文档文本内容
二项式定理
考点1
专题05 计数原理与概率统计
5 大考点概览
考点01 二项式定理
考点02 排列组合
考点03 统计
考点04 概率
考点05 随机变量及其分布
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·二模）试估计
（ ）（精确到0.0001）
A．1.1462
B．1.1463
C．1.1045
D．1.1046
【答案】D
【详解】
，
因为
，所以第五项及之后均可忽略不计，
所以
.
2．（2026·安徽合肥·二模）
被7 除所得的余数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】依题意，
，
而
是7 的整数倍，
所以
被7 除所得的余数为1.
二、填空题
3．（2026·安徽淮南·二模）已知
的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最
小项的系数为________.
【答案】
【分析】根据二项式系数和得
，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项
系数即可.
【详解】由题设
，则二项式为
，对应展开式为
，
，
所以系数最小项在为奇数时出现，且
为其中最大的情况，
由
，故
时对应系数最小，
此时系数最小项的系数为
.
4．（2026·安徽马鞍山·二模）
的展开式中，
的系数为______．（用数字作答）
【答案】120
【详解】从个因式中依次选择
个
，
个
，个
，
则结果为
，
故
的系数为
5．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量
，且
，若
（
为有理数），则
________．
【答案】2
【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定
，即可得.
【详解】由正态分布的对称性知
，则
，所以
，
由
的展开式通项为
，
排列组合
考点2
由题设
，
，
所以
.
一、单选题
1．（2026·安徽淮北·二模）已知集合
，则满足
的函数
的个数为（ ）
A．12
B．15
C．24
D．30
【答案】B
【详解】
集合
，
函数
的定义域是
，其函数值
均取自集合
；
，且
，
至少为2；
，且
，
至多为4；
的可能取值为2，3，4.
①当
时,
，即
，且
，
只能取1，共1 种选择；
，即
，且
，
只能取1，共1 种选择；
，即
，且
，
可以取2，3，4，共3 种选择；
根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为
.
②当
时,
，即
，且
，
可以取1，2，共2 种选择；
对于
，需满足
；
若
，则
只能取1，共1 种选择；
若
，则
可以取1，2，共2 种选择；
和
的组合共有1+2=3 种情况；
，即
，且
，
可以取3，4，共2 种选择；
根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为
.
③当
时,
，即
，且
，
可以取1，2，3，共3 种选择；
对于
，需满足
；
若
，则
只能取1，共1 种选择；
若
，则
可以取1，2，共2 种选择；
若
，则
可以取1，2，3，共3 种选择；
和
的组合共有1+2+3=6 种情况；
，即
，且
，
可以取4，共1 种选择；
根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为
.
综上所述，满足条件的函数总个数为
.
二、填空题
2．（2026·安徽安庆·二模）有正整数
，满足
，且
，现从以上6 个正整数中任选3 个组成三位数，则组成的不同三位数个数
有___________．
【答案】13
【详解】若
，则
无解；
若
，则
，所以
，
因为5 为质数，又
，所以
，解得
，
若1 的个数小于等于3，
由
，可得
，
又
，代入得
，所以
，
因为
，所以可得
，
所以
，所以
的值只能为4，5，6.
若
，只能是
，
则
，解得
，
若
，因5 是质数，无法分解为两个大于等于2 的整数的乘积，故舍去；
若
，只能是
，
则
，解得
，
综上所述：若1 的个数小于等于3，该方程无正整数解，
所以6 个数字为1，1，1，1，2，6.
从中任选3 个排成三位数，取3 个1，有1 种排法；
取2 个1，取1 个2 或1 个6，有
种排法；
统计
考点3
取1，2，6，有
种排法；
所以组成的不同三位数个数有
.
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·二模）已知某班8 位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，
53，67，41，则这组数据的（ ）
A．极差为28
B．平均数为60
C．第三四分位数是69
D．方差为90
【答案】D
【详解】将8 位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71，
对于A，极差为
，错误；
对于B，平均数为
，错误；
对于C，
，所以第三四分位数为
，错误；
对于D，方差为
，
正确.
二、多选题
2．（2026·安徽合肥·二模）某社区有150 名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人
只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表：
兴趣班年
龄
园艺
班
摄影
班
书画
班
合
计
12
5
10
27
20
15
25
60
18
10
35
63
合计
50
30
70
150
从这150 人中随机抽取1 人，设事件
为“抽到的人年龄位于区间
”，事件
为“抽到的
人来自园艺班”，则（ ）
A．事件
与事件
互斥
B．事件
与事件
相互独立
C．60 岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28 人
D．这150 人年龄平均数的估计值为60 岁
【答案】BC
【分析】利用互斥事件定义可得A；利用相互独立事件的性质，验证
与
是否
相等即可得B；估算60 岁以上的老年人参加园艺班的人数即可得C；计算平均数即可得D.
【详解】对A：由园艺班中有年龄位于区间
的人，故事件
与事件
可以同时发生，
故事件
与事件
不互斥，故A 错误；
对B：
，
，
，
有
，则
，
故事件
与事件
相互独立，故B 正确；
对C：
，故60 岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28 人，故C 正确；
对D：
，故D 错误.
3．（2026·安徽淮南·二模）已知一组大小不等的数据
的平均数为
，方差为
，标
准差为，极差为
，若
，则下列关于数据
的结论正确的是（ ）
A．平均数为
B．方差为
C．标准差为
D．极差
为
【答案】AB
【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案.
【详解】因为一组大小不等的数据
的平均数为
，而
，所以数据
的平均数为
，所以A 正确；
数据
的方差为
，由方差的性质可得数据
的方差为
，所以B 正确；
标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据
的标准差为
，所以C
错误；
极差为最大值减最小值，所以原数据极差
，新数据的极差应为
，所以D 错误.
4．（2026·安徽马鞍山·二模）一组数据
的平均数为
，将这组数据分别加上它们
的平均数，得到一组新数据
，则新数据与原数据相比（ ）
A．极差相同
B．平均数相同
C．方差相同
D．中位数相同
【答案】AC
【分析】利用每个数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，逐一对比原数据与新数据的四
个统计量即可得到结果.
【详解】设新数据为
，逐个分析选项：
对于选项A： 原极差
，新极差
，极
差相同，A 正确；
选项B： 原平均数为
新平均数
，平均数不同，B
错误；
选项C： 原方差
，新方差：
，方差相同，C 正确；
选项D： 原中位数为
，新中位数为
，因
，故中位数不同，D 错误.
三、填空题
5．（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025 年上半年的月降水量，数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
月降水量/mm
58
48
53
46
56
56
则该地区上半年月降水量的
分位数为___________．
【答案】56
【详解】将6 个降水量数据从小到大排列： 46， 48， 53， 56， 56， 58，则样本容量为
.
根据百分位数计算规则，可得
因为
不是整数，
所以向上取整为5，因此75%分位数为排序后第5 个数据，即56.
四、解答题
6．（2026·安徽滁州·二模）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100
位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷
调查.经统计这100 位居民的网购消费金额均在区间
内，按
，
，
，
，
，
分成6 组，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额不少于20 千元的人称为网购迷，补全下面的2×2 列联表，并判断有多大把握认
为“是否为网购迷与性别有关系”；
网购人群类别
性别
合计
男
女
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
(3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统
计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
类别
网购总次数
支付宝支付次
数
银行卡支付次
数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为
，
求
的数学期望.
附：
.
0.1
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)17.5
(2)表格见解析，有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的求解方法计算即可；
（2）先补全列联表，再计算
值，并结合独立性检验思想求解即可；
（3）先根据频率估计概率得甲使用支付宝的概率为
，乙使用支付宝的概率为
，再求对应取值
的概率，列分布列，求期望即可.
【详解】（1）解：依题意，因为
，
而
，
所以中位数位于
内，所以中位数为
.
（2）解：依题意，消费金额不少于20 千元的频率为
，
所以网购迷人数为
，非网购迷的人数为
.
所以补全
列联表如下.
网购人群类别
性别
合计
男
女
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100
所以
.
因为
，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
（3）（3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为
，乙使用支付宝的概率为
，
甲、乙两人在下周内各自网购2 次，两人采用支付宝支付的次数之和
的所有可能的取值为0，1，
2，3，4.
，
.
，
，
.
所以随机变量
的分布列为
0
1
2
3
4
所以
的数学期望
.
7．（2026·安徽池州·二模）某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，
设日期顺序变量x（
为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表：
日期顺序
（天）
1
2
3
4
5
步数y（千
步）
6.2
6.8
7.6
8.4
9.0
(1)求y 关于x 的经验回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7 天的步数能否达到一万步.
附：经验回归方程
，其中
，
【答案】(1)
(2)预测该同学第7 天的步数能达到一万步
【分析】（1）利用最小二乘估计可求得经验回归方程；
（2）令
，代入回归方程求解即可.
【详解】（1）
，
概率
考点4
所以
又
过
，所以
所以
关于
的经验回归方程为
（2）令
，得
（千步）
因为10.48 千步等于1.048 万步
所以由（1）中的回归方程，预测该同学第7 天的步数能达到一万步
一、单选题
1．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写
上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件
表示向下的面上有
数字1，事件
表示向下的面上有数字2，事件
表示向下的面上有数字3，则（ ）
A．事件
与事件
互斥
B．事件
与事件
相互独立
C．事件
与事件
互斥
D．事件
与事件
相互独立
【答案】B
【详解】由题意可得
，
，
，
对于A，
表示向下的面同时有数字1 和2，即面4，所以
，故A 错误；
对于B，
的情况只有面4，故
，
又
，满足
，故B 正确；
对于C，
表示同时有数字1、2 和3，即面4，所以
，故C 错误；
对于D，
表示向下的面有数字2 或3，包含面2、面3、面4，共3 个面，
故
，
表示向下的面有数字1，且有数字2 或3，即面4，
故
，所以
，
不满足独立事件定义，故D 错误．
二、解答题
2．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025 年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的
羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有
甲、乙、丙等8 支球队参赛，现将这8 支球队随机分为A，B 两组，每组4 支球队.
(1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率；
(2)在甲、乙、丙中至少有2 支球队分在A 组的条件下，求甲、乙、丙均分在A 组的概率.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）从参赛的8 支球队随机选4 支进入A 组，其余4 支进入B 组，共有
种分组情
况，
甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为
.
设事件E 为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则
，
即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为
.
（2）解法一：记事件M 为“甲、乙、丙中至少有2 支球队分在A 组”，事件N 为“甲、乙、丙均
分在A 组”，
则
，
，
所以
，
故在甲、乙、丙中至少有2 支球队分在A 组的条件下，甲、乙、丙均分在A 组的概率为
.
解法二：记事件M 为“甲、乙、丙中有2 支球队分在A 组”，事件N 为“甲、乙、丙均分在A
组”，
随机变量及其分布
考点5
则
，
故在甲、乙、丙中至少有2 支球队分在A 组的条件下，甲、乙、丙均分在A 组的概率为
.
一、单选题
1．（2026·安徽淮南·二模）设
，随机变量
的分布列为
0
1
则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上单调递减
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】C
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质判断即可.
【详解】
.
.
结合二次函数的性质可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，故AB 错误.
最小值为
，无最大值，故C 正确，D 错误.
2．（2026·安徽合肥·二模）已知随机变量
的所有可能取值为0，1，2，且
，则
（ ）
A．0.48
B．0.54
C．0.76
D．0.92
【答案】C
【分析】利用期望和方差公式求解即可.
【详解】设
,则
，所以
，解得：
，
所以
，
则
3．（2026·安徽池州·二模）现有1 个白球、3 个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6 的
抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则
（ ）
1
2
3
4
5
6
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由已知白球编号
的可能取值为
，
（白球在4 号，3 个黑球从左侧3 个抽屉选）
（白球在5 号，3 个黑球从左侧4 个抽屉选）
（白球在6 号，3 个黑球从左侧5 个抽屉选）
所以
二、解答题
4．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两
人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1 分，负者积0 分，没有平局．乒乓球比赛结束后，
再进行抽奖，积分为k 的人有k 次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总
得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为
，每次抽奖每人
中奖的概率均为
，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1 分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2 的概率为
，求
的最小值；
(3)若
，记事件A 为“甲在乒乓球比赛中积3 分”，事件B 为“甲在游戏中获得奖励”，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用独立事件概率公式求解；
（2）用独立事件概率公式表示
，转化为一元二次函数的最值问题；
（3）使用条件概率公式与全概率公式求解.
【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1 分，则甲与乙、丙、丁三人的3 场比赛中，胜1 场，负两场，
故概率为
；
（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1 积分，抽奖1 次中1 次；
或甲在乒乓球比赛中获得2 积分，抽奖两次中0 次，故所求概率为
；
故当
时，
的最小值为
（3）乒乓球比赛中在事件
发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0 或1，1，1
则A 发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3 人，故
，
记事件“甲在乒乓球比赛中积3 分，乙、丙、丁各得1 分”为
，
则
，
，
事件“甲在乒乓球比赛中积3 分，另3 人得分为2，1，0 分”为
，
则
，
且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3 次抽奖至少中一次”，或者“甲3 次抽奖一次都未中，而
得两分的人至多抽中一次”，故
由全概率公式，
所以
5．（2026·安徽滁州·二模）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原
点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为
，
向左移动的概率为
．经过5 步移动后，质点的位置坐标记为随机变量
．
(1)当
时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下
的值；
(2)该数学社团用计算机进行了100 次独立实验，记录最终位置
的频数分布如下：
1
3
5
频数
9
16
23
2
7
14
11
①求
的平均数；
②用该样本的平均数估计随机变量
的均值，求
的值（保留两位小数）．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）利用公式计算条件概率；
（2）由频数分布计算平均值，再结合二项分布的期望公式求
的值.
【详解】（1）设事件
“质点只在非负半轴上移动”，事件
“
”，
，
，所以
．
另解：
所以
．
（2）①样本的均值
．
②设向右移动次数为
，
，
，
所以
，所以
．
又由①知
，所以
，得
．
6．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解
市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.
平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，
市高峰时段
乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为
，
，
，
且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为
，
，
.从
市高峰时段所有订单中随机
抽取一单.
(1)求该订单乘客接受动态调价的概率；
(2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）设事件
表示“出行目的为工作通勤”，
表示“出行目的为接驳交通枢纽”，
表示“出行目的为其他”，事件
表示“乘客接受动态调价”.
由题意得：
，
，
.
，
，
.
由全概率公式：
.代入计算：
.
故该订单乘客接受动态调价的概率为
.
（2）由贝叶斯公式：
.代入计算：
.
故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为
.
7．（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有
个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球
有
个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出.
(1)求第二次取出的球是红球的概率；
(2)若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率；
(3)记随机变量
为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，
是
的数学期望，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合知识，即可得答案.
（2）根据全概率公式，分析求解，即可得答案.
（3）先取得X 的取值，求出每个取值的概率，根据期望公式，即可得证.
【详解】（1）记第二次取出的球是红球为事件A，将n 个红球的安排情况作为样本空间，
则样本点总数为
，
事件A 表示第二次取出红球，则其他
个红球在剩余的
个位置中随机安排，
则事件A 包含的样本点数为
，
则
.
（2）记最后一次取出的是黄球为事件B，最后一次取出是蓝球为事件C，
显然事件B、C 互斥，记红球最先被取完为事件D，则
，
当事件B 发生时，只需考虑取出所有蓝球之前红球被取完，
则
，
当事件C 发生时，只需考虑取出所有黄球之前红球被取完，
则
，
所以
.
（3）由题意得X 的取值为
，
则随机变量X 的分布列为
，
所以随机变量X 的期望
，
所以
8．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决
赛以抢答的形式回答问题，一共回答3 道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的
概率均为
，每道题甲回答正确的概率均为
，每道题乙回答正确的概率均为
.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1 分，回答错误，对方得1
分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立.
(1)若
，
，设比赛结束甲的得分为
，求
；
(2)为增加比赛的趣味性，拟由3 道题增加到5 道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？
请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分别求出每一道题甲得一分的概率，再结合二项分布期望值公式计算可得结果；
（2）求出3 道题和5 道题时甲获胜的概率表达式，再利用作差法比较两概率的大小可得出结论.
【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为
，
每一道题乙抢到并回答错误的概率为
，
所以每一题甲得一分的概率均为
；
若
，
，可得
,
又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以
，
可得
.
（2）设回答3 道题时甲获胜的概率为
，回答5 道题时甲获胜的概率为
，
则可知
；
回答5 道题时甲获胜的情况有三种：前3 题甲均得分；前3 题甲有2 题得分，增加的两道题中甲至
少有1 题得分；前3 题甲有1 题得分，增加的两道题甲2 题都得分；
则有
,
所以
；
易知
，
于是当
时，
，即
，甲获胜的概率增大，
当
时，
，即
，甲、乙获胜的概率相同，
当
时，
，即
，甲获胜的概率减小，
综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大.
9．（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋
手赢机器人，则棋手得1 分；若棋手输给机器人，则棋手得
分；若为平局，则棋手不得分；比
赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1 分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机
器人的概率为
，棋手输给机器人的概率为
，平局的概率为
．每局比赛的结果互不影响．
(1)求三局比赛结束后棋手得2 分的概率；
(2)在比赛过程中，棋手每赢1 局，获奖金1000 元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结
束后棋手获得的奖金为
元，求
的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)
0
1000
2000
3000
【分析】（1）要使三局比赛结束后棋手得2 分，则棋手在三局比赛中赢了2 局，平了1 局，进而
结合独立重复试验的概率公式求解即可；
（2）由题意，
的可能取值为
，分别求出每个值对应的概率，即可得到分布列，
再结合期望的公式求解即可.
【详解】（1）由题意，要使三局比赛结束后棋手得2 分，
则棋手在三局比赛中赢了2 局，平了1 局，
所以三局比赛结束后棋手得2 分的概率为
.
（2）由题意，
的可能取值为
，
而棋手每局赢机器人的概率为
，输给机器人或平局的概率为
，
则
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1000
2000
3000
则
.
10．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种
拥有
两个亚种．设从该区域中随机捕获1 个
物种
的个体，该个体为
种的概率为
，为了估计该区域中物种
的个体总数，研究
人员从该区域中随机捕获3 个个体，设3 个个体中
种的数目为
，再将捕获的个体全部放回，作
为一次试验结果，重复上述试验共6 次．记第次捕获时
种的数目为
．统计结果如下表：
1
2
3
4
5
6
3
3
2
3
1
3
(1)求
的分布列；
(2)设函数
，已知该区域中
种的个体数为180．（将使
取得最大值的
值作为
的估计值）
（i）求
的估计值；
（ii）据（i）估计该区域中物种
的个体总数．
【答案】(1)
0
1
2
3
(2)（i）
；（ii）1080.
【分析】（1）根据给定条件，求出
的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列.
（2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出
，再利用导数求出最大值点；（ii）利用
（i）的结论，结合古典概率公式求出估计值.
【详解】（1）依题意，
的所有可取值为
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
（2）（i）由统计表，得
，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，
取得最大值，
所以
.
（ii）设该区域中物种
的个体总数
，由该区域中
种个体数为180，
得该区域中
种的数目为
，
由（i）得从该区域中随机捕获1 个个体，该个体为
种概率的估计值
，
因此
，解得
，所以估计该区域中物种
的个体总数为1080.
