正方形线框放置在水平桌面，在以线框为底面的空间正
方体中，
、
分别为上下表面的中心，线框通有图示的恒定电流。下列说法正确的是
（ ）
A．
处磁感应强度为0
B．
处磁感应强度方向竖直向上
C．
连线上各点磁感应强度相同
D．从
处静止释放一可视为质点的带电小球，将做直线运动
【答案】D
【详解】AB．由题意，可把通电线框看成环形电流，根据安培定则结合环形电流空间磁场
的分布特点，判断知
，O2处磁感应强度不为0，方向均竖直向下，故AB 错误。
C．根据环形电流空间磁场的分布特点，可知O1O2连线上各点磁感应强度方向相同，但由
于
连线上各点距离导线框不同，所以
连线上各点磁感应强度大小不相同，故C
错误。
D．由于O1O2连线上磁场方向竖直向下，与小球运动方向一致，小球不受洛伦兹力，只受
重力，故小球将沿
做匀加速直线运动，故D 正确。
故选D。
4．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，等边三角形abc 中心处静置一长直通电导线M，导线
与abc 纸面垂直，电流方向未知，该空间还存在与bc 边平行足够大的匀强磁场，磁感应强
度大小为B，方向如图中所示，已知a 点的磁感应强度为0，则（ ）
A．M 中的电流方向垂直于纸面向里
B．b、c 两点的合磁感应强度大小均为B
C．沿Ma 方向到无穷远处，磁感应强度先减小后增大，方向一直不变
D．若仅使M 的电流反向，则b、c 两点合磁感应强度大小均为B
【答案】D
【详解】A．设通电直导线在a、b、c 三点产生的磁感应强度大小为B0，由于a 点的磁感
应强度为0，可知M 导在a 点产生的磁场与匀强磁场B 等大方向，由右手螺旋定则可知M
中的电流方向垂直于纸而向外，故A 错误；
B．M 导线在bc 两点产生的磁场方向，如图所示
因为B0=B，由几何关系可知b、c 两点合磁感应强度大小
故B 错误；
C．在a 点磁感应强度为0，在a 点下侧到M 点，磁感应强度的方向水平向左，在Ma 的延
长线上，磁感应强度的方向水平向右，故C 错误；
D．若仅使M 的电流反向，则b、c 两点B0和B 的夹角变为120°，b、c 两点合磁感应强度
大小均为B，故D 正确。
故选D。
安培力
5．（2025·福建三明·三模）如图，水平台面上有一足够长、间距为L 的平行光滑金属导轨
MN、PQ，置于塑料圆筒内，导轨左端连着电容为C 的电容器和电动势为E 的电源，整个
装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。将一质量为m 的模拟金属炮
弹置于圆筒内导轨上，先将开关拨至接线柱1，充电结束后，将开关拨至接线柱2，炮弹
在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。
已知炮弹电阻为R，炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻。则在此过程中
炮弹（ ）
A．做匀加速直线运动
B．在导轨上的位移为
C．离开导轨时的速度为
D．最大速度与电容器电容大小成正比
【答案】C
【详解】A．对炮弹受力分析，根据牛顿第二定律有
结合
，
由于电容器放电过程中，极板所带电量Q 在减小，可知极板间电压、通过炮弹的电流以及
炮弹所受安培力都在减小，则可知炮弹的加速度也在减小，故A 错误；
B．炮弹在导轨上运动过程，由于电容器有电压存在，通过炮弹的平均电流并不是
，
即
则可知
故B 错误；
C．对炮弹，以向右方向为正，根据动量定理有
其中平均安培力
结合
可得
故 C 正确；
D．刚充电结束时，电容器电荷量为
导轨达到最大速度时，电容器电荷量
此时电容器电压
此时导轨产生的感应电动势等于U，故
联立以上几式可得
可解得
故炮弹的最大速度与电容器电容大小并不成正比，故D 错误。
故选C 。
6．（2025·重庆·三模）如图，固定的光滑绝缘转动轴
两端通过等长的不可伸长轻质软导线
连接并悬挂长为
、质量为
的细导体棒
，空间存在辐向分布磁场(方向已标出)，保
证导体棒移动过程中磁场方向总是垂直于导体棒，导体棒所在处的磁感应强度大小均为
，
开始时导体棒静止在最低点。现给导体棒通电流，若仅通过改变导体棒中的电流大小，使
导体棒由最低点缓慢移动到悬线呈水平状态，则在这个过程中（ ）
A．导体棒中电流方向为由
指向
B．导体棒中电流应逐渐变大
C．悬线对导体棒的拉力一直增大
D．安培力对导体棒不做功
【答案】B
【详解】A．导体棒受安培力偏左，由左手定则可判断，导体棒中电流方向为由a 指向b，
故A 错误；
BC．由受力分析可知，安培力始终与悬线拉力垂直，根据平衡条件有
，
因在该过程中悬线与竖直方向的夹角变大，故T 变小，
变大，电流I 变大，故B 正确，
C 错误；
D．由题知，在整过程重力做负功，拉力不做功，且导体棒缓慢移动，即动能变化量为零，
根据动能定理
解得
可知安培力做正功，故D 错误。
故选B。
7．（2025·河北张家口·三模）电磁炮是利用磁场对通电导体的作用使炮弹加速，其原理如图
所示，间距为
、倾角为
的两根光滑导轨平行放置、导轨底端通过开关
接有电动势为
、内阻可忽略的电源，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度
大小为
。装有炮弹的导体棒
（简称为弹体）垂直放置在导轨上，弹体的总质量为
、
电阻为
、长度也为
，导体棒与导轨接触良好。闭合开关后，当弹体在导轨上恰好匀速
运动时射出，射出点距地面的高度为
。不计空气阻力和导轨电阻，已知重力加速度为
。
求：
(1)弹体射出时的速度大小；
(2)弹体飞行过程中离地面的最大高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）导弹体在导轨上恰好匀速运动时射出，此时对导体棒
进行受力分析得
解得
根据欧姆定律
两式联立，解得
（2）弹体飞出后做斜抛运动
能上升的最大高度
则弹体离地面的最大高度
8．（2025·河南·三模）如图所示，虚线
左侧空间存在一方向与纸面垂直的匀强磁场，磁
感应强度
随时间的变化关系为
。一硬质细导线的电阻率为
、横截面积
为
，将该导线做成半径为
的圆环固定在纸面内，圆心
在
上，
时磁感应强度
的方向如图。对从
时到
时，下列说法正确的是（ ）
A．圆环所受安培力的方向始终不变B．圆环中的感应电流在
时发生改变
C．圆环中产生的感应电动势大小为
D．圆环中的感应电流大小为
【答案】D
【详解】AB．由题知，磁感应强度
随时间的变化关系为
设当
时磁感应强度
，代入上式，则有
解得
即当从
时磁感应强度向里减到零，
时磁感应强度为零，之后磁感应强度向
外反向增加；根据楞次定律可知，在
内圆环的电流为顺时针；1.5s 后圆环的电流
也为顺时针，即电流方向不发生改变；根据左手定则，可知在
内圆环所受的安培
力向左，1.5s 后圆环所受的安培力向右，即安培力方向发生变化，故AB 错误；
C．根据法拉第电磁感应定律有
根据磁感应强度
随时间的变化关系为
可得
故感应电动势大小为
故C 错误；
D．根据电阻定律，可得圆环的电阻为
则感应电流大小为
故D 正确。
故选D。
9．（2025·贵州黔南·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，正三角形的三个顶点上放置着
三根垂直于坐标平面的无限长直导线P、Q、R，导线中的电流大小相等，P 和R 中的电流
方向向里，Q 中的电流方向向外。已知无限长直导线在某点形成的磁感应强度大小与该点
到导线的距离成反比，R 在O 点产生的磁感应强度大小为
。下列说法正确的是
（ ）
A．P 受到的安培力的方向竖直向上B．R 受到的安培力的方向水平向右
C．O 点磁感应强度大小为
D．P、R 在Q 点产生的磁感应强度方向竖直向下
【答案】C
【详解】ABD．三根导线中的电流大小相等，根据安培定则可得，在P、R、Q、O 四点的
磁感应强度方向如图所示
根据左手定则可得，P、R 导线所受安培力方向如图所示，故ABD 错误；
C．已知R 在O 点产生的磁感应强度大小为
，无限长直导线在某点形成的磁感应强度大
小与该点到导线的距离成反比，P、Q 在O 点产生的磁感应强度大小均为
，由
得
则O 点的磁感应强度为
，故C 正确。
故选C。
10．（2025·福建莆田·三模）如图所示，粗细均匀的“L”型金属棒
用绝缘细线
和
悬吊，静止在垂直于
平面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为
部
分水平，长为
部分竖直，长为
。给金属棒通入大小为
、方向从
到
的恒
定电流，同时给金属棒施加一个外力，使金属棒仍处于原静止状态，则加在金属棒上外
力的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】要使金属棒处于原静止状态，需要施加的最小外力等于安培力的水平分力，即
故选A。
11．（2025·河南新乡·三模）如图所示，用轻绳将两根通电直导线悬挂在天花板上的O 点。
系统平衡时，左右两侧轻绳偏离竖直方向的夹角分别为α、β。已知两通电导线的质量相
等，导线A 的电流方向垂直纸面向里，导线B 的电流大于导线A 的电流，过O 点的竖直
线与AB 连线相交于
点，OA>OB，下列说法正确的是（ ）
A．导线B 对导线A 的磁场力大于导线A 对导线B 的磁场力
B．导线B 的电流方向垂直纸面向里
C．
点为线段AB 的中点
D．左侧轻绳的拉力小于右侧轻绳的拉力
【答案】C
【详解】A．导线B 对导线A 的磁场力与导线A 对导线B 的磁场力是一对相互作用力，大
小相等，故A 错误；
B．由“同向电流相互吸引，反向电流相互排斥”可知，导线B 的电流方向垂直纸面向外，
故B 错误；
D．如图所示
对两根导线受力分析，依据三角形定则和平衡条件，由三角形相似得
因为OA>OB，所以
故D 错误；
C．由三角形相似得
即
所以
点为线段AB 的中点，故C 正确。
故选C。
12．（2025·浙江绍兴·三模）如图所示是研究小组设计的一种“圆盘电动机”。半径为
的导
体圆环竖直放置，圆环附近存在水平向右且垂直圆环平面的匀强磁场，磁感应强度大小
为
，它通过三根阻值均为
的辐条与转轴
固连。圆环左侧的电阻
通过导线与
辐条并联，电源
是恒流源，能提供恒定不变的电流
（箭头表示电流方向），电阻
与
电源S 之间接有开关K；圆环的右侧有一个半径为
且能与圆环随转轴一起转动的圆盘，
其上绕有不可伸长的细线，下端悬挂铝块。除铝块外，其他物体质量忽略不计，不考虑
任何摩擦阻力，重力加速度为
。
(1)当开关K 断开时，细线下面悬挂质量为
的铝块，经足够长时间铝块未落地，求：
①流过电阻
的电流方向；
②铝块下落的最终速度
；
(2)当开关K 闭合时，圆盘转动，带动铝块向上运动，求
①开关接通瞬间，单根辐条上的安培力
的大小；
②此电动机可能输出的最大机械功率为多少？此时铝块质量
为多大？
【答案】(1)①从
到
，②
(2)①
，②
；
【详解】（1）①铝块下落时，从右向左看，辐条顺时针转动，由右手定则，流过辐条的
电流从圆环流向转轴，故
两端的电流为从
到
②设此时辐条转动的角速度为
则三根辐条产生的等效电动势为
等效电阻为
，对于铝块，速度
在最终运动过程中，铝块的重力做功功率等于电路的电功率
代入可得
（2）①流过三根辐条的总电流为
，流过单根辐条的电流
单根辐条上的安培力
②设流过三根辐条的总电流为
代入得
当
时，
根据
代入得
物体上升的速度
得
13．（2025·江西九江·三模）四个带电粒子的电荷量和质量分别为（＋q，m）、（＋q，
2m）、（＋3q，3m）、（-q，m），它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入
匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像，
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
则
根据上式可知（＋q，m）、（＋3q，3m）轨道半径相同，且二者的轨道半径与（-q，
m）的相等，运动方向相反，（＋q，2m）的轨道半径最大。
故选A。
14．（2025·重庆·三模）如题图所示，在
平面第一象限内，直线
与直线
之间
存在磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场
轴下方有一直线CD 与
轴平
行且与x 轴相距为
轴与直线CD 之间（包含x 轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场；在
第三象限，直线CD 与直线
之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀
强磁场。纸面内有一束宽度为
的平行电子束，如图，沿y 轴负方向射入第一象限的匀强
磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y 轴的距离也为
，
经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入
轴下方的电场，最后所有
电子都垂直于
边界离开磁场。已知：电子质量为
，电量大小为e，电场强度大小为
。求：
(1)电子进入
轴上方磁场前的最大速度v1的大小；
(2)直线
的方程；
(3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，
同时在第四象限直线CD 的下方，以CD 为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一
大小为
，(
未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点
（-8a，-5a），求第四象限所加磁场的大小
及磁场左边界满足的关系。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）根据题意分析可知，所有电子在第一象限都经历一个四分之一侧周运动后
通过原点并沿-x 轴方向进入x 轴下方的电场，最大速度对应最大半径，则有 r1=2a
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得电子进入x 轴上方磁场前的最大速度为
（2）由题意可得所有电子都垂直于EF 边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在
EF 直线上,由以上分析可得，经过直线 CD 时，设任何电子的-x 方向的分速度为
根据运动学公式，在y 方向有
其中
在x 方向，有
解得
则电子经过直线CD 的坐标为(-2ka，-a)，电子经过直线CD 的合速度为
速度方向与水平方向的夹角的正切值为
则圆心位置对应的坐标为
因为电子垂直于直线EF 出射，所以圆心也在直线上，可得EF 直线为
（3）设某一粒子从电场入射时位置为(x0，0)则轨迹如图
其入射速度、时间关于x0有轨道半径为
，
，
，
射出电场得坐标为
那么当粒子从电场出射时，出射位置横坐标x1与水平分速度vx满足
在磁场中运动时，轨迹圆的圆心
，
解得直线l1为
由(2)问知所有粒子垂直经过此直线。
考虑到汇聚的要求，可以考虑利用“入射粒子入射磁场时平行磁场速度与横坐标为线性
关系”这一点，做CD 关于l1对称的直线l。
再将入射磁场粒子束视为全部从(0,3a)匀速直线射出并进入CD 处磁场，那么粒子束的运
动将关于l1对称，它们将汇聚到(0，3a)关于l 的对称点。代入此点位置(-8a，-5a)
解得l1为 y=-5a-x；
磁场左边界满足的关系x=-4a
带电粒子在磁场中的运动
15．（2025·重庆·三模）如题图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为B
的匀强磁场。位于坐标原点
的离子源从
时刻开始、沿xOy 平面持续发射速度大小
范围为
、质量为
、电荷量为+q 的粒子，离子源发出的各种速度的粒子向
各个方向都均匀分布。不计离子重力及离子间相互作用，且忽略相对论效应。则
（ ）
A．速度为
的离子，在磁场中匀速圆周运动的半径为L
B．速度为
的离子，在x 轴上能够被探测到的区间为
C．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
D．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
【答案】AD
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力得
得
将
代入得
故A 正确；
B．根据左手定则可知，射入磁场中的离子将沿顺时针方向做匀速圆周运动，当
时
沿各个方向射入磁场的离子的运动轨迹如图所示
由图可知，在x 轴上能够被探测到的区间为
故B 错误；
CD．离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
所以
在
时间段内，0 时刻射入磁场的离子在磁场中转过的圆心角均为
，磁场中可
探测到离子最远点落在一段圆弧上，该圆弧以O 为圆心、以
为半径、对应的圆
心角为
，如图所示
可探测到离子区域的最大面积为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
16．（2025·山西·三模）垂直纸面的两薄铝板M、N，将纸面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，三个
区域内均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B₁、B₂ 和B₃，如图所示。
两带电粒子从P 点沿平行铝板方向前、后射入磁场Ⅱ内，穿过M 板的粒子其轨迹半径不
变，而穿过N 板的粒子轨迹半径变小（粒子穿过铝板前、后质量和电荷量均不变），下
列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AB．带电粒子受到洛伦兹力作用，在垂直磁场平面内做匀速圆周运动，由
可得
正粒子穿过M 板动量减小，而轨迹的半径不变，说明
，故A 错误，B 正确；
CD．负粒子穿过N 板后动量变小，轨迹的半径也变小，无法确认B₂ 与B₃ 的大小关系。
故CD 错误。
故选B。
17．（2025·湖北·三模）如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，AC 为该圆形区域的水平直径，O 为圆心。一带正电微粒从A 点沿与AC
成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为
，不计微粒重力，下列说
法正确的是（ ）
A．若微粒从圆形磁场边界上的D 点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为
B．若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为
C．若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为
D．若将AC 下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微
粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为
【答案】BD
【详解】A.如图所示
连接A、D，过磁场圆圆心O 作AD 连线的垂线，再过A 点作速度的垂线，两垂线的交点
即为轨迹圆的圆心，由几何知识可知，
刚好在圆形磁场区域的边界上，且
D 水平，
故微粒从D 点离开时对应轨道半径
由
解得
A 错误；
B.微粒在磁场中运动的位移最大对应为圆的直径，轨道半径
微粒入射速度大小为
，B 正确；
C.只改变入射微粒速度大小，微粒在磁场中运动的轨道对应的圆心角一定小于
时间
小于
，C 错误；
D．若将AC 下方磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，运动位移最大的
出射点仍为C 点，对应的半径满足
，则对应微粒速度
=1，2，
3，……），D 正确；
故选BD。
18．（2025·河北邢台·三模）如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于其平面、磁感应强度
大小为B 的匀强磁场，
把圆周六等分。现有带正电的粒子由A 点
以不同速度对准圆心O 进入磁场，由圆周上的不同点射出。设粒子的质量为m、电荷量
为q，速度为
时粒子正好由
点飞出磁场。则（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．改变带电粒子的电性，速度变为
，则一定由E 点射出
C．从圆弧CD 之间（不含C 点）飞出的带电粒子速度一定大于
D．带电粒子的比荷
【答案】ACD
【详解】A．由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向里，故A 正确；
BC．如图所示
带正电的粒子以速度
入射，由A 运动到
时，根据几何关系，可得运动轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力有
解得
改变带电粒子的电性，若粒子由E 点射出，根据几何关系，可得运动轨迹半径
又
解得
由对称性分析可知从圆弧CD 之间（不含C 点）飞出的带电粒子速度一定大于
，故B
错误，C 正确；
D．根据B 选项分析有
解得
故D 正确。
故选ACD。
19．（2025·河北·三模）如图所示，在直角坐标系
的第一象限内存在着一个半径为
、
磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，
为圆心，该磁场区域
分别与
轴、
轴相切于
点、
点。在
点处有一粒子源，可以向第一象限内的各个方
向射入速度大小相等、质量均为
、电荷量均为
的粒子，不计粒子所受重力
及粒子间的相互作用，粒子在磁场中只受洛伦兹力作用。已知沿
轴正方向射入的粒子，
在
轴的
点射出。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度大小为
B．与
轴正方向成
角射入圆形匀强磁场区域的粒子，最后经过
轴上的横坐标为
C．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则粒子在圆形匀强磁场区域中运
动的最长时间为
D．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则圆形匀强磁场区域边界上能够被
粒子打到的弧长为
【答案】AC
【详解】A．设粒子的轨迹半径为
，已知粒子从
点沿
轴正方向射入，在
轴的
点
射出。根据几何关系可知
粒子在圆形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
可得粒子的速度大小为
故A 正确；
B．如图所示。
为粒子轨迹的圆心
由几何关系可以得出射出点的横坐标为
故B 错误；
C．若
，设粒子的轨迹半径为
，由洛伦兹力提供向心力
可得
粒子在圆形匀强磁场区域中运动时间最长时，圆形匀强磁场区域的直径是粒子轨迹的一
条弦，粒子轨迹如图所示，
为粒子轨迹的圆心。
由几何关系可知
解得
则粒子的射入速度方向与
轴正方向的夹角为
粒子运动的周期为
粒子在磁场中运动的最长时间为
故C 正确；
D．设粒子轨道的轨迹半径为
，若
，则
粒子打到圆形匀强磁场区域边界的最远位置距离
点为
粒子的轨迹如图所示。
由几何关系可知，最大距离
所对应的圆形匀强磁场区域的圆心角为
，圆形匀强磁场
边界上能够被粒子打到的弧长为
，故D 错误。
故选AC。
20．（2025·江西萍乡·三模）如图，空间中一半径为R 的圆形区域（包括边界）内有方向垂直
于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。磁场左侧宽度为R 的区域里，大量质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A 点沿AO
方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M 点飞出，已知过A、O 两点的直线水平且
是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的
是（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为
B．粒子的初速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】AB．由几何关系可知粒子圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的初速度大小为
故A 错误，B 正确；
CD．如图所示
由C 点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有
粒子做圆周运动的周期为
粒子运动的最短时间
同理，由D 点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为
故C 错误，D 正确。
故选BD。
21．（2025·山西吕梁·三模）如图所示，
和
是竖直圆
的两条相互垂直的直径，
水平，
为过点
且平行
的直线，圆
内部充满磁感应强度大小为
、方向垂直
纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和
相等、电荷量为
、质量为
的带正电粒子以相同速率平行直径
射入圆
，粒子均通过
点进入直线
下方。
已知圆
的半径为
，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)求粒子的速率
；
(2)若直线
下方充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向
和
中点的两粒子进入直线
下方后又均从
点射出
下方磁场，求
点到
点的距离
；
(3)若直线
下方、
延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线
和
延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为
，水平方向边长为
。已知
粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于
到
之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的
运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的
，求矩形磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径
射入圆
，粒子均通过
点进
入直线
下方，由磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）结合上述分析可知，粒子进入
下方后做圆周运动的半径为
由几何关系可得，两粒子从
点射出圆形磁场时速度方向与
延长线的夹角相等，设
为
，则
由几何关系可得
联立解得
（3）设矩形磁场磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的轨道半径为
，根据洛伦兹
力提供向心力，得
解得
当
时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为
的圆弧，圆弧与
矩形磁场的边界相切，如图所示
设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意
回旋角度为
，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为
，由几何
关系得
，
，
解得
，
（舍）
联立解得
22．（2025·山东潍坊·三模）如图所示，
直角坐标系的第一象限内，半径为
的
圆弧
外存在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为
。
位于
点的粒子源向第一象限内的各个方向均匀发射完全相同的带正电的粒子，粒子速
度大小均为
，电荷量为
质量为
。不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，下列判
断正确的是（ ）
A．磁场中粒子运动轨迹的半径为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．不可能有粒子经过
轴与圆弧的交点
D．经过一段时间后发现发射出的所有粒子中有
的粒子可以回到
点
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
可得粒子运动轨迹的半径为
故A 正确；
B．如图所示
当粒子再次从圆弧边界离开磁场时，粒子轨迹对应的圆心角最大，所用时间最长，根据
几何关系可得
可得
则粒子轨迹对应的最大圆心角为
则粒子在磁场中运动的最长时间为
故B 错误；
C．如图所示
可知粒子可以经过
轴与圆弧的交点，故C 错误；
D．如图所示
由图可知，粒子射入磁场速度与
轴正方向的夹角在
内的粒子可以回到
点，则
有
可知发射出的所有粒子中有
的粒子可以回到
点，故D 正确。
故选AD。
23．（2025·湖北荆州·三模）如图所示，边长为L 的正方形abcd 内、外充满磁感强度为B、
方向如图所示的匀强磁场。bc 边中点的粒子源P 不断发出速度不等，但方向均垂直于bc
指向正方形内部的质子，质子电荷量为q，质量为m。若质子最终垂直于bc 回到P 点。
(1)质子的最大速率
；
(2)若质子速度分别为
，说明质子能否垂直bc 回到P 点，若能，求
质子从P 点出发第一次回到P 点的时间之差
；
(3)若质子的速度大小在
范围内，请写出全部符合条件的速率，不要求过
程。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）如图所示，最终垂直bc 能回到P 点的质子
做圆周运动的半径最大，速率最大，由数学知识有
结合
联立得
，
（2）由
，得
由
，得
轨迹如图所示：垂直于bc 回到P 点
周期
与速度无关，可得
如图
，
得质子从P 点出发第一次回到P 点的时间之差
（3）由
知，若质子的速度大小在
范围内，
由数学知识可得全部符合条件的速率为：
时，
时，
时，
时，
时，
时，
24．（2025·四川攀枝花·三模）如图所示，正方形abcd 区域被MN 分为上、下两个矩形，
、
，MN 下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN 上方有
平行bc 边向下的匀强电场。在cd 边的中点P 处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀
的辐射出速率大小均为
的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子
源沿P→c 方向射出的粒子恰好未从ab 边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，
则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场运动的半径为d
B．从MN 上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d
C．匀强电场的场强大小为
D．粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域运动的时间为
【答案】AC
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
故A 正确；
B．由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长，由图可知
由几何关系可知
最短的弧长即最短路程为
故B 错误；
C．粒子源沿P→c 方向射出的粒子恰好未从ab 边离开电场，根据动能定理可得
解得
故C 正确；
D．粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域，根据
，
解得
在磁场中，运动时间为
在电场中，根据牛顿第二定律
根据运动学公式
解得
返回磁场之后，粒子在洛伦兹力作用下向右偏转，由几何关系可知，粒子在磁场中运动
轨迹的圆心角为
，然后从
边飞出abcd 区域，则运动时间为
则粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域运动的时间为
故D 错误。
故选AC。
25．（2025·山东潍坊·三模）电磁场调控是物理实验技术中一项重要的技术手段，现代科学仪
器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图所示的坐标系中，
轴上方存在竖直向
下的匀强电场，
轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。现有质
量为
、电荷量为
的带电粒子在
点由静止释放，从原点
点进入磁场，恰好经过
磁场中的
点。已知
点坐标为（0，
），
点为（
，
），不计粒子重力。求：
(1)带电粒子在磁场中的轨迹半径；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)若
轴下方也存在上述匀强电场，重新让粒子从
点由静止释放，经过一段时间带电
粒子第一次到达轨迹最低点
（图中未标出），求
点坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
，
）
【详解】（1）粒子在磁场中运动时，运动轨迹为匀速圆周运动，设粒子轨迹半径为
，
由几何关系得
得
（2）设粒子在磁场中的速率为
，洛伦兹力充当向心力，有
解得
在电场中由动能定理有
解得
（3）粒子刚进入x 轴下方电磁场的速度v 不变，速度分解为水平向右v1和另一速度v2，
由
得v1=v
则v2=
粒子在电磁场得运动可分解为水平向右、速度大小为v 的匀速直线运动和初速度方向与x
轴负方向成45°、速度大小为
的匀速圆周运动，如图：
由
，得半径
当运动至最低点N 时，由匀速圆周运动可得时间
粒子水平方向位移为
粒子竖直方向位移为
所以N 点坐标为（
，
）。
26．（2025·河北张家口·三模）如图所示，在
竖直平面坐标系内的第一、三、四象限存
在相同的垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿
轴负方向的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的小球从
轴上的
点以速度大小为
、方向与
轴正方向成
角射入匀强电场，小球到达坐标原点
时恰好竖直向下运动。已知重力加速度大
小为
，磁感应强度大小
。求：
(1)第二象限的电场强度的大小
和
、
两点间的距离
；
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小
；
(3)小球过坐标原点后第一次通过
轴的位置坐标。
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【详解】（1）小球到达坐标原点
时恰好竖直向下运动，可知水平速度减为零，则
竖直方向
，
，
联立解得
，
（2）小球经过O 点时的速度
将该速度分解为水平方向的速度v1，使得该速度受向上的洛伦兹力与重力平衡，则
解得
则另一个分速度为v2=v0
方向与y 轴负向成45°角，则粒子可看做是沿x 轴正向速度为
的匀速运动和以
速度v2做匀速圆周运动的合运动，小球第一次到达最低点时速度的大小
（3）圆周运动的半径
粒子再次回到x 轴的时间
小球过坐标原点后第一次通过
轴的位置坐标
27．（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下
图，加速电场的电压为
；速度选择器中磁感应强度为
，两板电压为
，两板间距
离为
；磁分析器在
坐标系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为
，各
磁场方向如图中所示。一电荷量为
的粒子从容器
右侧小孔进入加速电场，恰能沿直
线运动通过速度选择器，从小孔
出来后，进入磁分析器中偏转，轨迹如图中虚线所示，
到达
轴上
点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶
(1)粒子经过小孔
的速度
；
(2)粒子的质量
和刚进入加速电场时的初速度
；
(3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率
大小成正比的阻力，轨迹如实线所示，其运动到
点时速度方向刚好沿
轴正向，
则粒子所受阻力与速率的比值
是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在速度选择器中，根据平衡条件，有
电场强度为
联立可得
（2）在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，有
由图可知l=2r
联立可得
在加速电场中，根据动能定理，有
解得
（3）在磁分析器中，从O 到Q，沿x 方向根据动量定理有
其中在x 方向，有
在y 方向，有
代入可得
解得
28．（2025·河北石家庄·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，以O1（0，R）为圆心、
半径为R 的区域Ⅰ内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。第二象限
有一平行于y 轴、宽度为2R 的线状电子源，电子源中心与O₁ 等高。在x 轴上放置一定长
度的薄收集板，收集板左端置于原点O 处。x 轴下方区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B、方
向垂直纸面向外的匀强磁场。电子源沿x 轴正方向均匀发射质量为m、电荷量为e、速度
相同的电子，射入圆形磁场区域后经O 点全部进入区域Ⅱ（收集板左端不会挡住经过O
点的电子），只有一半数量的电子打到收集板上并被吸收。忽略电子重力和电子间相互
作用。
(1)求电子源发射电子的初速度v 的大小；
(2)求该收集板的长度；
(3)现撤去区域Ⅱ的磁场，然后在x≥0 且y≤0 区域加垂直纸面方向的磁场，磁感应强度B'随
x 轴坐标变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。电子源正对O1点
以原初速度射向区域Ⅰ的电子运动轨迹经过点（R，-kR），其中k>0 且为已知量。求该电
子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)-4kR
【详解】（1）电子在区域I 内做圆周运动，设轨道半径为R₁，根据牛顿运动定律
电子运动的轨道半径等于圆形磁场的半径：R1=R
解得
（2）做出电子在磁场中运动的轨迹如图，距离电子源中心位置
的粒子打在O 点时，
速度方向分布在y 轴左右两侧，与y 轴夹角均为30°。由题意可知，距离电子源中心位置
大于
的区域粒子直接打到收集板上，其它电子均不能打到收集板上。
做出速度方向与y 轴左右两侧夹角均为30°角的电子在区域II 运动的轨迹，两电子在区域
II 内运动的轨迹圆心角为120°和240°；设收集板的长度为l，根据几何关系得
因为区域Ⅱ磁场磁感应强度也为B，故r=R
解得
（3）正对O1点射向区域Ⅰ的电子在区域I 内做
圆周运动，运动的轨道半径等于圆形磁
场的半径R，电子从O 点沿y 轴负方向射出，速度大小为v，运动轨迹如下图。设y 轴正
向为正，经时间△t，由动量定理得：
所以
设题中乙图图像与x 轴围成的面积为S，则
在0~R 间，
解得电子经过点（R，-kR）时沿y 轴负方向分速度
0~R 全程洛伦兹力不做功，速率不变。可知电子经过点（R，-kR）时沿x 方向分速度
在R~2R 间，电子沿y 轴负方向分速度由0 增大到v，沿x 方向分速度由v 减小到0，电子
在轴负方向的位移与0~R 间的相同，之后重复运动，故该电子轨迹上横坐标为4R 的点的
纵坐标为-4kR。
29．（2025·重庆·三模）如图所示，平面直角坐标系第一象限存在沿y 轴正方向的匀强电场。
距离原点O 为L 处有一个与y 轴平行且足够长的荧光屏，荧光屏与x 轴相交于Q 点。y 轴
左侧存在垂直平面向里的匀强磁场。一重力可忽略，比荷大小为k 的负粒子以速度
。
从y 轴负方向上的P 点（
）水平向左射入磁场，经磁场、电场后进入无场区的
第四象限并最终打到荧光屏上M 点（未画出）。若磁场的磁感应强度
，电场强
度
，求
(1)该粒子从射入磁场到打在荧光屏上的时间；
(2)OP 为多少时，M 点距Q 点的距离最大并求出该最大值。
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）由
可得
磁场中做半个圆周运动用时
电场中水平方向匀速运动，则用时
故
（2）设粒子进入第四象限时速度与x 轴正向夹角为
，M 点距Q 点距离为d。粒子在一
象限做平抛运动的水平位移为x，竖直位移为y。
粒子在第四象限做匀速直线运动有
又有
故
粒子在第一象限有
，
得到
将其代入上式得
由二次函数知当
时d 有最大值
此时
，故
30．（2025·重庆·三模）如图所示，空间直角坐标系Oxyz（z 轴未画出，正方向垂直于纸面向
外）中，xOy 平面内半径为R 的圆形区域与y 轴相切于O 点，圆心在
处，区域内的匀
强磁场沿z 轴正方向，磁感应强度为
，
区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿
x 轴正方向，电场强度为E，磁感应强度为
。xOy 平面的第三象限内有一平行于x 轴、
中点在
处的线状粒子发射器，
与
的连线平行于y 轴。粒子发射器可在宽度为
的范围内沿y 轴正方向发射质量为m，电荷量为
，速度大小可调的同种粒
子，已知
，
。则下列说法正确的是（ ）
A．若发射速度大小
，从
点发出的粒子，飞出圆形磁场时速度偏转了30°
B．若发射速度大小
，在磁场
中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置
到
的距离为
C．若发射速度大小
，则从发射器最左端发射的粒子进入
区域后，运动轨迹上
与x 轴距离最远点的z 坐标为
D．若发射速度大小
，则从发射器最左端发射的粒子进入
区域后，运动轨迹
上与x 轴距离最远点的z 坐标为
【答案】C
【详解】A．当
时，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子运动轨迹如图甲所示
由几何关系得
解得
飞出圆形磁场时速度偏转了
B．根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
设从C 点进，D 点出的粒子在磁场中运动时间最长，则CD 为圆形磁场的直径，粒子运动
轨迹如图乙所示
可知
由几何关系得
解得
由几何关系得：该粒子的入射位置到
的距离
故B 错误；
CD．由题意得粒子在圆形磁场中的运动半径
发射器最左端发射的粒子运动轨迹如图丙所示
设该粒子运动到O 点时其速度方向与x 轴正方向夹角为
，由几何关系
可得
根据速度的分解有
，
由题意得：该粒子的运动可视为沿x 轴正方向的匀加速直线运动和垂直于x 轴平面内的匀
速圆周运动的合运动
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子运动周期为
粒子轨迹上的点与x 轴的最远距离为
故C 正确，D 错误。
故选C。
31．（2025·福建莆田·三模）如图所示，直角三角形
区域内有垂直三角形平面的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，
边长为
，在
边中点
在三角
形平面内沿与
边夹角为
的方向向磁场内射入质量为
、电荷量为
的各种不同速
度的带正电粒子，有的粒子能沿垂直
边的方向射出磁场，不计粒子的重力，则下列
判断正确的是（ ）
A．磁场方向垂直三角形平面向里
B．当粒子速度大小为
时，粒子的运动轨迹与
边相切
C．
边有粒子射出的区域长度接近
D．
边有粒子射出的区域长度接近
【答案】BC
【详解】A．由于射出的粒子有的能沿垂直
边射出，由左手定则可知磁场方向一定垂
直三角形平面向外，A 项错误；
B．设粒子射出速度大小为
时，轨迹与
相切，设轨迹半径为
，根据几何关系，
解得
根据牛顿第二定律，
解得
B 项正确；
CD．由几何关系可知，
边有粒子射出区域长度接近
，AC 边有粒子射出区
域长度接近
C 项正确，D 项错误。
故选BC。
32．（2025·山西临汾·三模）如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线
上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P 为直线Oa 上一点，从P 点
可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为
+q，已知Pa = L，ab = cd = L，
，不计粒子的重力和粒子间的作用力。
求：
(1)粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小；
(2)bc 边发光的区域长度。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b 点，粒子转过了270°角。所以
最长时间
粒子在磁场中做圆周运动的周期
所以最长时间
对应粒子运动的轨道半径r = L
由
得
可得对应粒子的速度大小
（2）粒子到达bc 边的右边界为粒子轨迹恰好在d 点与cd 相切，射到bc 边的e 点。此时
粒子的轨迹半径
则
所以bc 边发光的区域长度
33．（2025·福建宁德·三模）如图所示，
表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重
力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可
知粒子（ ）
A．带正电荷
B．沿
方向运动
C．穿过金属板后，轨迹半径变小
D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大
【答案】C
【详解】ABC．带电粒子穿过金属板后速度减小，根据牛顿第二定律
可得
可知轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是
，粒子所受的洛伦兹
力均指向圆心，在e 点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AB 错误，
C 正确；
D．穿过金属板后速度减小，根据
可知，洛伦兹力减小，故D 错误。
故选C。
34．（2025·山西晋中·三模）极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南
北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：
为地
球球心，
为地球半径，将地磁场在半径为
到
之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁
感应强度大小为
。磁场边缘A 处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率
向各个方
向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，
不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1 方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表
面。若和AO 方向成
角向上方（图中2 方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若高能粒子仍以速率v 射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相
切而出，和AO 方向成
角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此日角范
围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A 点该速度垂直和过切点
与O 点连线延长线交于F 点，则F 点为圆心，如图所示
由图中几何关系可得
，
则有
故选A。
35．（2025·山西晋中·三模）如图所示，在长方体真空腔内存在竖直向下的匀强电场，电场强
度大小为
。一带电量为
、质量为
的粒子以速度
从左侧沿中心线水平射入，打
在右侧探测屏上时的速度偏转角为
（未知）。已知空腔的长度为
，宽度和高度足够
大，不计粒子的重力，求：
(1)速度偏转角
的正切值；
(2)保持上述条件不变，在空腔内再加一竖直向下的匀强磁场，为使该粒子的运动轨迹与
探测屏相切，求所加磁场的磁感应强度大小B，以及与探测屏相切时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
；
【详解】（1）粒子在空腔内运动的时间为
加速度为
打在探测屏上的竖直分速度
速度偏转角的正切
解得
（2）由于磁场的作用，粒子在水平面内将以
做匀速圆周运动
粒子轨迹与探测屏相切，则有
解得
竖直方向粒子在电场作用下做匀加速运动
竖直分运动与圆周运动的时间相等
故
则与探测屏相切时的速度大小为
36．（2025·河北邢台·三模）如图所示，质量为m、带电荷量为
的粒子在M 处由静止经加
速电场加速，后沿图中半径为R 的圆弧虚线通过静电分析器，静电分析器通道内有均匀
辐向分布的电场，圆弧虚线所在处场强大小处处为E，然后从面ABCD 中心
处垂直进
入棱长为L 的正方体
静电收集区域。粒子重力不计。
(1)求加速电场的电压U；
(2)若静电收集区域只存在与AB 方向平行的匀强电场，粒子恰好能打在面
的中心
位置，求匀强电场的场强的大小
；
(3)若该区域存在与AB 方向平行的匀强电场和匀强磁场，粒子恰好能打在C 点位置，求匀
强磁场的磁感强度的大小
和匀强电场的电场强度的大小
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在电场中做加速直线运动，根据动能定理有
粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，根据电场力提供向心力可得
解得
联立解得加速电场的电压
（2）若静电收集区域只存在与AB 方向平行的匀强电场，粒子进入静电收集区域后做类
平抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有
竖直方向做匀速直线运动，则有
由（1）可知
联立解得
（3）若该区域存在与AB 方向平行的匀强电场和匀强磁场，粒子进入静电收集区域以后，
运动分解为水平向右的匀加速直线运动和平行于
平面的匀速圆周运动，则有
其中
，解得
沿水平向右方向有
加速度
运动时间
其中
联立可得
37．（2025·湖南长沙·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第二象限内放置有如图所示
的两块极板，极板厚度不计，第一、四象限有垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小
为
，第三象限也有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
。已知
两极板间距为4d，极板的长度为d，现给极板加上电压，从上极板的左端位置以沿x 轴正
方向的初速度
发射一电荷量为+q、质量为m 的带正电粒子，粒子从y=2d 处进入磁场。
不计粒子的重力，
，求：
(1)上极板的电性及电压U 的大小；
(2)若在极板间再加一垂直纸面向里匀强磁场
，则粒子在极板间经过多长时间
竖直方向速度大小是水平方向速度大小的
；
(3)若有一线状粒子源放置在y 轴2d≤y≤4d 区域水平向右发射速度为
与题中相同的粒子
进入磁场，且所有粒子能够始终在磁场中运动，现用一平行x 轴的挡板去遮挡粒子，要
在磁场区域内挡住所有粒子，挡板长度的最小值为多少。
【答案】(1)正电，
(2)
(3)
【详解】（1）粒子向下偏转，上极板带正电
在电场中运动水平方向
竖直方向做匀加速运动
根据牛顿第二定律，有
联立可得
（2）令
解得
根据配速法可将粒子的速度分解为水平向右
和水平向左
，即粒子在极板间运动可
看作以
水平向右的匀速直线运动，及速度为
的匀速圆周运动圆周运动的周期为
半径
设转过θ 角度，竖直方向速度大小是水平方向速度大小的
，竖直方向
水平方向
则有
解得
或
即θ 为37°、90°、270°或323°
当θ=90°时，水平位移
即粒子已经离开极板，故只有θ=37°符合题意，
（3）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
半径分别为
，
由轨迹分析可知若挡板在磁场
中，挡板长度
同理可得若挡板在磁场
中，挡板长度
因
，则
可得
故挡板的最小长度为
38．（2025·河南新乡·三模）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，
竖直面内存在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。Ⅰ区域有水平向右宽度为L＝10cm 的匀强电场，场
强大小为
；Ⅱ区域有垂直纸面向外的匀强磁场，Ⅲ区域有垂直纸面向里
的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为1T 和2T。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子（不计重力）从Ⅰ区域左边界上的a 点由静止释放，经电场
加速后进入Ⅱ区域中。
(1)若粒子能进入Ⅲ区域，求Ⅱ区域的宽度需要满足的条件；
(2)若Ⅱ区域宽度为8cm，且粒子沿水平方向射出Ⅲ区域，求Ⅲ区域的宽度。
【答案】(1)小于10cm
(2)
【详解】（1）如图1
粒子在Ⅰ区受电场力加速运动，由动能定理得
粒子在Ⅱ区域做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
设Ⅱ区域宽度为
，若粒子能进入Ⅲ区域，则需
联立解得Ⅱ区域宽度
应小于10cm
（2）如图2
粒子在Ⅲ区域做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
设Ⅲ区域宽度为
，因为粒子在Ⅲ区域中水平飞出，则∠bOc＝∠cpd
由粒子运动中的几何关系可得
解得Ⅲ区域宽度为
39．（2025·河南郑州·三模）图甲是洛伦兹力演示仪，其简化模型如图乙所示。励磁线圈能在
以O 点为圆心、半径为R 的玻璃泡内产生垂直于纸面的匀强磁场。圆心O 正下方
处
的P 点固定一电子枪，能水平向左射出一定速率的电子。当磁感应强度大小为
时，电
子做圆周运动的圆心恰好为O 点。已知电子质量为m，电荷量为e，不考虑出射电子间的
相互作用。
(1)判断匀强磁场的方向，并求出电子初速度的大小；
(2)将匀强磁场反向，并调整其大小，使电子恰好垂直打到玻璃泡上，求此时电子做匀速
圆周运动的半径及匀强磁场磁感应强度的大小。
【答案】(1)垂直于纸面向里；
(2)
，
【详解】（1）由左手定则可知，磁场垂直于纸面向里；设粒子做匀速圆周运动的半径为
，由题意可知
根据牛顿第二定律有
联立解得
（2）画出粒子轨迹过程图，如图所示
设粒子做匀速圆周运动的半径为
，根据几何关系可得
解得
根据牛顿第二定律有
联立解得
40．（2025·吉林长春·三模）如图，在空间直角坐标系
中存在磁感应强度大小为
的
匀强磁场，磁场沿
轴正方向，在
处有一垂直
轴足够大的接收屏。原点
处有一
粒子源，仅在
平面内向各个方向发射速度大小为
、质量为
、电荷量为
的正电
粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用和接收屏累积电荷产生的影响。
(1)求粒子运动的半径
和周期
。
(2)若在磁场区再加一个沿
轴正方向电场强度大小为
的匀强电场（未画出），求
粒子打到接收屏上
坐标最大值和最小值两点的空间坐标。
(3)若粒子源只向
轴负方向发射该种粒子，粒子在磁场中运动时始终受到与速度大小成
正比、方向相反的阻力，比例系数为
。粒子速度第一次沿
轴正方向时的位置设为
点（未画出），已知
点的
坐标为
，求
点的空间坐标和粒子在
点的速度大小
。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）由牛顿第二定律
解得
根据周期公式
解得
（2）粒子沿
轴方向做初速度为零、加速度大小为
的匀加速直线运动，由牛顿第二定
律
解得
粒子在垂直
轴的平面上做半径为
的匀速圆周运动如图初速度方向沿
轴负方向的粒
子打在接收屏上前运动的时间最长
对应
坐标有最大值
由几何知识可得该点
坐标为
，其对应的坐标为
初速度沿
轴正方向偏向
轴负方向
角方向的粒子打在接收屏前运动的时间最短
由几何知识可得该点
坐标为0，对应
坐标有最小值
其对应的坐标为
（3）粒子从
点至
点过程，沿
轴方向由动量定理有
即
解得
所以
点坐标为
沿
轴方向由动量定理有
即
解得
41．（2025·辽宁·三模）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内存在沿
轴正方向、
电场强度大小为
的匀强电场，第四象限内以
为圆心、半径为
的圆形区
域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为
、带电荷量为
的粒子，从
点沿
轴正方向以一定的速度射入匀强电场，经匀强电场偏转后恰好从
点进入匀强磁场，从
点离开匀强磁场，不计粒子受到的重力，求：
(1)粒子射入匀强电场时的速度大小
；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在匀强电场中的加速度大小为
，粒
子做类平抛运动的时间为，则有水平方向
竖直方向
由牛顿第二定律可得
联立解得
（2）设粒子进入磁场时的速度大小为
，速度方向与
轴的夹角为
，粒子在磁场中做
匀速圆周运动的轨迹半径为
，结合几何关系有
，
根据运动的分解
洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
联立解得
洛伦兹力与现代科技
42．（2025·辽宁鞍山·三模）碳-14
是碳-12
的一种同位素。如图甲是一个粒子检测
装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳-14 与碳-12 原子核（初速
度不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN 进入通道，该通道的上下表面是
内半径为R、外半径为3R 的半圆环，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于半圆环，正对着
通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速
电压为U0时，碳-12 原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则下列说法正确的是（
）
A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外
B．碳-14 原子核和碳-12 原子核均击中照相底片，碳-14 原子核在磁场中的运动时间一定
比在磁场中的运动时间小
C．加速电压为U0时，碳-14 原子核所击中的位置比碳-12 原子核更靠近圆心
D．当加速电压在
范围内，碳-12 原子核全部打在内圆环上
【答案】AD
【详解】A．由图可知，碳原子核受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，磁场的方向
垂直纸面向外，故A 正确；
B．碳原子核在磁场中运动的时间为
由于碳-14 原子核的质量数大于碳-12 原子核的质量数，所以碳-14 原子核在磁场中的运动
时间一定比在磁场中的运动时间大，故B 错误；
C．由题意知，加速电压为U0时，有
所以
原子核进入磁场中有
所以
由此可知，碳-12 原子核所击中的位置比碳-14 原子核更靠近圆心，故C 错误；
D．若碳-12 原子核全部打在内圆环上，则最小圆周运动半径为
，
最大圆周运动半径为
，
解得
，
当加速电压在
范围内，碳-12 原子核全部打在内圆环上，故D 正确。
故选AD。
43．（2025·河北石家庄·三模）回旋加速器利用高频交变电压使带电粒子在电场中不断加速。
如图所示，回旋加速器两“D”型盒内存在垂直“D”型盒的匀强磁场，磁场的磁感应强度
为B，所加速粒子的比荷为k，高频电源由LC 振荡电路产生，LC 振荡电路中电感线圈的
自感系数为L。为使回旋加速器正常工作，LC 振荡电路中的电容器的电容C 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据洛伦兹力提供向心力有
被加速粒子在磁场中的运动周期为
粒子在磁场中的运动周期等于LC 振荡电路的周期，即
解得
故选A。
44．（2025·辽宁·三模）在现代科学研究的微观粒子探测实验中，常常需要精确控制带电粒子
的运动轨迹以实现对其各种物理性质的研究。在这个特定的实验装置里，有一套用于控
制电子运动的系统。如图所示，宽度为
的虚线框内有垂直纸面方向的匀强磁场，
匀强磁场左右边界竖直。电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N 之间的加速电
场加速后以一定的速度水平射出并进入偏转磁场。速度方向改变
角后从右边界离开
磁场最终打在荧光屏上，已知加速电压为
，电子的比荷
、
电子重力不计
(1)求偏转磁场的磁感应强度B；
(2)若撤去磁场，在虚线框中加一沿竖直方向的匀强偏转电场，从右边界离开电场也可使
电子偏转
角最终打在荧光屏上，求所加电场的电场强度大小E
【答案】(1)
，垂直纸面向外
(2)
【详解】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度B 方向垂直纸面向外，电子在
磁场中的轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力
由几何关系可得
电子经过电场加速过程，根据动能定理可得
联立解得
带入数据解得
（2）电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为t，则有
离开电场时，假设沿电场方向的分速度为v，则有
又
联立可得
