文档文本内容
二项式定理
考点1
专题05 计数原理与概率统计
3 大考点概览
考点01 二项式定理
考点02 统计与回归分析
考点03 随机变量及其分布
1．（2026·湖北·一模）已知
，则
（ ）
A．32
B．31
C．
D．1
2．（2026·湖北荆州·一模）
的展开式中的常数项为（ ）
A．60
B．120
C．160
D．240
3．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何
排列，第
行的第个数可以表示为
时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）
首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这
是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2026 行共有2026 个数
B．从第4 行起到第19 行，每一行的第4 个数字之和为
C．第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1
D．去除所有为1 的项，依次构成数列
，则此数列前135 项的和为
统计与回归分析
考点2
4．（2026·湖北十堰·一模）（多选）若
，则（ ）
A．
（
）
B．
C．从
，
，…，
这8 个数中任取2 个，这两个数的积为正数的取法有12 种
D．从
，
，
，…，
这8 个数中任取3 个，这三个数的和等于
，
，
，…，
中某
数的取法有28 种
1．（2026·湖北十堰·一模）印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显
著竞争优势.某机构调研得到2021—2025 年度中国PCB 市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，
3.84，4.16，4.46，4.71，则这5 个数据的40%分位数是（ ）
A．4.02
B．4.00
C．3.88
D．3.84
2．（2026·湖北荆州·一模）某校教学比武活动有7 名评委现场打分，7 名评委对某位选手的评分分
别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为
，s，m，z，根
据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为
，
，
，
，则以下判断一定正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若事件A 与事件B 相互独立，
，
，则
B．若样本数据
，
，
，
的方差为4，则数据
，
，
，
的方差为8
C．一个盒子中有3 个黑球，2 个白球，1 个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件
“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，
，2024，2025，2026 这2026 个数的上四分位数是507
4．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量
的方差
，期望
，则
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则
全班50 个学生的数学成绩的方差为10.8
5．（2026·湖北荆州·一模）（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，
随机调查了100 名学生，得到如下列联表（单位：人）：（ ）
男生
女生
合计
参加了社会实践活
动
30
40
70
未参加社会实践活
动
20
10
30
合计
50
50
100
附
，其中n＝a＋b＋c＋d；
A．依据小概率值
的
独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关
B．从男生中随机抽取1 人，其参加了社会实践活动的概率为
C．随机抽取1 人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为
D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7 人，再从这7 人中抽取2 人，
则这2 人中至少有一名男生的概率为
6．（2026·湖北·一模）已知
名同学的跳远成绩（单位：
）排序后如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的第
百分位数是________.
10．（2026·湖北随州·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进
行了5 次试验.得到数据如下表：
零件个数x
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
53
65
71
76
85
根据上表可得经验回归方程
中的
，则经验回归方程
中
___________；
据此估计，加工的零件个数为60 时所花费的时间为__________min.
7．（2026·湖北孝感·一模）2025 年8 月30 日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省
全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，
推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5 个参赛县的宣传费用
（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：
参赛县
A
B
C
D
E
宣传费用x（万元）
2
3
4
5
6
现场观众人数y（百
人）
19
22
24
27
28
(1)从这5 个参赛县中随机抽取3 个，记现场观众人数不少于24 百人的县的个数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
；
(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测宣传费用为8 万元时的现场观众人数．
附：线性回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
8．（2026·湖北十堰·一模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（
型
与
型）对果实品质的影响.农场随机选取200 株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如
下列联表：
随机变量及其分布
考点3
灌溉系统
糖度达
标
糖度不达标
合计
型
62
38
100
型
45
55
100
合计
107
93
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；
(2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（
）为
，通过测试得到使
用无土栽培时
的分布列为：
1
1.5
2
0.2
0.5
0.3
使用传统土壤栽培时
的分布列为：
0.8
1.2
1.6
0.4
0.4
0.2
从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1 株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产
量相互独立，求抽到的2 株番茄总产量大于
的概率.
附：
，其中
.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
1．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、
2、4、6 这4 个数字键磨损较大，于是判断密码由这4 个数字组成，且每个数字至少出现1 次.通过
密码锁生产厂家了解得知，该密码是6 位数，且连续输入错误5 次就会被永久锁定.若以上判断和
信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5 次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000 人参加，若他们的成绩近似服从正态分布
，
则分数在100-120 之间的考生约有（ ）（参考数据：若
，则有
）
A．1360 人
B．1570 人
C．2720 人
D．3410 人
3．（2026·湖北黄冈·一模）在边长为1 的正方体的8 个顶点中，记任取两点的线段长为
，则
的
期望
为________．
4．（2026·湖北孝感·一模）某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，
编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的
小球编号之和为5 的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中
奖相互独立．记中奖人数为X，则X 的数学期望为______．
5．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B 两类关卡，
A，B 两类关卡每一次闯关成功的概率分别为
.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B 中的
一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类
推.规定A 类关卡闯关成功一次得20 分，B 类关卡闯关成功一次得10 分，闯关失败均得0 分.每名
活动参与者有3 次闯关机会.
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A 类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40 分则获得现金奖励1000 元，低于40 分则根据分数奖励
其他实物小礼品.若活动参与者有1000 人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
6．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则
如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台
家电；活动甲设有4 个不同的选择题、3 个不同的填空题，活动乙设有3 个不同的选择题、2 个不
同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2 个不同的题目作答，若两题都答
对，则享受按2 折购买的优惠，答对一题可享受按5 折购买的优惠，全部答错只能享受按8 折购买
的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填
空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.
(1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；
(2)该款家电原价为a 元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.
7．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电
池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．
当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
次时恰好抽
到最后一块干电池的概率为
，求
．
8．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与
乙钱包）.每个钱包初始配置有1 枚“黑币”（代表高波动性资产）与2 枚“白币”（代表稳定资
产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换
存入对方钱包.记该协议重复执行
次后，甲钱包中“黑币”的数量为
，甲钱包中恰好
有1 枚“黑币”的概率为
.
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(3)求
.
9．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5 个除了颜色外完全相同的小球，其中有1 个红球，2 个黑球，
2 个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的
球的个数为随机变量
.
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
(2)求
的分布列和期望.
10．（2026·湖北襄阳·一模）集合
，
，对T 中的两个不同元素
和
，
若存在一个函数f：
满足：
①
，
②
，
③
，
则称：X 与Y 是T 中的一对“友好元素”．
(1)当
时，若
，写出X 对应的一个“友好元素”；
(2)若
和
是T 中的一对“友好元素”，且满足
，规定：随机变量
服从分布
，当
时，试写
出
的分布列及其对应的一对“友好元素”X 与Y；
(3)当
时，若
且满足
，证明：若存在B 使得A 与
B 是T 中的一对“友好元素”，则A 中有且仅有
个0．
