文档文本内容
专题06 平面解析几何
6 大考点概览
考点01 直线与圆
考点02 椭圆
考点03 双曲线
考点04 抛物线
考点05 圆锥曲线定值定点问题
考点06 圆锥曲线范围最值问题
1．（2026·吉林白山·一模）直线
与直线
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】将
变形为
，
故两直线的距离为
，
故选：B
2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0 内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC
和BD，则四边形ABCD 的面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】圆内过定点的最长弦是直径，最短的弦是与最长弦垂直的弦.
【详解】圆的标准方程：
5
由题意可得：最长弦为直径：
最短的弦是
则四边形ABCD 的面积为
故选D
考点1
直线与圆
3．（2026·辽宁大连·一模）已知点
是圆
上一点，直线
与圆
相交于
，
两点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设作
的中点
，利用向量的加法法则将
转化为
；结合图形可得
进而即可求解.
【详解】依题意，直线
可化为
，所以直线过定点
；
圆
的圆心为
，半径为
，所以
，所以定点
在圆
的内部；
如上图（左），作
的中点
，则
，所以
；
如上图（中），在
中，
，当
与
重合时取等号，此时
；
如上图（右），在
中，
，当
与
共线时取等号；
所以
.当
与
重合，且
，
共
线时取等号.
故选：D.
4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知
，
，
，动点
满足
，若
，则直线
（
为原点）斜率的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】设
，由题分析可知点
为
的中点，得
，根据
化简可得
，从而可知点
在以
为圆心，
为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点
到直线的距离公式，数形结合即可求解.
【详解】设
，由
，
，得点
为
的中点，则
.
又
，
，则
，
，
因此
，即
，
点
在以
为圆心，
为半径的圆上，
设直线OM（O 为原点）斜率为
，
由图知当直线OM 与圆
相切时，直线OM 的斜率取得最大值，此时
，
则圆心
到直线OM 的距离等于半径
，即
，解得
或
，
所以直线OM（O 为原点）斜率的最大值为
.
故选：B
5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道
与两个固定反光点
和
（
为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P 沿轨道l 移动，激光灯P
发出的光线会同时照射到A 和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个
反光点之间的能量耦合值W，W 定义为
与
的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W 的最小
值为（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积求出
，几何意义为点P 与原点的距离的平方减1，再利用点到直线
的距离公式求解即可.
【详解】设
，坐标原点为
，
则
，
，
即
即
，当
最小时W 最小，
原点到直线
的距离为
，
所以
，
所以
.
6．（2026·吉林长春·一模）过
，
，
三点圆的方程为____________.
【答案】
（或
）（两种形式均正确）
【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解.
【详解】设所求圆的方程为
，
由已知
三点在圆上，
，解得
，
所以圆的方程为
，即
.
故答案为：
（或
）（两种形式均正确）.
7．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽
象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系
中，曲线
就是一条形状优美的曲线，若
是曲线C 上任意一点，
的
最小值为______.
【答案】
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线
的距离求法确定最值.
【详解】曲线
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
作出曲线如图：
到直线
的距离
，
则
即为
，要求得
的最小值，结合曲线的对称性，
只需考虑
，
时的情况；
当
，
时，曲线C 的方程为
，
曲线为圆心为
，半径为
的圆的一部分，
而
到直线
的距离为
，
由圆的性质得曲线C 上一点到直线
的距离最小为
，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若椭圆
的焦距为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由焦距得
，可判断
，由离心率公式计算可得.
【详解】由
得
，
又
，
所以
，
，得
，
所以
．
故选：A．
2．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知
是椭圆
的左右焦点，点
在直线
考点2
椭圆
上，
为等腰三角形，
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合图像，得到
，再在
中，求得
，从而得到
，代入直线
的方
程可得到
，由此可求得椭圆
的离心率.
【详解】由题意知
，
由
为等腰三角形，且
，得
，
过
作
垂直
轴于
，如图所示，
则在
中，
，故
，
，
所以
，即
，代入直线
的方程
，
得
，即
，所以所求的椭圆离心率为
.
故选：B.
3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知椭圆
：
的左焦点为
，不经过
且斜率为
的直
线交
于
，
两点.当
的周长最大时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义证明当直线
过点
时，
的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点
横坐标，根据弦长公式求结论.
【详解】椭圆
的左焦点
的坐标为
，则椭圆的右焦点
的坐标为
，
由椭圆的定义可得
，
，
所以
的周长为
，
又
，所以
，当且仅当
在线段
上时取等号，
所以当直线
过点
时，
的周长最大，
又直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
，
联立
，消
可得
，所以
或
，
所以
，
所以当
的周长最大时，
，
故选：C.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知椭圆
，
，
分别是椭圆C 的左右焦点，O 是
原点，P 是椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
的周长是
B．
时，
的面积是
C．
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则
面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，先得到
，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得
，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设
，易得切线
方程为
，进而得到
，由
结合基本不等式可得
，进而求
解判断即可.
【详解】对于A，由椭圆
知椭圆焦点在
轴上，且
，
则
的周长是
，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义得
，
，
由余弦定理得，
，
则
，即
，则
，
所以
的面积为
，故B 错误；
对于C，由
，则
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于D，先证明：椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
点
在椭圆上，
，
，即
，
， 得
，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
设
，由题意知
的切线斜率存在，则切线方程为
，
令
，得
，令
，得
，即
，
又
，则
，
即
，当且仅当
时等号成立，
则
面积为
，
即
的面积的最小值为
，故D 正确.
5．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知
为椭圆
的右焦点，
为原点，
为
上一点，
，若
，则
的离心率为____________．
【答案】
/
【分析】由条件可知
为直角三角形，结合椭圆定义确定
关系，由此可求离心率.
【详解】取椭圆
的左焦点
，连结
，
在
中，由
，得
，
设
，由
，得
，
由
为直角三角形，得
，则
，
所以椭圆
的离心率是
.
故答案为：
6．（2026·吉林长春·一模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆
的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，若从
的右焦点
发出的光线经过
上的点
和点
反射后，满足
，且
，则
的离心率为______.
【答案】
/
【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则
，
，
即
，
可设
，
，
，
由
，则
，即
，
，在
中，
，
则
.
故答案为：
.
1．（2026·辽宁大连·一模）双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据双曲线标准方程和离心率定义求解.
【详解】假设双曲线实轴长
，虚轴长
，焦距为
，由双曲线
，可知
，故双曲
线离心率
，
故选：A.
2．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以该双曲线的焦点在
轴上，由渐近线方程为
得
，解得
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，半焦距为.
过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，且
的面积为
，则
的离心率为（ ）
考点3
双曲线
A．2
B．2 或
C．2 或
D．2 或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离可求出
，再根据
的面积为
列出相应等式，即可求解.
【详解】由题可得双曲线的渐近线为
，这里不妨取
，即
，
点
到直线
的距离
，
在
中
，
所以
，则
，
又因
，所以
，
化简可得
，等式两边同时除以
，可得
，
即
，解得
或
，
因
，所以
或
.
4．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线
，
，
分别为左、右焦点，过
且倾斜
角为60°的直线与
在第一象限的交点为
，
的平分线与线段
交于点
．若
，则
该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.
【详解】因为直线的
，由角平分线性质定理可知
，
所以
，由双曲线的定义可知
，所以
，
在
中由余弦定理可得
，
即
，整理得
，
两边同除以
可得
，解得
或
（舍去）．
故选：C
5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）双曲线
的左、右焦点分别为
、
，以
为直径的圆与C 在第二象限交于点P，若坐标原点O 到直线
的距离为
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得到
⊥
，作出辅助线，结合双曲线定义求出
，
，由勾股定理得到
方程，求出离心率.
【详解】由题意得
⊥
，取
的中点
，连接
，
因为
为
的中点，所以
，且
，
故
，
即为坐标原点O 到直线
的距离，则
，
所以
，
由双曲线定义可得
，所以
，
又
，由勾股定理得
，
故
，解得
，故离心率为
.
故选：C
6．（2026·三省三校·一模）（多选）已知双曲线
的离心率为
，其左、右焦点
分别为
，
，点
在
的右支上，直线
与
交于另一点
，
的中点为
，
为坐标原点，则下
列说法错误的是（ ）
A．存在点
，使得直线
的斜率为2
B．存在点
，使得
C．存在点
，使得
D．存在点
，使得点
的横坐标为
【答案】ABD
【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用
，求出A 点的横坐标，然后结合条
件检验即可判断；对于C，将
转化成两点间距离公式，求出A 点的横坐标在符合题目范围内即
可判断；对于D，利用点差法得
，进而判断出不存在点
使得等式成立.
【详解】设点
，
，
，
，
由题知离心率
，解得
，
故有
，双曲线C 的渐近线为
，
对于A 选项，如果存在点
，使得直线
的斜率为2，
直线
与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A 错误；
对于B 选项：
，
，若
，即
，
可得
，即：
（①），
而
位于双曲线右支上，其中
，
故有：
，即：
（②），
联立①②两个等式可得：
，又
，此时
，由选项A 可
知不合题意，故B 选项错误；
对于C 选项：由
，即：
，化简得：
，由点
在
的右支
上可知：
，故存在点
，使得
，故C 选项正确；
对于D 选项：设
，
，
，
而
，带入化简得：
，而
，
故
，可知不存在这样的点M 使等式成立，
故不存在点
，使得点
的横坐标为
，故D 选项错误.
下面为证明：
，
的中点为
，根据中点坐标公式可知
，故
，
，故
，
而
，
两点均位于双曲线上，故：
（③）
（④），用③减④得：
，
化简得
，故
，证毕.
故选：ABD
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆
经过双曲线
的焦点，且双曲线
的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线
的离心率为___________.
【答案】
/
【分析】根据题意确定
的值，可求双曲线的离心率.
【详解】圆
的半径为
.
由题意，对双曲线
：
，
，
所以
.
所以双曲线的离心率为：
.
故答案为：
1．（2026·辽宁辽阳·一模）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，若点
到焦点
的距离是点
到
轴距离的5 倍，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义列方程，解方程即得答案.
【详解】点
在抛物线
上，
代入得
，即
，,所以
.
根据抛物线的定义，
，
点
到
轴的距离为
，
由题意得
，所以
，
把
代入，得：
，即
，
又
，则
.
故选：C
2．（2026·三省三校·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为
为抛物线上一点，作
于
点
，若
为等边三角形，则
点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的标准方程先确定F 坐标，结合定义与正三角形的性质计算即可.
【详解】由抛物线的定义可知
，且
，过
作
，
可知D 为
的中点，
考点4
抛物线
则
，即
，所以
点的横坐标为3.
故选：C
3．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知抛物线
的焦点为
，
为
上一动点，A 为一定点，则
正确的有（ ）
A．若
，则点P 的坐标为
B．若
，则
的最小值为6
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C 选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出
的表达式，再利用函数导数求最值.
【详解】对于A，因为焦半径
，所以
，代入
，解得
，
所以
，故A 错误；
对于B，将横坐标5 代入抛物线方程中，得
，所以点A 在抛物线内，
所以
，当且仅当
与
轴平行时取等，故B 正确；
对于C，设
，则
，
所以
，
所以
的最小值为
，C 正确；
对于D，设点M 是x 轴上点A 右侧一点，不妨设P 位于第一象限，
如图所示：
则
，
令
，分母为
，则
，
当
，
，所以
在
上单调递减；
当
，
，所以
在
上单调递增；
所以当
时，
，
此时
，由图知
，所以
，故D 正确.
4．（2026·辽宁大连·一模）（多选）若抛物线
的焦点为
，过
的直线与
相交于
两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】设过
的直线为
，
，直线与抛物线联立方程由韦达定理可得
，
.由
可判断A；由两点间距离公式计算可判断B；由抛物线定义结合取
等条件可判断C；由
，
，计算可判断D.
【详解】由题意可得抛物线的焦点为
，准线
，
设过
的直线为
，
，
则
，
，
，
由韦达定理可得
，
，
，
，
对于A，
，
因为
，
所以
，即
，故A 正确；
对于B，
，
当
，即
时，
有最小值为
，即
，故B 错误；
对于C，过点
作准线的垂线，垂足为
，
由抛物线定义可知，
，
所以
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，此时
，
因为直线与
相交于
两点，若
，则直线与
轴平行，不满足题意，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
5．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知抛物线
的焦点
，
，
为抛物线上的两个
动点，
为线段
的中点，
，则（ ）
A．
B．若
，则点
到准线的距离为4
C．
的最小值为4
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】对于A，根据焦点求出
；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D 延长
交准线于点
，
由抛物线的定义得出
为
的中位线，设
，再利用相似关系即可求出.
【详解】对于A，因为抛物线的焦点
，所以
，得
，故A 正确；
对于B ，分别过点
作准线的垂线，垂足为
，
则由抛物线的定义可知
，
因为
为线段
的中点，所以点
到准线的距离为
，故B 错误；
对于C，因为
，
则当
三点共线时，
有最小值
，故C 正确；
延长
交准线于点
，由
以及抛物线定义可知，
，
则
为
的中位线，
设
，则
，
，
由相似关系可知，
，则
，得
，故
，故D 正确.
故选：ACD
6．（2026·吉林白城·一模）（多选）已知抛物线
的焦点为F，过点
的直线与抛物线C 交
于P，Q 两点，异于P，Q 两点的点
在抛物线C 上，则（ ）
A．
B．直线PA 与AQ 的斜率之和为4
C．
与
面积之比为
D．过点P，Q 作抛物线C 的切线分别交直线AB 于M，N 两点，则点M，N 的横坐标之积为1
【答案】ACD
【分析】常规方法设点与设直线，联立利用韦达定理得到相关定值，计算即可.
【详解】对于A，因为点
在抛物线上，代入抛物线方程得
.
对于B，设直线
，
，则直线PA 与AQ 的斜率之和为
联立
得到
，所以
代入上式得到直线PA 与AQ 的斜率之和为
2，故B 错误.
对于C，首先证明
，等价于证明直线
与
的斜率之和为0，即
所以
，所以
，故C 正确
对于D，直线
，设过点P 作抛物线C 的切线为
，与抛物线联立
，得到
，因为相切，所以
，即
，所以
，所以过点P 作抛物线C 的切线为
，
联立直线
，得到
，同理
，所以
，故D 正确.
7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知点
在圆
：
上，
，
为坐标原点，
动点
满足：在
中，
.则（ ）
A．
的轨迹方程为：
B．
的最小值为2
C．
的最小值是
D．
的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题意作出示意图，设点
坐标，然后表示出
，即可建立方程，求得
的轨迹方程，
判断A；当
为
时，
时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简
结合基本不等式求得
结果判断C；设点
在一象限，化简
，由基本不等式求得
的最值，从而得到角
的范围，判断D；
【详解】由题意可知
，设
，过点P 作
轴于点N，如图：
对于A，则
，
∴
，即
，∴
，A 选项正确；
对于B，
，
，
∴当
点为
时，
的最小值为1，B 选项不正确；
对于C，
，
当且仅当
时，
的最小值是
，C 选项正确；
对于D，由对称性可假设点P 在一象限，则
，
∵
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
∴
，∴
最大值为
，
当AQ 与圆F 相切时，
，∴
的最大值
，
∴
，D 选项错误.
8．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知抛物线
的焦点为
的准线与
轴交于点
，
过
的一条直线与
交于
两点，过
作的垂线，垂足分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积等于
的面积
【答案】ABD
【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线
的方程为
，利用
韦达定理可得
，即可得结果；对于C：整理可得
，进
而分析判断；对于D：整理可得
，
，
结合题意分析证明.
【详解】对于选项A：由几何性质可知
，且
，
可得
，所以
，故A 正确：
对于选项B：设直线
的方程为
，
，
联立方程
，消去y 可得
，
则
，即
，
由条件知
同号，所以
.
则
，可得
，
因为
，则
，
同理可得
，则
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
可得
，
当且仅当
时，
，故C 错误；
对于选项D：设
，
由
，可知直线
关于直线
对称，
所以
.
因为
，
可得
.
则
，
，
所以
的面积等于
的面积，故D 正确.
故选：ABD.
9．（2026·吉林白山·一模）双曲线
的一个焦点在抛物线
的准线上，则抛物线的
标准方程为_______．
【答案】
【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程
，求得
的值，即可求解.
【详解】由双曲线
，可得
，则
，
又由抛物线
的准线的方程为
，
因为双曲线
的一个焦点在抛物线
的准线上，
所以
，解得
，所以抛物线的标准方程为
.
故答案为：
.
10．（2026·辽宁沈阳·一模）抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线准
线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求
的值，再根据抛物线方程求其准线方程.
【详解】对于双曲线：因为
，
，所以
，所以
.
所以双曲线的右焦点坐标为：
.
对于抛物线
，因为焦点为
，即
.
所以其准线方程为：
.
故选：B
11．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知经过定点
的动圆
与直线
相切，记圆心
的轨
迹为曲线
，直线
与曲线
交于不同的两点
，以
分别为切点作曲线
的切线
与
的交点为
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)设点
，连接
，分别与曲线
的另一个交点为
，直线
与
轴相交于
，
连接
，分别与曲线
的另一个交点为
，直线
与
轴相交于
，连接
，分别与曲线
的另一个交点为
，直线
与
轴相交于
，已知
.
（i）求数列
的通项；
（ii）已知
为数列
的前
项和，求使不等式
成立时，
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
的最小值为9.
【分析】（1）根据抛物线的定义得曲线
的方程为
，联立
，写出韦达公式，应用导数
几何意义求切线方程，进而求点
的轨迹方程；
（2）（i）设
，得到
，
，
，进而有
、
、
，可得
，最后应用对数的运算性质、等比数列的定义写出
的通项；（ii）应
用错位相减法求得
，根据不等式能成立求参数值.
【详解】（1）依题意可知，动圆
的圆心
到点
与到直线
的距离相等，
根据抛物线定义可得曲线
是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以曲线
的方程为
，则直线
经过抛物线的焦点，
设
，联立
，整理得
恒成立，
则
，又
可化为
，则
，
所以
，联立
，
消
可得
，
又因为
，所以点
的轨迹方程为
.
（2）
（i）设
，则
，
又
，则
，又
，
所以
，即直线
的方程为
，
整理得
，令
，可得
，①
同理得
的方程为
，令
，可得
，②
又直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，令
，得
，
由①可知，
，
①②可得
.
于是可得
，即
，又因为
，则
，
于是
，即
，即
，
即
，又
，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
则
，所以
，所以
.
（ii）由（i）可知，
，则
，
所以
，
则
，
两式作差可得
所以
.
令
，即
.
当
时，显然不合题意；
当
时，
随着
的增大而增大，
又
，
，
，
则满足不等式
的
的最小值为9.
考点5
圆锥曲线定值定点问题
1．（2026·吉林长春·一模）已知椭圆
的离心率为
，右焦点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过
且倾斜角为
的直线与椭圆相交于
，
两点，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求
的值，可得椭圆方程.
（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去
，可得关于
的一元二次方程，利用韦达定理可得
和
，
进而得
，再利用弦长公式求弦长.
【详解】（1）由椭圆
的离心率为
，
可设
，
，则
，
由右焦点
，可知
，则
，
，
即椭圆的标准方程为
.
（2）如图：
过
且倾斜角为45°的直线的方程为
，
与椭圆
联立可得：
，即
，
可得
，
.
所以
，
所以
.
所以
.
2．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
，点
在C 上.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过
的直线交双曲线C 于M，N 两点（M，N 两点均位于x 轴下方，M 在左，N 在右），线段AM 与线
段
交于点R，若
的面积等于
的面积，求直线MN 的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得
，
再利用
及
求解即可；
（2）设过
的直线为
，由
得点
和点
到直线
的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可.
【详解】（1）方法1：根据题意，得
，解得
，所以双曲线C 的标准方程为
；
方法2：根据题意知
，
，则
，
双曲线C 的标准方程为
；
（2）由题知直线斜率不为0，设过
的直线为
，
因为
，所以
，
即点
和点
到直线
的距离相等，
则有
，解得
（舍），
则直线MN 的方程为
.
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在直角坐标系
中，设
为抛物线
：
（
）的焦点，
为抛物线
上位于第一象限内的点.当
时，有
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与抛物线
的另一个交点为
，点
，
在直线
上的射影分别为点
，
，过点
且与
垂直的直线与直线
相交于点
，证明：
是线段
的中点；
(3)设过定点
的直线与抛物线
交于
，
两点.若
，且
，
两点的横坐标均与点
的横坐标不相等，试判断直线
，
的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，
请求出其取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是定值
【分析】（1）根据条件列出关于
的方程求解即可；
（2）求点
的坐标为
，再利用三点共线可得证；
（3）由韦达定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得
为常数即可.
【详解】（1）由
，得
，
为抛物线
上位于第一象限内的一点，
设
，
，则
，即
，
由题知，
，解得
，
抛物线
的方程为
；
（2）由上可知，点
的坐标为
，
若直线
的斜率不存在，则直线
垂直于
轴，
是
与
轴的交点，显然是
的中点，
若直线
的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线
的方程为
，
联立
整理得
，
设点
，
的坐标分别为
，
，则
，
则
，
的坐标分别为
，
，
直线
的方程为
，于是点
的坐标为
，
，
，
三点在同一直线上，
，
是线段
的中点；
（3）可设
（
），
由上可得
，
，
由
，得
，解得
，
点
的坐标为
，由题意得直线必不垂直于
轴，
可设
，联立
整理得
，
其中
恒成立，
设
，
，
由韦达定理，有
，
，
进而得
，
，
，
综上可得，直线
，
的斜率之积为定值
.
4．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知点
是抛物线
：
的焦点，纵坐标为2 的
点
在
上，以
为圆心、
为半径的圆交
轴于
，
，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过
作直线与抛物线
交于
，
，求
的值．
【答案】(1)
.
(2)2.
【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点
在抛物线上得到
点横坐标与
的关系，最后
根据圆的性质求出
的值即可；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于
的一元二次方程，利用韦达定理得到
，
的
值，最后利用斜率公式求出
即可.
【详解】（1）
设圆的半径为，以
为圆心、
为半径的圆交
轴于
，
，点
在
轴上，
为原点，
所以
.
，
.
点
坐标为
，所以
.
设
点坐标为
，则
，所以
，
所以
，
即
，
解得
，所以抛物线
的方程为：
.
（2）由（1）知
.
设直线的方程为
，
，
.
代入抛物线
方程
，整理得
，
，所以
，所以
，
.
所以
的值为2.
5．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知双曲线
的左顶点
，一条渐近线方
程为
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设双曲线
的右顶点为
，
为直线
上的动点，连接
，
交双曲线于
，
两点异于
，
，记直线
与
轴的交点为
．
①求证：
为定点；
②直线
交直线
于点
，记
，
求证：
为定值．
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程；
（2）①由题设有
为
，
为
，
，
，联立双曲线并应用韦达
定理求得
、
，设
，结合向量共线的坐标表示列方程求参数
值，即可证；②设直线
为
，则
，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线
性关系的坐标表示有
，即可证.
【详解】（1）由题设
，
，则双曲线方程为
．
（2）①设
，且
，
的直线方程为
，
的直线方程为
．
设
，
，联立直线
与双曲线方程有
，
化简得
，由韦达定理知
，
有
，代入直线有
．则
联立直线
与双曲线方程，化简有
，
由韦达定理知
，有
，代入直线有
设
，
，
，
由
得
，
化简得
，可得
，则
．
②设直线
方程为
，则有
联立方程组
，化简得
，则
，
由
知
，由
知
，
．
6．（2026·辽宁大连·一模）已知椭圆
的离心率为
，左右焦点分别为
､
，过
的直线（斜率存在且不为0）与椭圆
相交于
两点，
的周长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过
两点分别作椭圆
的切线
，设与
交点为
.
（i）求点
的轨迹方程；
（ii）记直线
的斜率分别为
，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)（i）
;（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可；
（2）（i）先证明椭圆上一点的切线方程公式，联立切线方程求交点，设方程及
即可
判定M 的轨迹；（ii）利用两点斜率公式结合上问切线方程，联立直线与椭圆根据韦达定理计算即可证明.
【详解】（1）由题意可设
，则
，
根据椭圆的定义可知
的周长为
，
所以
，即椭圆方程为
；
（2）设点
在椭圆
上，易知
，
所以
，
即
，当且仅当
时取得等号，
即椭圆上有且仅有一点
在直线
上，
所以过椭圆上一点
的切线方程为：
；
（i）由上知
，可设l 方程为
，
，
而直线斜率存在且不为0 及椭圆的对称性可知
，
则
分别为
，
联立
可得
是定值，
又作差可得
，整理得
，
即
，所以M 点在定直线
上；
（ii）易知
，
联立
得
，
所以
，
则
，是定值，证毕.
7．（2026·三省三校·一模）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
，
，
均为椭圆
上的动点．
（ⅰ）若直线
、直线
分别过
的左右焦点，记直线
、
、
的斜率分别为
，
，
，当
，
，
成等差数列时，求点
的坐标；
（ⅱ）若△ABC 的重心是坐标原点
，证明：△ABC 的面积是定值．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析；
【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、
的关系列方程组求解
的值，可得椭圆
的方程；
（2）（ⅰ）设
，则根据斜率关系可得
，设
，
，
，
，其中
，
，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由
，
，
成等差数列，得
，结合斜率的坐标运算列方程即可得
的值，从而得所求；（ⅱ）若
△ABC 的重心是坐标原点
，讨论直线
的斜率不存在与存在两种情况，当直线
的斜率存在时结合点
差法得
，从而得直线
的方程，联立直线与椭圆，利用△ABC 的面积公式得
，结合三角
形重心性质即可证得结论.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
，
所以椭圆方程为
；
（2）（ⅰ）设
，则
，
，
所以
，
设
，
，
，
，其中
，
，
由
，消去
，得
，
则
从而
，
同理，可得
，
，
则
，
由
，
，
成等差数列，得
，即
，
解得
，
，或
（舍），
（舍），
所以点
的坐标为
．
（ⅱ）证明：设
，
，
，
当直线
的斜率不存在时，易得
，直线
的方程为
，或
，直线
的方程为
，
将
代入椭圆的方程，可得
，
所以
的面积
，
当直线
的斜率存在时，有
的中点
，则
，
因为
，
在椭圆上，则
，相减得
，
整理得
，所以可得
，
所以直线
的方程为
，
即
，
令
，可得直线
在
轴上的截距为
，则
，
将
代入椭圆的方程，得
，
即
，则
，
，
所以
，
所以
，
又因为
是△ABC 的重心，所以
，
综上，
的面积是定值
．
8．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，已知椭圆
的上、下焦点分别为
，
，左顶点
为
，直线
交椭圆
于另一点
.
(1)若直线
的斜率为
，求椭圆
的离心率；
(2)若椭圆
的焦距为6，且
，求椭圆
的方程和
的面积.
【答案】(1)
(2)椭圆
的方程为
；
.
【分析】（1）根据椭圆的性质结合直线
的斜率为
，得到
，再结合离心率公式即可；
（2）通过
，求得
，再结合
求得
，即可求出椭圆
的方程，最后用三
角形面积公式即可求出.
【详解】（1）由题意得
，
，
又
，
，
.
（2）
椭圆
的焦距为6，
，即
，故
，
，
又
，
，
设
，则
，
，解得
，
，
把
和
代入标准方程，得
，即
，
，
，故椭圆
的方程为
.
又
，点
的横坐标为
，
三角形的高为
，故
.
9．（2026·吉林白城联合体·一模）已知椭圆
的右焦点为
，过F 的直线与E
交于
两点．当A 为E 的上顶点时，
．
(1)求E 的方程；
(2)过点A 作
的垂线，垂足为M．
（ⅰ）证明：直线
过定点N；
（ⅱ）记
的中点为
，
的斜率为
，NB 的斜率为
，证明：
是定值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程；
（2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线
方程，根据椭圆的
对称性可知定点在
轴上，所以令
，借助韦达定理去求
为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，
通过韦达定理的应用即可证明定值.
【详解】（1）记E 的半焦距为c，由右焦点为
可得：
，而
，
故
，于是E 的方程为
．
（2）
（ⅰ）不妨设
，
，
设
，联立
，
有
，可得
，
，
即
，
易知
，直线MB 的斜率为
，
故直线MB 的方程可表示为
，
当
时，显然
，
故
，
所以直线
过定点
．
而当AB 斜率为0 时，直线
就是
轴，也过点
．
综上，直线MB 过定点
．
（ⅱ）由（ⅰ）可得
，所以
，
则
，
所以有
，即
是定值．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线
焦点为
，
，
，
为
抛物线
上的三个动点，且
.
(1)求拋物线
的方程；
(2)过
分别作抛物线的三条切线，分别为，
，
，，
交于点
，
，
交于点E，，
交于
点
.
（i）证明：
的垂心在一条定直线上；
（ii）已知G 点在曲线
（
）上，求△ABC 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见详解
（ii）
【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，建立方程求解参数，从而确定抛物线方程；
（2）（i）通过求导得到切线方程，联立求出交点坐标，并利用垂心定义与斜率关系推导出垂心的纵坐标
为定值，证明其在定直线上；（ii）由切线交点坐标与椭圆条件建立面积表达式，结合二次函数最值求得
三角形面积的最大值.
【详解】（1）抛物线
的焦点坐标为
，已知焦点
，故
，
因此抛物线方程为：
.
考点6
圆锥曲线范围最值问题
（2）（i）由方程
，故在点
处切线方程为：
方程为
，
方程为
方程为
，
联立
故解得
，
同理可得
则过
点与垂直的直线为：
，①
过点
点与
垂直的直线：
，②
①－②可得：
故
的垂心在一定直线
上
（ii）设
，由（i）可知：
的直线方程为
，
将
代入可得：
，
同理可得
，
故
的直线方程为
，
联立直线
与抛物线得
，
由弦长公式
，
为了使
的面积最大，必须保证
处的切线与直线
平行，
所以
，
从而
故
的面积为：
，
当
时，取得最大值
.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
：
左焦点
，离心率为
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程；
（2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解.
【详解】（1）由已知
，解得
，
所以C 的方程为
（2）设MN：
，
，
将直线与椭圆方程联立
，
整理得
，经检验
，
根据韦达定理
，
因为
，所以
，即
，
所以
，整理得
，
将韦达定理代入得
，
去分母后整理得
，解得
，
3．（2026·黑龙江·一模）已知离心率相同的椭圆
与椭圆
分别是
同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆
(1)求
，
(2)设直线l 与椭圆
相交于
两点，与椭圆
相交于
两点，且A 在线段BD 上
（ⅰ）求证：
（ⅱ）若
，
恰为DE 的三等分点，求坐标原点O 到直线l 距离的取值范围
【答案】(1)
，
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【分析】（1）由点
及两椭圆离心率相同进行列式求解即可；
（2）（ⅰ）当斜率k 不存在时，显然成立；当斜率k 存在时，设直线l 为
，
，
，
，
，联立方程得到根与系数的关系，设
中点为
，得
，
得
和Q 重合，则
进行证明；
（ⅱ）分直线斜率k 存在与不存在进行求解．
【详解】（1）由题知点
，
，
又因为两椭圆离心率相同，
因此
，即
，
，
．
（2）由（1）知
，
，
当斜率k 不存在时，显然成立；
当斜率k 存在时，设直线l 为
，
，
，
，
，
联立
得，
，
，韦达定理
，
设
中点为
，则
，
，
，
联立
得，
，
，韦达定理
，
设
中点为
，则
，
，
，
和Q 重合，
，
，
（ⅱ）①当斜率k 不存在时，
，
联立
得，
，
联立
得，
，
所以
，计算得
，所以
．
②当斜率k 存在时，
，
，
，
，
平方化简得，
，
直线
，
所以原点到直线的距离为
，
，
，
，
，
，
综上，坐标原点O 到直线距离的取值范围是
．
4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知椭圆
（
）的左右焦点分别为
，
，离心率
，
且过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线，
过右焦点
，且它们的斜率乘积为
，设，
分别与椭圆交于点C，D 和E，F.若M，N 分
别是线段CD 和EF 的中点.
（ⅰ）直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.
（ⅱ）求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）直线MN 过的定点为
.（ⅱ）
.
【分析】（1）根据题意，列出关于
的方程组，求得
的值，即可求解；
（2）（ⅰ）设直线为
，直线
为
，联立方程组，分别求得
和
，得出直线MN 的方程，进而得到MN 过的定点.
（ⅱ）由MN 过的定点为
，求得
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为椭圆
的离心率
，且过点
，
可得
且
，解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆
，可得
，
设直线的方程为
，
的方程为
，且
，
，
联立方程组
，整理得
，
所以
，
，
因为
为
的中点，所以
，
，
即
，同理可得
，
直线MN 的方程为
，即
，
所以直线MN 过的定点为
.
（ⅱ）由MN 过的定点为
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的面积最大值为
.
