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专题05 空间向量与立体几何
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
B
B
C
D
B
AD
8．
9．
10．
题号
1
2
答案
D
A
3．
．
4．8
1．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，可得
平面
，据此可得线线垂直；
（2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点
的坐标，再由点到直线的距离公式求
解即可.
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理可得：
，
则
，所以有
，则
考点1
空间几何体的表面积与体积
考点2
点线面的位置关系
考点3
求线面角二面角与点到平面的距离
由平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
.
（2）取
中点分别为
，连接
由
为正三角形知，
，
结合（1）中
平面
，由
，可知
平面
，则
两两垂直，
如图所示，以
为原点，
分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
设
，则
，且
，
可得
由
，解得
或
（舍去），
则
，且
故点
到直线
的距离
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，判断出点
的位置并求出点
坐标，结合线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）证明：在直角梯形
中，
，
，则
，
.
在
中，
，
，所以
，
.
因为
，所以
.
在
中，
，
，
则
.
又
，所以
.
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
（2）取
的中点为
，连接PO. 因为
，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
所以
，解得
.
以点
为原点，分别以
，
所在直线分别为
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
.
，
.
设
，因为点
是三棱锥
的外接球的球心，则点
应在
平面上，所以
.
又
，
，
所以
，解得
，所以
.
所以
.
设
是平面
的一个法向量，
则
，即
，取
，则
，
，
所以
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值是
.
3．(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）通过面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理即可；
（2）通过建立空间直角坐标系求出平面
与平面
的法向量，再代入公式即可.
【详解】（1）如图，取
的中点
，因为
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）
因为
为
的中点，
，所以
．
过点
作
交
于点
，由
平面
平面
，可得
，则
．
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
．
设平面
的法向量为
，则
令
，得
．设平面
的法向量为
，
则
令
，得
．
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
4．(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值；
（3）首先计算得
，再计算体积表达式，最后根据
范围即可得到答案.
【详解】（1）延长
交
的延长线于点，则
为交线，
因为
为
的中点，
，所以
为
的中点，所以
，
因为侧面
是等边三角形，所以
，
所以
，所以
，
所以所求角为
．
（2）取
的中点
，连接
，由
，则
，
分别以
所在直线为
轴和
轴，
以过
垂直于底面
的直线为
轴建立空间直角坐标系，
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
．
设直线
与平面
所成角为
，
则
．
，
令
，则
，
令
，结合的取值范围可知
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的最大值为
，故
.
（3）由题意可知
，所以点
为
的中点，
设
，
因为
，
则
，
又因为
，
所以
，解得
．
即
，
因为
，所以
．
5．(1)证明见解析
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直即可得证；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的角；
（ii）设
，利用向量运算求出
，再由
求解.
【详解】（1）连接
和
交于点
，连接
.
∵底面
为菱形，
为
的中点，且
又
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，又
平面
，
.
（2）因为
，所以
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
.
是直线
与平面
所成角，即
.
在菱形
中，
，
.
，即
.
（i）如图，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，
平面
的法向量为
，
因此
，
所求平面
与平面
所成角的余弦值为
（ii）平面
交线段
于点
，设
，
则
，
因为
，即
，
即
，解得
.
6．(1)直线
与平面
平行，理由见解析
(2)
【分析】（1）设
与
交于点
，由
，线线平行判定线面平行；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系，计算平面
的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与
法向量的余弦的绝对值计算即可.
【详解】（1）直线
与平面
平行，
理由如下：如图，设
与
交于点
，连接
，
，
为
上靠近点
的三等分点，
为
上靠近点
的三等分点，
在
中，
，
平面
平面
平面
；
（2）
，
平面
，则以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，
，
从而
，
，
点
的坐标为
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
则
，令
，可得
，
平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
.
7．(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.
（2）以点
为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面
的法向量，再利
用线面角的向量法求解.
【详解】（1）由
是以
为斜边的等腰直角三角形，得
，由
平面
，
平面
，得
，而
平面
，
则
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）得
，而
平面
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
由
平面
，得直线
与平面
所成的角为
，且
，则
，
而
，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行证明线线平行，再利用线线平行证明线面平行，最后证明四边形
是平
行四边形，从而得到
是
的中位线即可得证；
（2）法一：求出关键点的坐标和平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解，法二：作出符合题意的
图形，找到二面角的平面角，再利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）如图，取
的中点为
由
三点确定一个平面，交
于点
，
由
平面
，
平面
，
平面
平面
，可得
，
又因为
为
的中点，所以
，
又因为
，所以
，
由
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
，
又因为
，所以
，
则四边形
是平行四边形，故
，
又因为
，
是
的中点.，
所以
，结合
，
可得
是
的中位线，即
为
中点;
（2）法一：由
，
可得
，连接
，可得四边形
是正方形，
即可得
，
，所以
，所以
，即
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，如图建立空间直角坐标系，
令
，则
，
即
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，所以
，
由于
平面
，所以平面
的法向量可以取
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面
的夹角余弦值为
.
法二：如图，延长
，
相交于
，
连接
，由
，
，
，可得
，
可得四边形
是正方形，即可得
，
所以
，
.
又因为
平面
，所以
，设
，则
，
在
中，
，
，
在
中.
，
，
又
，所以
为正三角形.
取
的中点
，连接
，
，
由三线合一性质得
，
，
在
中
，得到
，
，
在
中，
，
，则
，
.
所以
为平面
与平面
的夹角，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
故平面
与平面
的夹角余弦值为
.
9．(1)证明见解析
(2)存在，点
为棱
上靠近点
的三等分点.
【分析】（1）取棱
的中点
，连接
，证明四边形
为平行四边形，得
，再由线
面平行的判定定理即可得证；
（2）如图建系，取线段
的中点为
，连接
，易得
平面
，可得平面
的一个法向量，
设
，根据点的坐标求出平面
的一个法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程求
解即得.
【详解】（1）如图1，取棱
的中点
，连接
，因
为棱
的中点，则
．
又因为
，
所以
，则四边形
为平行四边形，所以
．
又因为
平面
平面
，所以
平面
.
（2）如图2，以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
则
．
则
，
取线段
的中点为
，连接
.因
平面
，
平面
，则
，
又
，则
，因
，
平面
，则
平面
，
因
，则
，可取平面
的一个法向量为
.
假设在棱
上存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
，
设
，则
.
设
为平面
的一个法向量，
则
，故可取
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
解得
（舍）或
.
此时点
为棱
上靠近点
的三等分点.
10．(1)2
(2)
【分析】（1）由题可得四边形
是菱形，所以
，再证明
，进而得
平面
，
所以点
到平面
的距离为
，得解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）如图，连接
，设
与
相交于点
，再连接
，
因为
是弧
上的两个三等分点，所以
，
又
，所以
与
都是正三角形，
所以
，即四边形
是菱形，所以
，
又因为点在底面
上的射影为
的中点
，
所以
平面
，
由
，得
，即
，而
，所以
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，而
，
平面
，
所以
平面
，垂足为
，
即点
到平面
的距离为
，而
，
所以点
到平面
的距离为2.
（2）取
的中点
，连接
，由（1）可知
两两互相垂直，
故以点
为坐标原点，
的方向分别为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
当
时，可得
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
故
，
因为平面
轴，所以取平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
11．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）线面平行转化为线线平行即可；
（2）建立空间直角坐标系求面
的法向量，代入线面角公式求解；
（3）转化为点到面的距离的比值.
【详解】（1）如图1，设
的中点为
，连接
，
，
分别为
，
的中点，
，
，
又
，
，
且
，
∴四边形
为平行四边形．
．
又
平面
，
平面
，
∴
平面
．
（2）如图2，因为
为等边三角形，
为线段
的中点，
所以
，
又
，
，
，
平面
，
所以
面
，过
作直线
.
以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系
，如图所示．
不妨设
，则
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，
，
．
令
，则
．
则
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
∴直线
与平面
所成的角的正弦值为
；
（3）设点
，
到平面
的距离分别为
，
，
，
.
，
的值
．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
的中点Q，可得四边形EFPQ 为平行四边形，则
，由直线与平面平行的判定
定理证明即可；
（2）取EF 中点O，BC 中点G，可得
平面EFCB，
两两垂直，以O 为原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出
与平面BFP 的法向量
的
坐标，利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）取
的中点Q，连接
,
则有
，且
，又
，且
，
故
，且
，
则四边形EFPQ 为平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，故
平面
．
（2）取EF 中点O，BC 中点G，由平面
平面EFCB，且交线为EF，故
平面EFCB，此时，
两两垂直，以O 为原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则可得
，
，
，
，
由P 为
中点，故
，
则
，
，
，
设平面BFP 的法向量
，
则
，即
，故取
，
故所求角的正弦值为
，
所以直线
与平面BFP 所成的角的正弦值为
．
