文档文本内容
二项式定理
考点1
专题05 计数原理与概率统计
3 大考点概览
考点01 二项式定理
考点02 统计与回归分析
考点03 随机变量及其分布
1．（2026·湖北·一模）已知
，则
（ ）
A．32
B．31
C．
D．1
【答案】C
【详解】令
，则
；
令
，则
，故
.
2．（2026·湖北荆州·一模）
的展开式中的常数项为（ ）
A．60
B．120
C．160
D．240
【答案】D
【详解】共有
个因式，从
个因式中选择
，在剩下的
个因式中选择
，
则
的展开式中的常数项为
.
3．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何
排列，第
行的第个数可以表示为
时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）
首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这
是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2026 行共有2026 个数
B．从第4 行起到第19 行，每一行的第4 个数字之和为
C．第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1
D．去除所有为1 的项，依次构成数列
，则此数列前135 项的和为
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求
解第48 行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，
结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D.
【详解】对于A，第2026 行共有2027 个数，故A 错误，
对于B,由题意可得
,B 正确，
对于C, 第48 行的所有数字之和为
,由于
能被7 整除，
故第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1，C 正确，
对于D,第
行的和为
，
当
时，第
行中去除为1 的项的和为
， 第0 行为1，
故前
行中去除为1 的项的和为
，
故前17 行中去除为1 的项的和为
，
去除所有为1 的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，
可以看成一个首项为0，公差为1 的等差数列，前
行共有
个数，
当
时，
，
因此前17 行中，去掉为1 的项，共有136 项，且第17 行中，去掉为1 的项后，最后一项为
则此数列前135 项的和为
.
4．（2026·湖北十堰·一模）（多选）若
，则（ ）
A．
（
）
B．
C．从
，
，…，
这8 个数中任取2 个，这两个数的积为正数的取法有12 种
D．从
，
，
，…，
这8 个数中任取3 个，这三个数的和等于
，
，
，…，
中某
数的取法有28 种
【答案】ACD
【分析】分析可知
，
，进而列举
.对于A：可知
的最大值为
，
即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；
对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可.
【详解】因为
的展开式的通项为
，
，
则
，
，
统计与回归分析
考点2
可得
依次为
.
对于选项A：因为
的最大值为
，所以
，
，故A 正确；
对于选项B：
，故B 错误；
对于选项C：若两个数的积为正数，则从
任取两项或从
任取两项，
所以不同的取法共有
种，故C 正确；
对于选项D：因为
，共有4 组，
若从
选择一组，再从剩余的数中选择1 个，不同的取法共有
种；
检验可知
，不同的取法共有
种；
综上所述：不同的取法共有
种，故D 正确；
故选：ACD.
1．（2026·湖北十堰·一模）印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显
著竞争优势.某机构调研得到2021—2025 年度中国PCB 市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，
3.84，4.16，4.46，4.71，则这5 个数据的40%分位数是（ ）
A．4.02
B．4.00
C．3.88
D．3.84
【答案】A
【分析】将给定的5 个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得.
【详解】5 个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，
由
，得这5 个数据的40%分位数是
.
故选：A
2．（2026·湖北荆州·一模）某校教学比武活动有7 名评委现场打分，7 名评委对某位选手的评分分
别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为
，s，m，z，根
据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为
，
，
，
，则以下判断一定正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用平均数、标准差、中位数、众数的定义求解.
【详解】选项A，设
，则
，
，无法比较
的大小，故选项A 错误；
选项B，
，
，去掉一个最高分和一个最低分后，数据
的波动性减小，故
，故选项B 正确；
选项C，原数据的中位数
，去掉一个最高分和一个最低分后的新数据的中位数为
，故
，故选项C 正确；
选项D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，
可能不发生变化，故不一定有
，故选项D 错误.
故选：BC.
3．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若事件A 与事件B 相互独立，
，
，则
B．若样本数据
，
，
，
的方差为4，则数据
，
，
，
的方差为8
C．一个盒子中有3 个黑球，2 个白球，1 个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件
“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，
，2024，2025，2026 这2026 个数的上四分位数是507
【答案】AC
【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的
正确性.
【详解】选项A：事件
与
相互独立，则
，
又
，
，则
，选项A 正确；
选项B：设原数据的方差为
，新数据为
，
因为
（
为常数），
则
，选项B 错误；
选项C：记“至少有一个红球”为事件
，“两个球颜色相同”为事件
：
事件
的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)；
事件
的样本点：(黑,黑)、(白,白)；
事件
与
无公共样本点，不可能同时发生，故
与
互斥，选项C 正确；
选项D：对于
个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：
，
根据百分位数定义，位置为小数时，取第
个数作为上四分位数，而非
，因此选
项D 错误.
4．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量
的方差
，期望
，则
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则
全班50 个学生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A 错误；
B：该组数据共8 个数据，又
，
因此上四分位数为第6 个数和第7 个数的平均数，即
，因此B 正确；
C：因为
，由方差
，期望
，可得
，即C 错
误.
D：易知全班50 个学生的数学成绩的平均值为
，
因此方差为
，即D 正确.
5．（2026·湖北荆州·一模）（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，
随机调查了100 名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ）
男生
女生
合计
参加了社会实践活
动
30
40
70
未参加社会实践活
动
20
10
30
合计
50
50
100
附
，其中n＝a＋b＋c＋d；
A．依据小概率值
的
独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关
B．从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
C．随机抽取1 人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为
D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7 人，再从这7 人中抽取2 人，
则这2 人中至少有一名男生的概率为
【答案】BCD
【详解】零假设为
：参加社会实践活动与性别无关联，
则
，
依据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
，故A 错误.
从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
，故B 正确.
记事件
表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则
，
记事件
表示抽到的学生是男生，
，
所以
，故C 正确.
按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7 人，
则7 人中有男生
人，有女生
人，
从这7 人中抽取2 人有
种取法，全为女生的取法有
，
所以从这7 人中抽取2 人全为女生的概率为
，
所以从这7 人中抽取2 人，这2 人中至少有一名男生的概率为
，故D 正确.
6．（2026·湖北·一模）已知
名同学的跳远成绩（单位：
）排序后如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的第
百分位数是________.
【答案】4.05
【详解】因为
，
故第
百分位数为第
个数和第
个数的平均数即为
.
10．（2026·湖北随州·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进
行了5 次试验.得到数据如下表：
零件个数x
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
53
65
71
76
85
根据上表可得经验回归方程
中的
，则经验回归方程
中
___________；
据此估计，加工的零件个数为60 时所花费的时间为__________min.
【答案】 47.5 92.5
【分析】由题中数据可得
，
，根据经验回归直线
必过样本中心点
可
得
，代入
运算求解即可.
【详解】由题意可得
，
，
因为经验回归直线
必过样本中心点
，且
，
则
，解得
，
即
，当
时，则
，
故估计加工的零件个数为60 时,所花费的时间为92.5 min.
7．（2026·湖北孝感·一模）2025 年8 月30 日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省
全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，
推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5 个参赛县的宣传费用
（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：
参赛县
A
B
C
D
E
宣传费用x（万元）
2
3
4
5
6
现场观众人数y（百
人）
19
22
24
27
28
(1)从这5 个参赛县中随机抽取3 个，记现场观众人数不少于24 百人的县的个数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
；
(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测宣传费用为8 万元时的现场观众人数．
附：线性回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
，预测宣传费用8 万元时的现场观众人数为33.2 百人
【分析】（1）得到
的可能取值和对应的概率，从而得到分布列和期望值；
（2）代入公式得到
，从而得到y 关于x 的线性回归方程，当
时，
（百人），从而
得到答案.
【详解】（1）因为观众不少于24 百人的县共有3 个，所以
的可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以分布列如下：
1
2
3
P
所以
；
（2）由题意
，
，
，
，
所以
，
，
所以y 关于x 的线性回归方程为
，
当
时，
（百人），
故预测宣传费用为8 万元时现场观众人数为33.2 百人．
8．（2026·湖北十堰·一模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（
型
与
型）对果实品质的影响.农场随机选取200 株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如
下列联表：
灌溉系统
糖度达
标
糖度不达标
合计
型
62
38
100
型
45
55
100
合计
107
93
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
(2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（
）为
，通过测试得到使
用无土栽培时
的分布列为：
1
1.5
2
0.2
0.5
0.3
使用传统土壤栽培时
的分布列为：
0.8
1.2
1.6
0.4
0.4
0.2
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1 株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产
量相互独立，求抽到的2 株番茄总产量大于
的概率.
附：
，其中
.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有关联；
(2)0.28.
【分析】（1）利用给定列联表中数据求出
的观测值，再与临界值比对即可得解.
（2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
随机变量及其分布
考点3
【详解】（1）零假设为
番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）令使用无土栽培的单株番茄产量为
，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为
，
抽到的2 株番茄总产量为
，则
，
则
，
所以抽到的2 株番茄总产量大于
的概率为0.28.
1．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、
2、4、6 这4 个数字键磨损较大，于是判断密码由这4 个数字组成，且每个数字至少出现1 次.通过
密码锁生产厂家了解得知，该密码是6 位数，且连续输入错误5 次就会被永久锁定.若以上判断和
信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5 次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得
成功破解该密码的概率.
【详解】根据题意，6 位数由4 个数字组成，那么总可能数为
种，
排除“缺少1 个数字”的情况：选1 个数字不出现
，剩余3 个数字组成6 位数，共
种；
补回“缺少2 个数字”的情况（容斥原理）：选2 个数字不出现
，剩余2 个数字组成6 位数，共
种；
排除“缺少3 个数字”的情况：选3 个数字不出现
，剩余1 个数字组成6 位数，共
种；
根据容斥原理，符合条件的密码数为
.
所以能成功破解该密码的概率为
.
故选：B.
2．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000 人参加，若他们的成绩近似服从正态分布
，
则分数在100-120 之间的考生约有（ ）（参考数据：若
，则有
）
A．1360 人
B．1570 人
C．2720 人
D．3410 人
【答案】A
【详解】由成绩
近似服从正态分布
，得
，
则
，则
，
所以分数在100-120 之间的考生约有1360 人.
3．（2026·湖北黄冈·一模）在边长为1 的正方体的8 个顶点中，记任取两点的线段长为
，则
的
期望
为________．
【答案】
【详解】
的所有可能取值为
，
从边长为1 的正方体的8 个顶点中，任取两点可得
条线段，
其中长度为1 的线段有12 条，长度为
的有12 条，长度为
的有4 条，
因此
，
所以
的期望
.
4．（2026·湖北孝感·一模）某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，
编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的
小球编号之和为5 的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中
奖相互独立．记中奖人数为X，则X 的数学期望为______．
【答案】
【分析】先求得每位顾客中奖的概率，由题意
，然后利用二项式的期望公式求解即
可.
【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有
种，和为5 的倍数的情况有：
①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6 共
种；
②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3 共
种，
③三个编号都相同5，5，5 共1 种，所以中奖的概率
，
由题意
，所以X 的数学期望
．
故答案为：
5．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B 两类关卡，
A，B 两类关卡每一次闯关成功的概率分别为
.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B 中的
一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类
推.规定A 类关卡闯关成功一次得20 分，B 类关卡闯关成功一次得10 分，闯关失败均得0 分.每名
活动参与者有3 次闯关机会.
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A 类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40 分则获得现金奖励1000 元，低于40 分则根据分数奖励
其他实物小礼品.若活动参与者有1000 人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
【答案】(1)
(2)96000 元
【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解；
（2）先求解一个参与者得分大于等于40 分的概率，即可根据
，由二项分布的期
望公式求解.
【详解】（1）设事件
表示“第i 次选择的是A”事件
表示“第i 次选择的是B”，
设事件
表示“第i 次闯关成功” ，
，
，
第一次闯关成功，参与者甲选择的是A 类关卡的概率为
；
（2）一个参与者得分大于等于40 分有两类情形：
第一关选择A 成功，第二关继续选择A 也成功；
第一关选择B 失败，第二关换为A 成功，第三关继续选择A 也成功.
故
，
设1000 人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X 元.
由题知，
，
故
，
所以
，
商场支出的现金奖励总金额的期望为96000 元.
6．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则
如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台
家电；活动甲设有4 个不同的选择题、3 个不同的填空题，活动乙设有3 个不同的选择题、2 个不
同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2 个不同的题目作答，若两题都答
对，则享受按2 折购买的优惠，答对一题可享受按5 折购买的优惠，全部答错只能享受按8 折购买
的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填
空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.
(1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；
(2)该款家电原价为a 元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.
【答案】(1)
(2)应该选择参加乙活动，理由见解析
【分析】（1）结合题意，分第1 题抽到选择题、第1 题抽到填空题两种情况求解即可；
（2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可.
【详解】（1）由题意，小黄第1 题抽到选择题的概率为
，第1 题抽到填空题的概率为
，
则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为
.
（2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为
，答对每道填空题的概率均为
，
若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为
，则
的可能取值为
，
所以
，
，
，
则小黄参加甲活动花费金额
的数学期望为
；
若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为
，则
的可能取值为
，
所以
，
，
，
则小黄参加乙活动花费金额
的数学期望为
.
由于
，
所以小黄应该选择参加乙活动.
7．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电
池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．
当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
次时恰好抽
到最后一块干电池的概率为
，求
．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据条件概率公式计算可得；
（2）方法一：先利用乘法概率公式求得第
次恰好抽到第一块干电池，第
次恰好
抽到第二块干电池的概率
，然后利用等比数列求和公式求解即可；方法二：根据题意可得递
推关系
，再用定义法证明等比数列，进而利用等比数列通项公式求解即可.
【详解】（1）记第1，2 次取出的是干电池的概率分别为
，
，
，
，
在第2 次取出的是干电池的条件下第1 次取出的也是干电池的概率为
.
（2）方法一：依题意有抽屉里有3 块充电电池，2 块干电池，
用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5 块不变．
记第
次恰好抽到第一块干电池，
第
次恰好抽到第二块干电池的概率为
，
则
，
∴
.
方法二：“第
次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”可分为两类：
第1 次抽到干电池与第1 次抽到充电电池．
当第1 次抽到充电电池时：
此时“第
次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”的概率为
，
当第1 次抽到干电池时，仅第1 次与第
次抽到干电池：
此时“第
次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”的概率为
，
∴
，
．
，
．
∴
，∴
，
∵
，
∴
是以
为首项
为公比的等比数列，
∴
，
∴
，当
时该式也成立．
故所求概率为
，
．
8．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)1
【分析】（1）根据全概率公式可求
；
（2）根据全概率公式构建递推关系后可得
，利用构造法可证明
是等比数列
且可求
的通项公式；
（3）根据题意可得
，故可求
.
【详解】（1）由题意得
.
（2）当
时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为
，
则没有“黑币”的概率为
，
，
故
.
又
，故
为等比数列,故
,
.
（3）由题
的可能取值为0，1，2，其概率分布列为：
0
1
2
依题意，
即
.于是
故
.
9．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5 个除了颜色外完全相同的小球，其中有1 个红球，2 个黑球，
2 个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的
球的个数为随机变量
.
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
(2)求
的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用条件概率公式求解即可；
（2）求出随机变量
可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即
可.
【详解】（1）记事件
“第二次取出的是黑球”，事件
“第三次取出的是红球”，
事件
可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，
故
，
事件
“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，
可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，
故
，
故所求
.
（2）易知随机变量
可能的取值为
，
当
时，前三次分别取出1 个红球､1 个黑球和1 个白球，
，
当
时，前四次分别取出2 个黑球和2 个白球，
，
当
时，
，
故随机变量
的分布列为：
3
4
5
期望为
.
10．（2026·湖北襄阳·一模）集合
，
，对T 中的两个不同元素
和
，
若存在一个函数f：
满足：
①
，
②
，
③
，
则称：X 与Y 是T 中的一对“友好元素”．
(1)当
时，若
，写出X 对应的一个“友好元素”；
(2)若
和
是T 中的一对“友好元素”，且满足
，规定：随机变量
服从分布
，当
时，试写
出
的分布列及其对应的一对“友好元素”X 与Y；
(3)当
时，若
且满足
，证明：若存在B 使得A 与
B 是T 中的一对“友好元素”，则A 中有且仅有
个0．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
，
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，由题意，写出
满足的条件，写出函数值，即可得答
案.
（2）取
，
，写出函数值，完成分别列，求出期望即可.
（3）根据所给定义，不妨令
，讨论A 中有
个0、
个0 和小于等于
个0 三种情
况，求出B，分析讨论，综合即可得证.
【详解】（1）当
时，由
，需构造
满足
①
，
②
③
，
设
，
，
，
，
，则
满足①②③，
此时
；故
满足题意．
（2）取
，
满足
且满足
，
，
，
，
，
，
的分布列为
0
2
4
6
p
0
，
所以
，
（其他合理答案，同样给分，如：
，
等）．
（3）当
时，若
且满足
，不妨令
①由于
，所以
，
，…，
不可能都是0．
②若A 中有
个0，不妨设
，
，则
，此时
，
根据题意
，则
，
，
但是当
时与
矛盾，所以不成立；
当
时，
，
与
矛盾．
所以A 中不可能有
个0．
③若A 中有
个0，不妨设
，
，则
，其中
，
则存在函数f 使得：
，
，
，
，
，
，
即存在
使得A 与B 是T 中的友好元素．
④若A 中0 的个数小于等于
个，不妨设
，
其中
，
，
，
，
，…，
，则
．
假设存在B，则有两种可能：
第一种：
，其中若
，
，
则
；若
，
，则
，此时，
，
不符合题意；
第二种：
，则
．
即这两种情况都有
，矛盾．
综上可知，当
时，若存在序列B 使得A 与B 为一对“友好元素”，则A 中有
个0．
