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专题05 空间向量与立体几何
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
D
AD
ABD
AC
9．
题号
1
2
3
4
5
答案
D
ABC
BD
AD
ABD
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，判断其与
共线，从而得证；
（2）求出
与平面
的法向量的夹角的余弦值，进而求解.
【详解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
，
．
设平面
的法向量为
，
考点1
空间几何体的表面积与体积
考点2
点线面的位置关系
考点3
求线面角二面角与点到平面的距离
则
，即
，
取
，可得
．
所以
，所以
平面
．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线面垂直的判定证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由点到平面距离公式即可求解；
（3）由线面夹角的向量公式即可求解．
【详解】（1）因为
底面
平面ABCD，所以
．
在
和
中，
，即
，
故
，得
，即
，
又
平面
，故
平面PAC．
（2）由已知得，
，
故以AB，AD，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
当
时，
，则
，
设平面HEF 的法向量为
，
则
，故可取
，
所以点P 到平面EFH 的距离
．
（3）由已知得
，
，
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
，
，
设平面AFC 的法向量为
，
则
，故可取
，
又
，取直线PC 的方向向量为
，
设直线PC 与平面AFC 所成的角为
，
则
．
因为
，所以
，当
时，
取最大值
，
又
，此时
取最大值，所以
．
3．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在原正方形中
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
（2）
，
，
就是二面角
的平面角，即
，
如图，以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
作垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标
系，
，
原正方形边长为
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，即
，
是
的中点，
，即
，
设
，即
，三棱锥
的体积为
，
，
,
，
平面
，
，
，
，
，解得
，即
，
平面
过直线
且与直线
平行，
设平面的法向量
，
，
，
，即
，
令
，可得
，
，即
，
平面
在
的平面上，
平面
的法向量
，
平面
与平面
所成角
，
.
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，可证
为平行四边形，可得
，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）作辅助线，可证
面ABCD，法一：建立空间直角坐标系，求出线
的方向向量和平面
的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可；法二：根据线面角的定义，找到直线
与平面ABCD 所成
角即为
，根据三角函数求值即可.
【详解】（1）连接
，设
，连接CF，
因为
且
，则
为平行四边形，可得
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）因为
，可知直线
与平面ABCD 所成角即为直线CF 与平面ABCD 所成角，
连接
，因为
，则
，
设
，连接
，
因为
，且
为BD 中点，则
，
且
，
平面
，则
平面
，
由
平面ABCD，可得平面
平面ABCD，
又因为
，则
，即
，
且平面
平面
，
平面
，所以
面ABCD，
法一：可知MC，MD，
两两垂直，
以点M 为坐标原点，MC，MD，
分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则
，可得
，
且平面ABCD 的法向量为
，
则
，
所以直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
；
法二：过MD 中点
，连接FN，NC，
因为
平面ABCD，
，所以
面ABCD，
直线CF 与平面ABCD 所成角即为
，
可得
，则
，
所以直线
与平面ABCD 所成角的正弦值为
.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，与
交于点
，根据面面垂直的性质定理可得
平面
，进而根据
及面面垂直的判定定理可得结果；（2）以C 为原点建立空间直角坐标系，根据
的坐标及平
面
的法向量可求结果.
【详解】（1）由三棱柱的性质可知四边形
，
均为平行四边形，
所以
，又
，
所以
，
所以
，所以
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
如图，连接
，与
交于点
，连接
，
则
为
的中点，所以
.
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）由三棱柱的性质可知四边形
为平行四边形，
所以
，
，又
，
所以
，
所以
，所以
，
由（1）知
平面
，所以
两两垂直，
以C 为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由
，可得
由
，可得
，
所以
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，可得
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
6．(1)
(2)
【分析】（1）证明出
，
，可知
，证明出
平面
，当
时，求出
的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱
的体积；
（2）以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，过点
且垂直于平面
的直线为
轴建
立空间直角坐标系，分析可知
，根据
可求出点
的坐标，再利用空间向量法可求得直
线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【详解】（1）翻折前，在图1 中，因为四边形
为正方形，所以
，
，
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，且
，
因为
，所以
，
翻折后，在图2 中，
，
，
所以二面角
的平面角为
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
当
时，即
，且
，则
，
所以三棱柱
的体积为
.
（2）因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
过点
且垂直于平面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设点
，其中
，由题意可知
，则
，故
，
，
，
因为
，则
，解得
，
则点
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
因此直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
7．(1)2
(2)
【分析】（1）由题可得四边形
是菱形，所以
，再证明
，进而得
平面
，
所以点
到平面
的距离为
，得解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）如图，连接
，设
与
相交于点
，再连接
，
因为
是弧
上的两个三等分点，所以
，
又
，所以
与
都是正三角形，
所以
，即四边形
是菱形，所以
，
又因为点在底面
上的射影为
的中点
，
所以
平面
，
由
，得
，即
，而
，所以
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，而
，
平面
，
所以
平面
，垂足为
，
即点
到平面
的距离为
，而
，
所以点
到平面
的距离为2.
（2）取
的中点
，连接
，由（1）可知
两两互相垂直，
故以点
为坐标原点，
的方向分别为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
当
时，可得
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
故
，
因为平面
轴，所以取平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
8．(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.
（2）以点
为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面
的法向量，再利
用线面角的向量法求解.
【详解】（1）由
是以
为斜边的等腰直角三角形，得
，由
平面
，
平面
，得
，而
平面
，
则
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）得
，而
平面
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
由
平面
，得直线
与平面
所成的角为
，且
，则
，
而
，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
