文档文本内容
数列的概念与简单表示
考点1
等差数列
考点2
专题05 数列
1．C
2. C
3．B
1
2
3
4
5
A
D
ACD
ACD
ACD
6．2
7．1
8．65
9．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据题意，得到
和
，联立求得
的值，即可求得
的通项公式；
（2）由（1）知
，得到
，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列
的公差为
，
因为
，可得
，
又因为
是
和
的等比中项，可得
，即
，即
，
因为
，所以
，代入
，可得
，
所以
，所以数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）知：
，可得
，
所以
.
10．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可用
与
的关系消去
，求出数列
的通项公式；
（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，即
，
所以
，即
，
由数列
为正项数列，所以
，从而有
，
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，
．
（2）由（1）知
，所以
，
，则
，
从而
，
即
，
所以
.
11．【答案】(1)
(2)609
【分析】（1）列出关于
的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解；
（2）首先求出到原数列第
项
为止插入的总项数
，令
得出
，
即得出插入510 个1，然后利用分组求和即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，由
得：
，
，解得
，
，
故通项公式为
.
（2）根据题意，在
和
之间插入
个，设到原数列的第
项
为止，
则新数列
的总项数
，
令
，代入验证得
时，
，刚好满足，
即
包含原数列前9 项和所有插入的1：
插入1 的总个数为
，插入部分和为
，
原数列前9 项和：
，
因此：
.
12．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法及等差数列的前
项和公式求解即可.
（2）结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）当
时，
，
等比数列
考点3
则
，
，
，
，
所以
，即
.
所以
.
当
时，
满足上式，
故
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，则
，
所以
，
因为
，所以
，则
，因此
，
故
.
1
2
3
4
C
B
B
AC
5. 2
6．
7．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到
和
，根据条件可得
，再由
求
.
（2）利用裂项求和法求和即可证明.
【详解】（1）由题意，
，
，
所以
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，上式亦成立，所以
.
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
.
所以
.
8．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将原式变形得到
，利用等比数列定义即可证明；
（2）利用等比数列通项公式得到
，即可得到
（3）利用放缩法得到
，由错位相减法求得
的前
项和
，即可
证明
.
【详解】（1）由已知
，变形得
，故
.
又因为
，所以
，
因此数列
是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列.
（2）由(1)知数列
是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列.
所以
.
因此数列
的通项公式为
.
（3）由(2)知
，因此
，代入得
，
对任意正整数
， 有
， 即
，
两边取倒数得
，因此
设放缩后的数列前
项和为
，
即
①
①式两边同乘
得：
②
①
②错位相减得：
，整理得
由
，可得
，
结合
，可证得
，原不等式成立.
9．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列前
项和的性质，
，
，
成等比数列，且公比为
，
即可求出公比，写出通项公式；
（2）求出等比数列的前
和，分类讨论解不等式即可得解.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
，
当
时，
，不符合题意，所以
，
所以
，
，
成等比数列，且公比为
，
，所以
，
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
所以由
可得
，
即
，
当
为正偶数时，不等式显然成立；
当
为正奇数时，则
，
数列的综合应用
考点4
因为
为递减数列，且
，
所以
且
为奇数，
综上，
1．【答案】(1)
，
，
(2)存在，
，
(3)
【分析】（1）由数列递推公式赋值求出
，再根据取整函数的定义依次计算即得；
（2）由（1）得结论，代入
，求出
，即得数列通项，验证即可；
（3）先求导证明
，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得
，结合
可得
，最后利用等差数列求和公式即可
求得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，故
；
又
，故
，
，所以
；
同理
，故
，
因
，则
,故
,
所以
，故
.
（2）假设存在常数A，使得
，
则由（1）得
，即
.
因为
，可得
，解得
（负值舍去）.
故
.又
，则得
，即
，故
.
此时，
.
所以存在
，
满足题意.
（3）当
时，
，所以
.
当
时，因为
，所以
，故
.
设函数
，则
.
所以
在
上单调递增，故
，即
.
所以
.
则
，因
，
所以
.故
.
综上，当
时，
，故
.
令
，则当
时，
.
又因为
满足
，所以
，
.
