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专题05 空间向量与立体几何
2 大考点概览
考点01 空间几何体的表面积与体积
考点02 空间向量及其运算
1．（2026·福建福州·三模）已知圆台的上下底面面积分别为
､
S
′ ,S，且S = 4 S
′，圆台的高为3，轴截面面
积为9，则该圆台的体积为（ ）
A．7π
4
B．7π
C．14π
D．28π
2．（2026·福建龙岩·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球O的球
面上，则该圆锥与球O的体积的比值为__________．
3．（2026·福建三明·二模）已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，AB = 4 ❑√3，BC =8，侧面PAB 为正三
角形且垂直于底面ABCD，M 为四棱锥P−ABCD内切球表面上的一点，则点M 到直线CD 距离的最小值
为（ ）
A．2❑√10−2
B．2❑√10−1
C．4 ❑√3−2
D．4 ❑√3−1
4．（2026·福建泉州·模拟预测）某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两
种西瓜的售价分别为80 元/个、10 元/个，且半径之比为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西
瓜的性价比，则（ ）
A．大西瓜的性价比高
B．小西瓜的性价比高
C．大、小西瓜的性价比一样
D．大、小西瓜的性价比的高低不确定
5．（2026·福建宁德·二模）（多选）已知圆台形状的容器的上下底面半径分别为
､
1，2，母线长为2.若容
器壁厚度忽略不计，则（ ）
A．该容器的侧面积为6π
B．该容器的容积为14π
3
C．该容器可以整体放入表面积为16π的球形容器内
D．能将7 个半径为1
2
的球平铺放入该容器内
6．（2026·福建漳州·三模）已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为❑√10，则该圆台的体
积为___________．
7．（2026·福建莆田·模拟预测）（多选）如图，木块Ω的底面ABCD为矩形，EF //平面ABCD，四边形
考点1
空间几何体的表面积与体积
ABFE，CDEF是两个全等的等腰梯形，EF = FB = BC = 1
2 AB =2dm，则（ ）
A．DE⊥BF
B．Ω的体积为10 ❑√2
3
dm
3
C．沿Ω的表面从A经过棱BF到C作任意线条，则该线条长度的最小值为❑√13+ ❑√3dm
D．将Ω加工成一个球，则这个球半径的最大值为
❑√6−❑√2
2
dm
8．（2026·福建·二模）已知三棱锥P−ABC的体积为9 ❑√3，
∠BAC =90° , AB = AC =3 ❑√2, PB = PC =6．若该三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面
积为（ ）
A．24π
B．48π
C．96π
D．108π
9．（2026·福建厦门·二模）在△ABC中，C =90
°, AB =2,BC =1，以△ABC一边BC所在直线为轴，其余
两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为______.
10．（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD 的各顶点均在球O的球面上，平面ABC ⊥平面
BCD ,BC =2，若△ABC与△BCD的外接圆面积之和为8π，则球O的半径为（ ）
A．❑√5
B．❑√6
C．❑√7
D．3
11．（2026·福建漳州·二模）空间中有四个平行平面，相邻两个平面的距离从上到下依次为1，2，3，则在
各平面上分别取一点构成的正四面体的体积为（ ）
A．❑√21
B．7 ❑√21
C．❑√14
D．7 ❑√14
12．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PA，PB为圆锥的母线，
∠AOB =120°，且二面角P−AB−O为60°.若△PAB的面积等于6 ❑√3，则圆锥的体积为______.
13．（2026·福建三明·二模）（多选）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P（与点C1不
重合）是正方体侧面BC C1B1内的动点，下列说法正确的是（ ）
A．平面A1BD⊥平面APC1
B．若动点P 到直线AB 的距离等于它到直线C C1的距离，则点P 的轨迹为抛物线的一部分
C．当⃗BP = 1
3⃗PC1时，过点P 作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为16π
9
D．线段AD 绕A D1
旋转一周的过程中，AD 与A C1
所成角的正切值的取值范围为[3−2❑√2,3+2❑√2)
14．（2026·福建南平·二模）（多选）如图，在棱长为1 的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放
置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为α，则下列结论正
确的是（ ）
A．平面α截正方体所得截面不可能为五边形
B．平面α截正方体所得截面面积的最大值是
❑√6
4
C．两球半径之和为定值3−❑√3
2
D．两球体积之和的最大值是(9−5 ❑√3)π
2
15．（2026·福建福州·三模）在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD , AB ∥ CD，
PA = AB =2,BC =CD = DA =1.
考点2
空间向量中及其应用
(1)证明：平面PBD⊥平面PAD；
(2)若M为棱PB上一点（不含端点），直线DC与平面MAD所成角的正弦值为
❑√21
7
，求PM
PB
.
16．（2026·福建龙岩·三模）已知三棱锥P−ABC，△ABC与△PAB都是边长为2的等边三角形．
(1)若PC = ❑√6，证明：平面ABP⊥平面ABC；
(2)若二面角P−AB−C的大小为π
3
，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
17．（2026·福建南平·二模）如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形BC C1B1，BC是圆柱底面的直径，O为
底面圆心，A A1为圆柱的一条母线，E为C C1的中点，且AB = AC = A A1=2.
(1)求证：平面AOE⊥平面AO B1；
(2)求平面A B1 E与平面B1OE夹角的大小.
18．（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
PA = AB =2，点M为正方形ABCD内部（不含边界）的一点，且|MD|+|MA|= 4 ，则直线PM与直线
BC所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．(0, 4 ❑√41
41 )
B．(0, 2❑√41
41 )
C．(
4 ❑√41
41
,
❑√2
2 )
D．(
2❑√41
41
,
❑√2
2 )
19．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在斜三棱柱ABC −A1B1C1中，A A1⊥AB，AB⊥BC，
A A1= BC =2，AB =1，D，E分别为AB，A1C的中点．
(1)证明：DE //平面BC C1B1；
(2)若DE = ❑√3，求平面ADE与平面AC C1 A1的夹角的余弦值．
20．（2026·福建漳州·三模）如图，在四棱锥S−OABC中，OB∩AC = D，点H在线段OD上，
∠SBO =30
∘，SB = 4 , OH = HD = DB = ❑√3，平面SOB⊥平面OABC．
(1)证明：SH ⊥AC；
(2)过点D作平面α，使得α//平面SAB，α ∩平面SAH =l，请作出直线l，写出画法并证明；
(3)若∠ASB =∠CSB=60
∘，求当AC取最小值时，二面角A −SB−C的正弦值．
21．（2026·福建三明·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA ⊥PD，
PA = PD，底面ABCD 为等腰梯形，且AD // BC，AD =2BC =2 AB = 4，⃗AF =t⃗AP(0≤t ≤1)，且四面
体AFDC 的体积为4 ❑√3
9
．
(1)求t 的值；
(2)若E 为AD 的中点，过点E，F 的平面α与AC 平行，交PC 于点G，求平面ABG 与平面ABCD 夹角的余
弦值．
22．（2026·福建漳州·三模）（多选）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为4 , M , N分别是AD ,C C1
的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形
B．△MPN可能是钝角三角形
C．PM + PN的最小值大于2❑√14
D．PM + PN的最小值小于❑√57
23．（2026·福建泉州·模拟预测）如图1，在梯形ABCD中，AD // BC，∠BAD =30°，BC =1，
BP⊥AD于P，BP =2，将△ABP沿BP翻折至△A
′ BP，使得A
′C = ❑√17，如图2.
(1)证明：A
′ P⊥平面BCDP；
(2)已知四棱锥A
′−BCDP的体积为10 ❑√3
3
，若点Q在线段A
′C上，且二面角Q−PD−B的大小为60°，求
直线A
′ D与平面QPD所成角的正弦值.
24．（2026·福建宁德·二模）如图1，平面四边形ABCD中，
AB⊥AD ,BC ⊥CD ,BC =CD ,BD =2 AD =2❑√2.
(1)求AC的长；
(2)将△ABD沿BD翻折到△PBD，连接CP，如图2.当CP = ❑√6时，求直线CP与平面PBD所成角的正弦值.
25．（2026·福建厦门·模拟预测）在梯形ABCD 中，AB //CD，AD⊥AB，E 为CD 上一点，
AB = BC =CE =2 DE =2，将△AED 沿AE 所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M 满足⃗
CM ⋅⃗EA =5，在翻折过程中，二面角M −BC −E的正弦值的最大值为______.
26．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥A1C，
AB = BC =CA = A A1=2.过点A1，C 的平面α与直线AB 垂直.
(1)作出α截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由；
(2)已知B1C = ❑√10，求BC1
与平面AC B1
所成角的正弦值.
27．（2026·福建厦门·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD 为菱形，
∠ADC =60° , AB = PB = PD = 4．
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)已知PA =2，点E满足⃗BE = λ⃗AP ,0< λ<1,BD //平面PEC．
（i）求λ；
（ii）求平面PBD 与平面PEC 夹角的余弦值．
28．（2026·福建·二模）已知PA ⊥平面γ，垂足为A，直线AC ⊂γ，B , D是γ内的动点，且B , D始终在
AC的两侧．
(1)若AB⊥AD，证明：△PBD是锐角三角形；
(2)若PA = AC =3，Q是线段CP上靠近C的三等分点，∠CQB =∠CQD =π
3
．
（i）证明：二面角B−AP−D为锐角；
（ii）直线PB , PD与γ所成的角分别为α , β，记θ =max {α , β)．若平面QBD⊥γ，且△PBD不是任何一
个长方体的截面，求tan
2θ的最小值．
29．（2026·福建莆田·二模）（多选）已知正三棱台ABC −A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且
AB =3 A1B1=3，点P满足⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗A A1
，则（ ）
A．当P为棱B1C1的中点时，x + y + z = 4
3
B．⃗A1C1⋅⃗A1B =1
C．若直线BP//平面AC C1 A1，则x =1
D．若A A1= ❑√2，则球O的表面积为18π
