文档文本内容
专题06 平面解析几何
题号
1
2
3
4
答案
D
D
A
D
5．
6．
题号
1
2
3
4
答案
A
ABD
ACD
ACD
5．
6．
7．
题号
1
2
3
4
5
答案
D
A
ABC
ABD
AC
6．
考点1
直线方程与圆的方程
考点2
椭圆方程及其性质
考点3
双曲线方程及其性质
7．(1)
(2)
的垂心在双曲线E 上，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出
，即可得答案.
（2）分别表示出直线
、直线
的方程，两式联立求出
，再代入双曲线的方程验证即可证
明.
（3）求出椭圆
的方程与其“交换椭圆”的方程，设
，根据矩形的性质，可得
的表达式，根
据直线
平行直线
，求出直线PN 的方程，与椭圆W 联立，根据韦达定理，可得N 点坐标，根据弦
长公式，可得
表达式，进而可得面积S 的表达式，根据椭圆W 的参数方程，结合三角函数的性质，即
可得证.
【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知
，即
，
所以设双曲线的方程为
，又因为过点
，
所以
，双曲线E 的标准方程为：
.
（2）
，设直线的方程为：
，设
，
，
联立
可得：
，
直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，
所以
，解得：
，
又因为
，
，
设垂心为
，所以直线
的方程为：
，
又因为
，所以直线
的方程为：
，
联立
可得：
，
则
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，又因为
在
，
所以
，所以
，
又因为：
.故
的垂心在双曲线E 上.
（3）由长轴为
，可得
，由离心率
，得
，
所以
，
不妨设椭圆
的焦点在x 轴，则方程为
，
则椭圆
的“交换椭圆”方程为
，
所以曲线
的方程为
，
因为矩形关于
对称，设
在椭圆W 上
，
则
在“交换椭圆”上
，则
，
又直线
平行直线
，则直线PN 的斜率为1，
所以直线PN 的方程为
，即
，
联立
，得
，
所以
，得
，
所以
，
所以面积
，
因为点P 在椭圆W 上，所以
，
令
，
代入可得
，
取
，此时等号成立，
且当
时，
，
，
，满足
，
故矩形
的面积小于5.20.
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
A
D
B
ABD
7．
8．(1)
考点4
抛物线方程及其性质
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组
，即可求解；
（2）（i）设直线
，
，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间
的关系，得
，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成
到直线
的距离相等，再利用
点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
，
则
，消
得到
，解得
，所以抛物线
的标准方程
.
（2）（i）由题可设
，
，
由
，消
得到
，则
，
，
又
，所以
，令
，得到
，
所以
，又
轴，则
，得到
，
所以
，解得
，则
，所以直线过定点
.
（ii）因为
在抛物线上，则
，解得
，所以
，由（i）知
，
又点
为抛物线
的准线与
轴的交点，则
，又
的面积与
的面积相等，
则
到直线
的距离相等，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
1．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组
，即可求解；
（2）（i）设直线
，
，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间
的关系，得
，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成
到直线
的距离相等，再利用
点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
，
则
，消
得到
，解得
，所以抛物线
的标准方程
.
（2）（i）由题可设
，
，
由
，消
得到
，则
，
，
考点5
圆锥曲线弦长面积问题
又
，所以
，令
，得到
，
所以
，又
轴，则
，得到
，
所以
，解得
，则
，所以直线过定点
.
（ii）因为
在抛物线上，则
，解得
，所以
，由（i）知
，
又点
为抛物线
的准线与
轴的交点，则
，又
的面积与
的面积相等，
则
到直线
的距离相等，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
2．(1)
(2)（ⅰ）
或
；（ⅱ）
.
【分析】（1）法一：利用三角形面积公式求出
，得到
，进而得到
关系，求出离心率；
法二：联立方程组，将
代入，得到关于
的齐次式，进而求出离心率；
（2）（ⅰ）由
得到
和
到直线的距离相等，分两种情况：当
和
在直线同侧时，
，计算
的斜率；当
和
在直线异侧时，直线过
的中点，计算
的斜率；
（ⅱ）先验证斜率为
时，
，不符合题意，舍去；
再分析斜率为
的情况：联立直线与椭圆方程，用韦达定理求出弦长
，由
垂直平分
得
，结合椭圆定义转化得
，进而求出
，得到椭圆方程.
【详解】（1）法一：因为
，
所以
，又
为锐角三角形，所以
，即
为等边三角形，
所以
，即
．
法二：由题意得
消去
得
，
同除以
得
，即
，解得
或
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，故
．
（2）（ⅰ）
，
和
到直线的距离相等，
当
和
在直线同侧时，
，直线的斜率为
；
当
和
在直线异侧时，直线过
的中点
，
直线的斜率
，
综上，直线的斜率为
或
．
（ⅱ）当直线的斜率为
时，设直线的方程为
，
，
，
联立
消去
，得
，
解得
或
所以
，
，
（不合题意，舍去）；
（另解：在
中，
，
，故
，从而
，不合题
意）
当直线的斜率为
时，设直线的方程为
，
，
，
联立
消去
，得
，
故
，
．
，
由（ⅰ）知
垂直平分
，故
，
所以
，故
，
此时椭圆
的方程为
，
综上所述：椭圆
的方程为
．
3．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据离心率、椭圆
之间关系直接求解即可；
（2）（i）由椭圆第三定义和已知斜率关系可证得
，由此可结论；
（ii）由
，结合韦达定理可求得
，得到直线
方程；利用点差法可求得直线
方程，
进而得到
坐标；根据弦长公式、点到直线距离公式可表示出四边形
的面积，由函数值域求法可
求得结果.
【详解】（1）
椭圆
经过点
，
，
设椭圆的半焦距为，则
，
，
，
椭圆
的方程为：
.
（2）（i）连接
，由椭圆方程知：
，
，设
，
，
，
，
，
又
，
，即
，
；
（ii）易知直线
斜率不为
，可设直线
方程为：
，
由
得：
，则
，
，
，
，
，
即
，
，
又
，
，
整理可得：
，解得：
，
，
，
，
，
当
时，
与
轴重合，即
，此时
；
当
时，
，
，则直线
，即
，
由
得：
，
，
则点
到直线
的距离分别为
，
，且
与
异号；
，
，
，
，
且
，即
；
综上所述：的取值范围为
.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求四边形的面积；
④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
4．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）当
在短轴端点时
面积最大，再结合离心率为
与
，可求出椭圆方程；
（2）折叠前直线
与椭圆方程联立求出
坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定
的
空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值；
（3）直线
与椭圆方程联立，利用韦达定理得到
坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写
出
的空间坐标，利用空间向量可算出
到
的距离
，再根据三角形面积公式
结合
基本不等式可求出面积最大值.
【详解】（1）由题意知
，解得
∴椭圆C 的标准方程为
.
（2）翻折前，
所在直线方程为
，
联立
，消
得
，解得
，
不妨设
，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
于是
.
设异面直线
与
所成角为
，
.
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（3）设翻折前
所在直线方程为
，
联立
，消
得
，
设
（令
），
由韦达定理有
.
翻折后，
，
故
，
则
，
所以
，
于是
.
所以
，
令
，有
，于是
.
令
，由对勾函数的性质，
在
上单调递增.
所以当
时
取得最小值，为
，此时
取得最大值，
的最大值为
.此时
，解得
.
所以当直线的斜率
时，
面积取得最大值，最大值为2.
5．(1)
(2)
的垂心在双曲线E 上，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得
，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出
，即可得答案.
（2）分别表示出直线
、直线
的方程，两式联立求出
，再代入双曲线的方程验证即可证
明.
（3）求出椭圆
的方程与其“交换椭圆”的方程，设
，根据矩形的性质，可得
的表达式，根
据直线
平行直线
，求出直线PN 的方程，与椭圆W 联立，根据韦达定理，可得N 点坐标，根据弦
长公式，可得
表达式，进而可得面积S 的表达式，根据椭圆W 的参数方程，结合三角函数的性质，即
可得证.
【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知
，即
，
所以设双曲线的方程为
，又因为过点
，
所以
，双曲线E 的标准方程为：
.
（2）
，设直线的方程为：
，设
，
，
联立
可得：
，
直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，
所以
，解得：
，
又因为
，
，
设垂心为
，所以直线
的方程为：
，
又因为
，所以直线
的方程为：
，
联立
可得：
，
则
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，又因为
在
，
所以
，所以
，
又因为：
.故
的垂心在双曲线E 上.
（3）由长轴为
，可得
，由离心率
，得
，
所以
，
不妨设椭圆
的焦点在x 轴，则方程为
，
则椭圆
的“交换椭圆”方程为
，
所以曲线
的方程为
，
因为矩形关于
对称，设
在椭圆W 上
，
则
在“交换椭圆”上
，则
，
又直线
平行直线
，则直线PN 的斜率为1，
所以直线PN 的方程为
，即
，
联立
，得
，
所以
，得
，
所以
，
所以面积
，
因为点P 在椭圆W 上，所以
，
令
，
代入可得
，
取
，此时等号成立，
且当
时，
，
，
，满足
，
故矩形
的面积小于5.20.
题号
1
答案
ACD
2．(1)
(2)
①证明见解析；②证明见解析，该定值为
【分析】（1）根据题意即可求出
，从而得到答案；
（2）①根据
是
右支上两个不同的点，以及
的定义即可判断；②根据题意得出
均在直线
上，从而得出
为定值.
考点6
圆锥曲线定点定值问题
【详解】（1）由题可知，
解得
，
则双曲线
的方程为
．
（2）①依题意可设直线
的方程为
．
由
可得
，
则
，且
，
，
所以
因为
是
右支上两个不同的点，所以
．
又
，所以
．
则
，
由
，得
，即
，
则
，故
.
②设
．由
和①可得
，
且
则
均在直线
上．
若
，则
，的方程为
，由
可得
，
则
，因此
若
，则的方程可化为
，
由
可得
．
因为
，所以上式可化为
，
此时
，且
，
因此
，
综上所述，
为定值，且该定值为
．
3．(1)
(2)（i）
（ii）是；定值为1，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆定义求
，再根据
关系联立方程求解椭圆方程；
（2）（i）直线
方程为
,跟椭圆方程联立可得
，根据直线
与
直线
的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线
过定点
，再利用韦达定理转化面积，再由
一般不等式求解面积最值；
（ii）求解
和
的垂直平分线方程为
，
，联立两直线方
程可得
，
，即得
，再结合
可得斜率乘积为定值.
【详解】（1）如图所示，因为
为
的右焦点，则
，且椭圆左焦点为
，
所以
,
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，
，
联立
，得
，
，即
，
，
，
因为点
关于
轴的对称点为
，则直线
与直线
的斜率之和为0，
所以
，
即
，即
，
得
，即
，所以直线
过定点
，且
，
所以
，
即
，令
，
，
当且仅当
时，即
时，
面积的最大值为
.
（ii）因为
的垂直平分线方程为
，
即
①，同理
的垂直平分线方程为
②，
+
①②得，
，故
，
-
①②得，
，
所以
，即
，
所以
，故
，
又因为
，故
，
所以直线
与直线
的斜率之积是定值1.
4．(1)
(2)①
时，直线MA，MB 的斜率之积为定值 ；②点N 在定直线
上
【分析】（1）根据已知结合椭圆定义计算得出
进而得出椭圆方程；
（2）①联立直线和椭圆方程，再应用斜率公式计算求解得出定值；
②应用
，代入化简，再分
和
时，分别计算求解.
【详解】（1）由题意可得，
，则
，
故点Q 的轨迹为椭圆，且
，所以
，
则曲线
的方程为
；
（2）①设直线l 的方程为
，点
．
联立
，消y 可得
，
则
，
所以
，
，
所以
，
整理得
，
则当
，即
时，直线MA，MB 的斜率之积为定值；
②设点
，
由直线NA，NT，NB 斜率的倒数成等差数列，则
，
即
，所以
，
又
，代入可得
．
当
时，则点N 在直线l 上，显然不满足定直线，
当
时，
，
又直线NT 的斜率不能为零，则
，
所以
，即
．
由①可得，
，则
．
综上，所以点N 在定直线
上（经检验
合题意）.
5．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可知点
在以
，
为焦点，4 为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程.
（2）①设直线的方程为
，
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦
达定理，即可得到
，再由斜率公式计算可得；
②作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线，设
，表示出直线
、
的方程，
即可得到
，
，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明.
【详解】（1）由
，
，
所以点
在以
，
为焦点，4 为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为
，
焦距为
，则
，
，
所以
，
所以C 的方程为
.
（2）①由
，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为
，
，
，
，
联立
，得
，
则
，
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
，
.
②由①可知，
，所以
，
作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线，
又
，
，设
，
则直线
方程即为直线
方程
，
又直线
方程为
，
作差可得
，
所以
，
所以
，
，
又
，得出
，
又因为
，
所以
，
即
，即
，
所以点
在以
，
为焦点，1 为实轴长的双曲线的左支上运动，
所以
.
考点7
圆锥曲线证明，最值与探索问题
1．(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点
的轨迹方程；
（2）（i）求出点
、
的坐标，直线
的方程为
，将该直线方程与双曲线
的方程联立，
求出点
的坐标，点
，利用角平分线定理得出
，结合两点间的距离公式解出
的值，
即可证得结论成立；
（ii）先证明
、
、
三点共线，可得出
，根据点
在第二象限求出
的取值范围，再利用
二次函数的基本性质可求出
的取值范围.
【详解】（1）设
是点
到直线
的距离，
根据题意，动点
的轨迹就是点的集合
，
由此得
，平方化简得
，即
．
（2）（i）令
，代入
，得
，解得
，故
、
，
设直线
的方程为
，与曲线
的方程
联立得：
，则
，
所以
，解得
，
故
，故
，
设点
，则
，
由题意得
，
，
因为
平分
，由角平分线定理得
，即
，
化简得
，即
，解得
，
所以点
在定直线
上．
（ii）连接
并延长交双曲线于点
，下证点
与点
重合，
因为
，
，所以
，
所以直线
的方程为
，
将直线
与曲线
的方程
联立得：
，
所以
，
，
故
，则
，
由（i）得
，则
，故
、
、
三点共线．
又因为
、
、
三点共线，即
与点
重合，所以
，
因为点
在第二象限，则
，解得
，
所以
．
2．(1)
；
(2)
或
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由右顶点得
，由离心率得
，进而求得椭圆方程；
（2） 利用平行线分线段成比例及对称性，证明线段相等关系，结合已知比例推出点
的纵坐标，代入椭
圆方程求得
点坐标，从而确定直线方程；
（3）设直线方程，联立椭圆方程可表示点
坐标，并写出
、
坐标；计算直线
、
、
的斜率，
利用两角差的正切公式证明
，通过代数化简得到两者相等，再验证斜率取特殊值时
直接计算向量数量积也可得角度相等，从而结论成立.
【详解】（1）由题可知
，解得
，
所以椭圆E 的方程为
．
（2）因为直线
，
到x 轴的距离均为
，
过点
作
轴于点
，交直线
于点
，所以
，
因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
．
因为点
的纵坐标为
，所以点B 的纵坐标为
．
将
代入
，得
，即
．
故直线l 的方程为
或
．
（3）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为
，
，
，
，
．
当
时，
，
．
由
，得
，
．
因为
，所以
，
，
所以
．当
时，
．
又
，
，
所以
，所以
．
当
或
时，以
为例，
直线
，与
联立得
，与
联立得
，
与椭圆方程联立解得另一交点
，
因为
，
，所以
，即
，
因为
，
，所以
，即
,
因此
，其他特殊值同理可证.
综上，
．
3．(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据抛物线的焦点求出椭圆的，再根据点
的条件列出方程求出
即可；
(2)利用切线放缩，转化成求多边形面积即可；
(3)对圆台位置分类讨论，利用均值不等式或函数求最值即可.
【详解】（1）由抛物线
有相同的焦点为
，
从而在椭圆中有
，得
；
由
，故点
在
的垂直平分线上，由题意
，
从而点
的横坐标为
，代入
，得
，即
，
又点
在椭圆上，从而有
，即得
，
即
，解得
（负值舍去），从而
，
从而所求椭圆方程
.
（2）由（1）可知
，
，
如图过点
，
分别作
轴的平行线，分别交
轴于
，
过点
作
轴的垂线，交
于
，交
于
，
在点
分别作抛物线与椭圆的切线
，分别交
轴于
，直线
于
.
由点
在第一象限，可把抛物线表示为
，求导得：
，
椭圆表示为
，求导得
，
从而
，
从而
的表达式为：
，得
，故
，
从而
的表达式为：
，得
，故
.
由
，
故在第一象限内，直线
在抛物线
上方；
由
，
，
令
，则
，
故在第一象限内，直线
在椭圆
上方；
从而由对称性可知封闭曲线OPAQ 围成的区域面积为
即
，即可得
.
（3）当圆台的两底面均在直线
的左侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
，
又由均值不等式
，当且仅当
时取等号，故
，
即
；
当圆台的两底面在直线
的两侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
（此处应用
的变形
），
而
，
又
，
当且仅当
时，取等号，
而
，
故
，
从而
.
当圆台的两底面在直线
的右侧时，
两底面到
轴距离分别为
，则两底面半径
，
从而圆台体积：
，
（此处应用
的变形
），
而
由
，
，而
，
所以
，
令
，
，则
，
令
，
，或
（舍去）
在
导函数
，从而
单调递增；
在
导函数
，从而
单调递减；
从而
在
的最大值为
,
从而
.
综上，封闭曲线
绕x 轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω 内部有一个以x 轴为轴的圆台，圆台体积
为
4．(1)
(2)
①证明见解析；②证明见解析，该定值为
【分析】（1）根据题意即可求出
，从而得到答案；
（2）①根据
是
右支上两个不同的点，以及
的定义即可判断；②根据题意得出
均在直线
上，从而得出
为定值.
【详解】（1）由题可知，
解得
，
则双曲线
的方程为
．
（2）①依题意可设直线
的方程为
．
由
可得
，
则
，且
，
，
所以
因为
是
右支上两个不同的点，所以
．
又
，所以
．
则
，
由
，得
，即
，
则
，故
.
②设
．由
和①可得
，
且
则
均在直线
上．
若
，则
，的方程为
，由
可得
，
则
，因此
若
，则的方程可化为
，
由
可得
．
因为
，所以上式可化为
，
此时
，且
，
因此
，
综上所述，
为定值，且该定值为
．
5．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用双曲线定义求出点
的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线
的方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解.
【详解】（1）由
，得点
的轨迹是以
为左右焦点，实轴长为2 的双曲线，
实半轴长
，半焦距
，虚半轴长
，
因此点
的轨迹方程为
，设
，由
，得
，
于是
，即
，所以曲线
的方程为
.
（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为
，
，
由
消去
得
，
，
则
，
，
，
由
，
，
成等差数列，得
，即
，
则
，即
，所以
.
6．(1)
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）
或
【分析】（1）由渐近线互相垂直得到
， 双曲线方程和圆方程联立方程组解出即可得解；
（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到
，利用点斜式写出直线
的方程为，直线
的方程为，从而得到点M 的坐标和点N 的坐标，
若点
在以线段MN 为直径的圆上，则
，利用数量积求出
，解得
的值，（ii）利
用两点间距离公式求出
，解得
的值，利用二倍角的正切公式求
.
【详解】（1）因为渐近线互相垂直，所以
，
将双曲线方程和圆方程联立，解出
，解得
，
则双曲线的方程为
；
（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，
设直线
，与双曲线方程联立得到
，设点P，Q 的坐标分别为
，且
恒成立，则
，
直线
的方程为：
，直线
的方程为：
，
故点M 的坐标为
，点N 的坐标为
，
若点
在以线段MN 为直径的圆上，则
，
则
，解得
，
但是注意到直线l 仅与双曲线右支相交，所以
，因此上述直线不符合条件，因此不存在；
（ii）由两点间距离公式可得，
，
则
，解得
或
（舍），可得
，当
时，设l 的倾
斜角为
，
则
，
所以
，同理可得另一个角为
，因此
为
或
.
