专题06 平面解析几何
7 大考点概览
考点01 直线方程与圆的方程
考点02 椭圆方程及其性质
考点03 双曲线方程及其性质
考点04 抛物线方程及其性质
考点05 圆锥曲线弦长面积问题
考点06 圆锥曲线定点定值问题
考点07 圆锥曲线证明，最值与探索问题
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·一模）已知圆
与圆
相切，则
（ ）
A．4
B．6
C．4 或6
D．16 或36
【答案】C
【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
圆
的圆心为
，半径
，
，
当两圆外切时，
，即
，解得
；
当两圆内切时，
，即
，解得
；
综上，则
或
.
2．（2026·湖南·模拟预测）已知圆
与直线
相切于点
，与直线
相交于
两点，且
，则圆
的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点1
直线方程与圆的方程
【答案】B
【分析】根据切点以及切线方程可知
，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径.
【详解】设圆心
，由圆
与
相切于点
可得
，即
，
所以圆心
到直线
的距离为
，又弦
长为4，
故圆
的半径
．
3．（2026·湖南岳阳·一模）已知圆
和直线
，若圆
上存在三点到直
线的距离成公比为2 的等比数列，则的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】要使圆上存在三点到直线的距离成公比为2 的等比数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距
离之比大于等于4，由此建立不等式求的最小值.
【详解】设圆
上三点到直线的距离分别为
，
圆心
到直线的距离为
，
若直线与圆
相切或相交，此时
可以取非常小的正数，
则必存在三点到直线的距离成公比为2 的等比数列；
若直线与圆
相离，即
，
则圆上任意一点到直线的距离位于
，
若圆
上存在三点到直线的距离成公比为2 的等比数列，
则需
，得
，
则的最小值为.
故选：C
4．（2026·湖南邵阳·一模）已知直线
与圆
相交于
两点，则
劣弧
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由弧长公式进行求解．
【详解】圆
化为标准方程为：
，
圆心
，半径
，
如图所示：
则点
到直线
的距离为：
，
而
，
，得
，
则劣弧
的长为：
，
故选：B
二、多选题
5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆
，抛物线
的焦点为F，P 为E
上一动点，当P 运动到点
时，
，直线l 与E 相交于A，B 两点，则（ ）
A．
B．若
，则直线PF 与圆C 相切
C．若M 为C 上一点，则
的最小值为1
D．存在直线l，使得A，B 两点关于
对称
【答案】ABD
【分析】根据焦半径公式求得
判断A，求出直线
的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判
断B，设
，利用二次函数性质求得
最小值为4，进而利用圆的性质求得
最小值为
判断C，设
，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入
求
出
，与
判断D.
【详解】因为当P 运动到点
时，
，所以
，故A 正确；
抛物线
，其焦点
，
圆
的圆心
，半径为
，
设
，则
，
解得
，则
，
故直线PF 的方程为
，因为圆心
到直线PF 的距离为
，
所以直线PF 与圆C 相切，故B 正确；
由上可知，
，即
的最小值为4，
所以
的最小值为
，故C 错误；
假设存在直线l 使得A，B 两点关于
对称，
设直线
，
，
，
由
，消去x 得，
，
则
，解得
，
又
，
，
则
，解得
，符合题意，故D 正确．
三、填空题
6．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
，动点
满足
.当
取最大值时，
______.
【答案】
【分析】先求出点
的轨迹方程，判断出当
取最大值时点
的位置，结合直线与圆的位置关系求解
即可.
【详解】设
.
因为
，所以
，
整理得
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
则当
取最大值时，
与圆相切，则
.
在
中，
，
所以
.
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点
在直线
上移动，椭圆
以
和
为焦点且经
过点
，则椭圆
的离心率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得
的范围，进一步计算离心率
的范围.
【详解】椭圆
以
，
为焦点，即
，
，
所以设椭圆方程
，
联立方程
，
消去
得出
，
由题意可得
，
即
，得出
或
（舍去），解得
，
所以
，
考点2
椭圆方程及其性质
所以椭圆
的离心率的最大值为
.
2．（2026·湖南株洲·一模）已知椭圆
的焦点为
，一个短轴顶点为
，且离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的性质把
用离心率表示出来，再利用二倍角公式以及诱导公式运算可得答案.
【详解】已知椭圆离心率
，短轴顶点为
，焦点为
，
在椭圆中，
，
，
代入
，
得
，
，
由于
是三角形内角，取值范围为
，
且
在
单调递减，
因此
故选 ：C
二、多选题
3．（2026·湖南邵阳·一模）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
两点，则下列结论成立的是（ ）
A．
的周长为8
B．
C．
的最小值为
D．存在直线，使得
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据
的最大角即可判断D．
【详解】A，根据椭圆的定义，
，
所以
的周长为
，故A 正确；
B，根据基本不等式，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C，设直线
的方程为
，
，
与椭圆方程联立
得，
，
，
，
，
当
时，
最小为1，故C 错误；
D，当直线过短轴顶点时，
最大，
此时
，即
最大为
，
所以存在直线，使得
，故D 正确．
4．（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆
，圆
，动圆
与圆
外切于点
，
与圆
内切于点
，记圆心
的轨迹为曲线
，若直线
与曲线
交于
两点，则下面说法正确
的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最小值为
C．
D．当直线
斜率都存在时，
【答案】ABC
【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，
与
互补，求出
的最大角即可；
对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：设
，
，结合斜率公式及点在椭
圆上即可判断.
【详解】
对于A，设动圆
的半径为，又动圆
与圆
外切且与圆
内切，
，
则
且
不重合，
故点
的轨迹是以
为焦点的椭圆（去掉
重合的点），
则曲线
的方程为
，故A 正确，
对于B，由图可知
与
互补，当点P 为椭圆短轴端点时，
最大，此时
，所以
，
则
的最大值为
，所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
即
时等号成立，故C 正确；
对于D，设
，则
，即
，
由题意设
，则
，即
，
则
，故D 错误，
故选：ABC.
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·一模）设
为坐标原点，
是
的左、右焦点，若在双曲线
上存在点
，满足三角形
的面积为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知
，双曲线定义和
的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率.
【详解】设
，双曲线焦点
，
，
由
，得
，
又因为
的面积
，
所以
，
平方得：
，
因为
在双曲线上，满足
，
考点3
双曲线方程及其性质
所以
，
所以
化简得
，
代入
，得：
，
，约去
得
，即
,
代入
得
，
因此离心率：
.
2．（2026·湖南永州·一模）已知
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
为
右
支上的一点，线段
与
轴交于点
为坐标原点，过点
作
，垂足为
为线
段
上的一点，满足
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
为
的重心，
为
的中点．从而得
，
，进而
得
，在
中，求得
，在
中，由余弦定理，得
，即有
解得
，
，即可得答案.
【详解】如图，设
，
为
的中点，
；
为
的重心，
为
的中点．
又
．
由双曲线的定义可知，
．
在
中，
．
在
中，由余弦定理，得
，
化简得
或
（舍去），
．
故
的渐近线方程为
．
故选：A.
二、多选题
3．（2026·湖南株洲·一模）下列关于双曲线
的说法，正确的是（ ）
A．双曲线
的焦距为2
B．双曲线
的两条渐近线相互垂直
C．双曲线
的离心率为
D．存在一条直线，与双曲线
有三个交点
【答案】BC
【分析】将双曲线化为标准形式得到
，结合双曲线的几何性质逐项判断即可.
【详解】将双曲线化为标准形式
，由此可得
对于A，焦距为
，故A 错误；
对于B，渐近线方程为
，斜率之积为
，相互垂直，故B 正确；
对于C，离心率
，故C 正确；
对于D，直线与双曲线联立得到的是二次方程，最多有 2 个解，所以最多有2 个交点，故D 错误；
故选：BC.
4．（2026·湖南永州·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
是
的渐近线上一点（
在
轴上方），直线
与圆
相切，且与
的左、右两支分别交于
两点，若
，则（ ）
A．以
为直径的圆与圆
相切
B．
的离心率
C．线段
的中点在直线
上
D．
的面积为
【答案】ABD
【分析】设
的中点为
，则
，即可判断A；设直线
与圆
的切点为
，直线
为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得
，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点
差法计算可得
，求出直线
的斜率即可判断C；设
，则
，
根据双曲线的定义可得
，结合
计算即可判断D.
【详解】设
的中点为
，则
，
以
为直径的圆与圆
的圆心距为两圆的半径之和，
故以
为直径的圆与圆
相切，故A 正确；
因为点
是双曲线的渐近线上的一点，
，
所以
，设直线
与圆
的切点为
，
则
，故直线
的斜率为
，
即直线
为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知，
，即
，
所以双曲线的离心率为
，故B 正确；
设
的中点为
，设
，
则
，直线
的斜率为
，
且
，两式相减得
，
整理得
，即
，
又因为直线
的斜率为
，所以直线
的斜率为
，
所以
的中点在直线
上，故C 错误；
D：设
，因为
，
所以
，由双曲线的定义得，
，
因为
，代入得
，化简整理得
，
即
，即
，
解得
，又
，
所以
的面积为
，故D 正确.
故选：ABD
5．（2026·湖南湘潭·一模）已知
，
是双曲线
上两个不同的点，
是
的左顶点，则（ ）
A．
的焦距为
B．当
轴时，
与
可能垂直
C．当
时，
，
的横坐标之和的取值集合为
D．当
，
的纵坐标异号时，对任意的点
，都存在点
，使得
【答案】AC
【分析】对于A，根据双曲线方程进行判断；对于B，利用向量法进行判断；对于C，得到Q，R 的轨迹
方程，联立双曲线方程，求解；对于D，根据倾斜角和渐近线进行判断.
【详解】
的焦距为
，A 正确．
当
轴时，
．
（方法一）
，则
，因为
的两条渐近线互相垂直，所以
，B 错误．
（方法二）设
，
，则
，
，
则
，
若
，则
，解得
，
此时
，
，
三点重合，这与题意不符合，所以
与
不可能垂直，B 错误．
当
时，
，
在以
为圆心，3 为半径的圆上，
该圆的方程为
，
由
得
，
整理得
，解得
，
，
所以
，
的横坐标之和可能为
，
，
，
故
，
的横坐标之和的取值集合为
，C 正确．
如图，设
在第一象限，当直线
的倾斜角为
时，设直线
与
轴交于点
，
若
，则
，则直线
与
的一条渐近线
平行，从而点
不存在，D 错误．
故选：AC.
6．（2026·湖南邵阳·一模）已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
的右支相交于
两点，则下列结论错误的有（ ）
A．
的方程为
B．
C．
的渐近线方程为
D．当
时，
的面积为3
【答案】BC
【分析】由已知条件可以知道
,离心率是
,所以
.
.进而可以得到双曲线的标准方程.
对选项逐一分析即可.
【详解】对于选项A,由已知条件可以知道
,离心率是
,所以
.
.所以双曲线的标准方程为
.故A 正确.
对于选项B,当
垂直于
轴时,将
,代入双曲线方程
可得
.
此时
.当
不垂直于
轴时,
,所以
.故选项B 错误.
对于选项C,双曲线的方程为
其渐近线方程为
.
已知
,则渐近线方程为
.即
.故选项C 错误.
对于选项D,因为
,所以
.
设
,根据双曲线的定义
即
.
又因为
,可以解得
.
所以
的面积
.故选项D 正确.
故选：BC.
7．（2026·湖南·模拟预测）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射
光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为
，
为双曲线上任意一
点，则
处的切线平分
，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作直线与双曲线
相切于点
，与椭圆相交于点
，且
点
均位于第一象限，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为定值1
B．椭圆
的离心率为
C．双曲线
的离心率为
D．
为定值
【答案】ABD
【分析】设出直线的方程并与椭圆联立，由判别式可求得直线的斜率为定值1，切点
，故A
正确，结合双曲线的光学性质以及角平分线定理、正弦定理可求得椭圆
的离心率和双曲线
的离心率，
可判断选项BC，利用向量定比分点可求出
点的坐标，代入椭圆方程可求得D 正确，或作出辅助线利用
椭圆第二定义判断D 正确.
【详解】设椭圆
的半焦距为
，离心率为
，双曲线
的半焦距为
，离心率为
，
设直线为
，
联立
与
，得
，
由
得
，又点
均位于第一象限，所以
，
所以直线的斜率为定值1，切点
，故A 正确；
如下图所示：
由双曲线光学性质知，直线为
的平分线，由角平分线定理知
，
设
，则
，
，
从而
，椭圆
的离心率为
，
由选项A 知
，又
，所以
，
在
中，由正弦定理知
，
所以椭圆
的离心率为
，B 正确；
因为
，，所以
，双曲线
的离心率为
，故C 错误；
法一：设
，又点
，
由定比分点坐标公式知
，代入椭圆
的方程，得
，
化简得
，故
，故D 正确．
法二：切点
，在椭圆的右准线上，过点
作
轴的垂线，交
轴于点
，过点
作准线
的
垂线交准线于点
，
由椭圆第二定义知
，又
，故
，故D 正确．
三、填空题
8．（2026·湖南常德·一模）已知双曲线
：
左顶点为
，右焦点为
，过点
且倾
斜角为
的直线与双曲线
的右支相交于点
，若
，且
，则双曲线
的离心率为________.
【答案】
【分析】根据斜率公式，勾股定理以及双曲线中
关系式，即可联立求解.
【详解】由题知，
，
，
，
则
，
，
又
，设
，
则
，解得
，
所以
.
故答案为：
9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，若
，
则双曲线C 的离心率e 为______.
【答案】
/
【分析】设
，利用算两次思想计算
即可.
【详解】如图，由题意可知
，则
，
，
设
，则
，于是
，
即
，则
，解得离心率
.
四、解答题
10．（2026·湖南邵阳·一模）已知双曲线
的渐近线方程为
，右焦点为
，直线与
相切
于点
.
(1)若与
的渐近线分别交于
，
两点，证明：点
为线段AB 的中点；
(2)已知直线：
，
：
，若与，
分别交于点
，
，是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线是否存在斜率进行
分类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可；
（2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可.
【详解】（1）设双曲线
，
由题意得：
解得
故双曲线方程为
.
设
，则
ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，
为AB 的中点.
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线
（
或
）
联立方程组：
消去
得：
.
由
，即
.
又
，则
，
，
所以
，即
，解得
.
所以直线
，又
，则
.
联立方程组：
消去
得：
，因为
.
则上式化简为
，
恒成立.
设
，
，则
，所以
为AB 的中点.
（2）因为与相交，则切线的斜率存在，
由（1）知，切线
，将
，
分别代入切线的方程得
所以
，
，则
，
.
所以
.
故存在
，使得
恒成立.
一、单选题
1．（2026·湖南永州·一模）已知抛物线
的焦点为
，点
在
轴上且位于
右侧，点
在
上，
若
为等边三角形，则
（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】如图，设
，则
，结合抛物线的定义得
，进而建立
关于
的方程，解之即可求解.
【详解】如图，
，设
，
的中点为
，
则
，又
为等边三角形，所以
，
考点4
抛物线方程及其性质
由抛物线的定义知
，所以
，
解得
，所以
.
故选：D
2．（2026·湖南永州·一模）已知
分别为
内角
的对边，若
，
，
动点
满足
的大小与
的大小相等，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得
，根据面积可得
，可知点
在抛物线上，
结合抛物线的性质分析求解.
【详解】因为
，
整理可得
，则
，可知
为等边三角形．
设点
到直线
的距离为
，则
，可得
，
如图，过点
作
，垂足为
，则
，
过点
作
，垂足为
，可知点
在以
为焦点，
所在直线为准线的抛物线上，
可知当点
为抛物线顶点（即为
的中点）时，
取得最小值，此时
，
所以
的最小值为
．
故选：C.
二、多选题
3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知抛物线C：
的焦点为
，过点
的直线与
C 交于
两点，其中
，
，则（ ）
A．直线的斜率为
B．点M 到y 轴的距离为7
C．
的面积为
D．直线
的倾斜角为30°或150°
【答案】AC
【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线
的斜率，进而求出点
的坐标，
再逐项求解判断即可.
【详解】由抛物线
：
的焦点为
，得抛物线
，
设
，由对称性，不妨令点
在第一象限，
连接
并延长交抛物线于点
，连接
并延长交抛物线于点
，
直线
，由
消去
得
，则
，即
，
直线
，由
消去
得
，
则
，即
，因此
，点
与
关于
轴对称，则
，
同理得，点
与
关于
轴对称，
，
由
与
关于
轴对称，得
平分
，则
，
而
，且
，则
，
于是
，直线
的斜率
，直线
，
由
消去
得
，而
，
解得
，则
，
，点
，
对于A，直线的斜率为
，由对称性知，
也是直线的斜率，A 正确；
对于B，点
或
到
轴的距离均为
，B 错误；
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，直线
的倾斜角
，由对称性知，
也是直线
的倾斜角，D 错误.
故选：AC
4．（2026·湖南永州·一模）已知
为抛物线
的焦点，准线与
轴交于点
为第一
象限内抛物线上的点，且满足
，过点
作的垂线，垂足为
与
交于点
，则（ ）
A．直线
的斜率不是定值
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的性质、斜率计算公式、余弦定理及几何关系求解即可.
【详解】由题意知，
，准线：
，
.
设
，则
.
因为点
为抛物线上的点，所以
.
又
，所以
，即
，
联立整理得，
，解得
，因为
，所以
.
所以
（
）.
选项A：
，为定值，A 错误.
选项B：
，
，
.
所以
，B 正确.
选项C：因为
，所以
，
又
，所以
，所以
所以
，C 正确.
选项D：
，
因为
，
所以
，又
，
所以
.
因为
，所以
，所以
，D 正确.
故选：BCD
5．（2026·湖南永州·一模）已知
为抛物线
：
（
）的焦点，准线与
轴交于点
，
为
第一象限内抛物线上的点，且满足
，过点
作的垂线，垂足为
，
与
交于点
，则为
（ ）
A．直线
的斜率不是定值
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】先求得
，
，再求解直线
的斜率判断A；结合抛物线
的定义在直角三角形中计算判断B；通过几何关系得
为
的平分线，即可证明判断C；由
，即可判断D.
【详解】设
（
），易知
，由
得
.
由
得
，
，
显然
，故解得
，
则
，可得
，
，
，
为常数，故选项A 错误；
，
，
，故选项B 正确；
，
.
又
，
，
为
的平分线，
，故选项C 正确.
，
.
为
平分线，
.
又由前面分析知
，
，
.
，
，故选项D 正确.
故选：BCD
1．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
中，直线与
交于
两点，
为
的焦点.当直
线为
时，
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标始终为1，求
的取值范围；
(3)已知直线
与
相交于
两点，直线
与
相交于
两点（点
在
轴的上方），若
，四边形
的外接圆圆心坐标为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解，
（2）联立方程可得韦达定理，根据中点坐标公式可求解
，进而根据焦半径公式，结合判别式即可得
解,
考点5
圆锥曲线弦长面积问题
（3）写出
的坐标，根据
得
，根据对称性判断圆心位于
，即可根据两点距
离公式代入化简求解.
【详解】（1）由题意可知
，
联立直线
与
的方程可得
，
设
,则
,
由弦长公式可得：
,
化简可得
，由于
，故
，（负值舍去）.
故抛物线的方程为
.
（2）设直线
,
直线
与抛物线
联立可得
，
故
，
由于
，
故
，
因此
的取值范围为
（3）抛物线
与直线
相交于
故
，
抛物线
与直线
相交于
故
，
根据
可得
，
由于
轴，根据对称性可知四边形
的外接圆圆心
在
轴上，故
，
由
可得
，
化简可得
，
将
代入上式可得
，
由于
，可得
，故
，故
，
进而
.
2．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆
过点
，两个焦点坐标分别为
．
(1)求椭圆
的方程．
(2)已知
为椭圆
上异于
的两点，且直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线
的斜率为定值；
（ii）求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）2．
【分析】（1）根据点
以及焦点坐标，解方程可求得椭圆
的方程；
（2）（i）法一：设直线
的方程为
，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由
可得直
线
的斜率
；
法二：设直线
的方程为
，联立椭圆方程可解得
，同理可得
，化简可知直线
的斜率
；
法三：由
，可设直线
为
，
不同时为0，联立直线与椭圆方程化简
得
，可得
，即直线
的斜率为定值
．
（ii）设直线
为
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知
法一：易知
，当
时，
的面积取最大值2．
法二：由弦长公式可知
，又点
到直线
的距离
，所以
，当
时，
的面积取最大值2．
【详解】（1）设椭圆
的方程为
，
显然
，
将点
代入椭圆方程
，即
，解得
或
（舍去）
所以椭圆
的方程为
．
（2）（i）法一：
设直线
的方程为
（由对称性知
存在），如下图：
联立
得
，化简得
，
由
知
，则
，
因为
，所以
，即
，
化简得
，因为直线
不过点
，所以
，
故
．
法二：
设直线
的方程为
，
联立
，得
，化简
，
得
，
由
知
，即
，则
，
又
，所以
，
因为直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形，所以
，
同理可得
，
由此可知
，
则直线
的斜率
，
故直线
的斜率为定值
．
法三：
因为直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形，所以
，
因为
为椭圆上异于
的两点，
所以可设直线
为
，
不同时为0，
联立
与
，
得
，
等式两边同时除以
，记
，
化简得
，
由于
，所以
，说明直线
的斜率为定值
．
（ii）设直线
为
，
联立
与
，得
，
因为
，所以
．
由韦达定理知
法一：
过点
作
轴的垂线交直线
于点
，则点
的坐标为
，
，即
，
化简得
．
当且仅当
时，
的面积取最大值2．
法二：
易知
，
点
到直线
的距离
，
所以
，
当且仅当
时，
的面积取最大值2．
3．（2026·湖南邵阳·一模）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，离心率
，
过
的直线交椭圆
于
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且与垂直的直线与椭圆
相交于
两点，
在
轴的上方，
分别为线段
，线段
的中点，直线
与直线
相交于点
．
（i）直线
是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ii）求
的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）直线
过定点，定点坐标为
；（ii）
【分析】（1）利用椭圆的定义，根据
的周长可列方程求出
，利用离心率求出，进而可得标准方
程.（2）（i）先根据题意判断直线与坐标轴不垂直，设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数
的关系及中点坐标公式可得到点
的坐标，同理得到点
的坐标，进而可得到直线
的方程，可得定
点坐标；（ii）根据平行线间距离相等得到
，根据弦长公式可求得
，由
及基本不等式的变形可得最值.
【详解】（1）因为
的周长为
，所以
.
又
，所以
．
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）直线
过定点.
由（1）知，
，又
在
轴的上方，所以直线与坐标轴不垂直．
设直线
．
将
代入
，整理得
.
则
．
所以
．
所以
，同理可得
.
所以
.
所以直线
的方程为
，即
，
因为该方程对任意非零实数
恒成立，
所以直线
过定点
.
（ii）连接
，设
为线段
的中点，直线
分别与
相交于点
，
连接
，如图所示．
因为
分别为
的中点，
所以
，
所以
到直线
的距离相等，
到直线
的距离相等．
则
．
所以
，
即
．
故
.
由（i）知，
，
同理可得
，
所以
当且仅当
时，即
时，等号成立．
所以
的面积的最小值为
.
4．（2026·湖南永州·一模）已知椭圆
经过点
为
的右焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点（的斜率存在且不为0），设点
关于
轴的对称点为
，
的外接圆圆心为
．
（i）求
面积的最大值；
（ii）直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）是；定值为1，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆定义求
，再根据
关系联立方程求解椭圆方程；
（2）（i）直线
方程为
,跟椭圆方程联立可得
，根据直线
与
直线
的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线
过定点
，再利用韦达定理转化面积，再由
一般不等式求解面积最值；
（ii）求解
和
的垂直平分线方程为
，
，联立两直线方
程可得
，
，即得
，再结合
可得斜率乘积为定值.
【详解】（1）如图所示，因为
为
的右焦点，则
，且椭圆左焦点为
，
所以
,
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，
，
联立
，得
，
，即
，
，
，
因为点
关于
轴的对称点为
，则直线
与直线
的斜率之和为0，
所以
，
即
，即
，
得
，即
，所以直线
过定点
，且
，
所以
，
即
，令
，
，
当且仅当
时，即
时，
面积的最大值为
.
（ii）因为
的垂直平分线方程为
，
即
①，同理
的垂直平分线方程为
②，
+
①②得，
，故
，
-
①②得，
，
所以
，即
，
所以
，故
，
又因为
，故
，
所以直线
与直线
的斜率之积是定值1.
5．（2026·湖南岳阳·一模）已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设椭圆
的左，右顶点分别为
，过
轴上的一点
作直线交椭圆
于
两点（异
于点
）.设直线
斜率为
，直线
斜率为
.
（i）求
（用表示）；
（ii）若
,
的面积为
,
的面积为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）利用离心率推得
，结合点在椭圆上得
，解得
，即得椭圆方程；
（2）（i）设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算
即可；（ii）利用（i）的结论结合
求得
，分别表示出
，借助于韦达定理和基本不等式
即可求得
的最大值.
【详解】（1）由题可知，
，化简得
，
又因为
在椭圆
上，则
，
联立解得
，故椭圆
的方程为
.
（2）（i）依题意，设直线
的方程为
，
则联立
，消去
得
其中
，即
，
设
，则
.
则
；
（ii）由（i）可得
，解得
，即
，
，且
.
因
，
，
则
令
，则
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
的最大值为
.
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，离心率
，
过
的直线交椭圆
于
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且与垂直的直线与椭圆
相交于
两点，
在
轴的上方，
分别为线段
，线段
的中点，直线
与直线
相交于点
．
（i）直线
是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
考点6
圆锥曲线定点定值问题
（ii）求
的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）直线
过定点，定点坐标为
；（ii）
【分析】（1）利用椭圆的定义，根据
的周长可列方程求出
，利用离心率求出，进而可得标准方
程.（2）（i）先根据题意判断直线与坐标轴不垂直，设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数
的关系及中点坐标公式可得到点
的坐标，同理得到点
的坐标，进而可得到直线
的方程，可得定
点坐标；（ii）根据平行线间距离相等得到
，根据弦长公式可求得
，由
及基本不等式的变形可得最值.
【详解】（1）因为
的周长为
，所以
.
又
，所以
．
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）直线
过定点.
由（1）知，
，又
在
轴的上方，所以直线与坐标轴不垂直．
设直线
．
将
代入
，整理得
.
则
．
所以
．
所以
，同理可得
.
所以
.
所以直线
的方程为
，即
，
因为该方程对任意非零实数
恒成立，
所以直线
过定点
.
（ii）连接
，设
为线段
的中点，直线
分别与
相交于点
，
连接
，如图所示．
因为
分别为
的中点，
所以
，
所以
到直线
的距离相等，
到直线
的距离相等．
则
．
所以
，
即
．
故
.
由（i）知，
，
同理可得
，
所以
当且仅当
时，即
时，等号成立．
所以
的面积的最小值为
.
2．（2026·湖南永州·一模）已知椭圆
经过点
为
的右焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点（的斜率存在且不为0），设点
关于
轴的对称点为
，
的外接圆圆心为
．
（i）求
面积的最大值；
（ii）直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）是；定值为1，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆定义求
，再根据
关系联立方程求解椭圆方程；
（2）（i）直线
方程为
,跟椭圆方程联立可得
，根据直线
与
直线
的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线
过定点
，再利用韦达定理转化面积，再由
一般不等式求解面积最值；
（ii）求解
和
的垂直平分线方程为
，
，联立两直线方
程可得
，
，即得
，再结合
可得斜率乘积为定值.
【详解】（1）如图所示，因为
为
的右焦点，则
，且椭圆左焦点为
，
所以
,
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，
，
联立
，得
，
，即
，
，
，
因为点
关于
轴的对称点为
，则直线
与直线
的斜率之和为0，
所以
，
即
，即
，
得
，即
，所以直线
过定点
，且
，
所以
，
即
，令
，
，
当且仅当
时，即
时，
面积的最大值为
.
（ii）因为
的垂直平分线方程为
，
即
①，同理
的垂直平分线方程为
②，
+
①②得，
，故
，
-
①②得，
，
所以
，即
，
所以
，故
，
又因为
，故
，
所以直线
与直线
的斜率之积是定值1.
1．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆
过点
，两个焦点坐标分别为
．
(1)求椭圆
的方程．
(2)已知
为椭圆
上异于
的两点，且直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线
的斜率为定值；
（ii）求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）2．
【分析】（1）根据点
以及焦点坐标，解方程可求得椭圆
的方程；
（2）（i）法一：设直线
的方程为
，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由
可得直
线
的斜率
；
法二：设直线
的方程为
，联立椭圆方程可解得
，同理可得
，化简可知直线
的斜率
；
法三：由
，可设直线
为
，
不同时为0，联立直线与椭圆方程化简
考点7
圆锥曲线证明，最值与探索问题
得
，可得
，即直线
的斜率为定值
．
（ii）设直线
为
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知
法一：易知
，当
时，
的面积取最大值2．
法二：由弦长公式可知
，又点
到直线
的距离
，所以
，当
时，
的面积取最大值2．
【详解】（1）设椭圆
的方程为
，
显然
，
将点
代入椭圆方程
，即
，解得
或
（舍去）
所以椭圆
的方程为
．
（2）（i）法一：
设直线
的方程为
（由对称性知
存在），如下图：
联立
得
，化简得
，
由
知
，则
，
因为
，所以
，即
，
化简得
，因为直线
不过点
，所以
，
故
．
法二：
设直线
的方程为
，
联立
，得
，化简
，
得
，
由
知
，即
，则
，
又
，所以
，
因为直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形，所以
，
同理可得
，
由此可知
，
则直线
的斜率
，
故直线
的斜率为定值
．
法三：
因为直线
与
轴围成一个以
为顶点的等腰三角形，所以
，
因为
为椭圆上异于
的两点，
所以可设直线
为
，
不同时为0，
联立
与
，
得
，
等式两边同时除以
，记
，
化简得
，
由于
，所以
，说明直线
的斜率为定值
．
（ii）设直线
为
，
联立
与
，得
，
因为
，所以
．
由韦达定理知
法一：
过点
作
轴的垂线交直线
于点
，则点
的坐标为
，
，即
，
化简得
．
当且仅当
时，
的面积取最大值2．
法二：
易知
，
点
到直线
的距离
，
所以
，
当且仅当
时，
的面积取最大值2．
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，离心率
，
过
的直线交椭圆
于
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且与垂直的直线与椭圆
相交于
两点，
在
轴的上方，
分别为线段
，线段
的中点，直线
与直线
相交于点
．
（i）直线
是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ii）求
的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）直线
过定点，定点坐标为
；（ii）
【分析】（1）利用椭圆的定义，根据
的周长可列方程求出
，利用离心率求出，进而可得标准方
程.（2）（i）先根据题意判断直线与坐标轴不垂直，设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数
的关系及中点坐标公式可得到点
的坐标，同理得到点
的坐标，进而可得到直线
的方程，可得定
点坐标；（ii）根据平行线间距离相等得到
，根据弦长公式可求得
，由
及基本不等式的变形可得最值.
【详解】（1）因为
的周长为
，所以
.
又
，所以
．
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）直线
过定点.
由（1）知，
，又
在
轴的上方，所以直线与坐标轴不垂直．
设直线
．
将
代入
，整理得
.
则
．
所以
．
所以
，同理可得
.
所以
.
所以直线
的方程为
，即
，
因为该方程对任意非零实数
恒成立，
所以直线
过定点
.
（ii）连接
，设
为线段
的中点，直线
分别与
相交于点
，
连接
，如图所示．
因为
分别为
的中点，
所以
，
所以
到直线
的距离相等，
到直线
的距离相等．
则
．
所以
，
即
．
故
.
由（i）知，
，
同理可得
，
所以
当且仅当
时，即
时，等号成立．
所以
的面积的最小值为
.
3．（2026·湖南永州·一模）已知椭圆
经过点
为
的右焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点（的斜率存在且不为0），设点
关于
轴的对称点为
，
的外接圆圆心为
．
（i）求
面积的最大值；
（ii）直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）是；定值为1，证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆定义求
，再根据
关系联立方程求解椭圆方程；
（2）（i）直线
方程为
,跟椭圆方程联立可得
，根据直线
与
直线
的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线
过定点
，再利用韦达定理转化面积，再由
一般不等式求解面积最值；
（ii）求解
和
的垂直平分线方程为
，
，联立两直线方
程可得
，
，即得
，再结合
可得斜率乘积为定值.
【详解】（1）如图所示，因为
为
的右焦点，则
，且椭圆左焦点为
，
所以
,
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，
，
联立
，得
，
，即
，
，
，
因为点
关于
轴的对称点为
，则直线
与直线
的斜率之和为0，
所以
，
即
，即
，
得
，即
，所以直线
过定点
，且
，
所以
，
即
，令
，
，
当且仅当
时，即
时，
面积的最大值为
.
（ii）因为
的垂直平分线方程为
，
即
①，同理
的垂直平分线方程为
②，
+
①②得，
，故
，
-
①②得，
，
所以
，即
，
所以
，故
，
又因为
，故
，
所以直线
与直线
的斜率之积是定值1.
4．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
中，直线与
交于
两点，
为
的焦点.当直
线为
时，
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标始终为1，求
的取值范围；
(3)已知直线
与
相交于
两点，直线
与
相交于
两点（点
在
轴的上方），若
，四边形
的外接圆圆心坐标为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解，
（2）联立方程可得韦达定理，根据中点坐标公式可求解
，进而根据焦半径公式，结合判别式即可得
解,
（3）写出
的坐标，根据
得
，根据对称性判断圆心位于
，即可根据两点距
离公式代入化简求解.
【详解】（1）由题意可知
，
联立直线
与
的方程可得
，
设
,则
,
由弦长公式可得：
,
化简可得
，由于
，故
，（负值舍去）.
故抛物线的方程为
.
（2）设直线
,
直线
与抛物线
联立可得
，
故
，
由于
，
故
，
因此
的取值范围为
（3）抛物线
与直线
相交于
故
，
抛物线
与直线
相交于
故
，
根据
可得
，
由于
轴，根据对称性可知四边形
的外接圆圆心
在
轴上，故
，
由
可得
，
化简可得
，
将
代入上式可得
，
由于
，可得
，故
，故
，
进而
.
5．（2026·湖南岳阳·一模）已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设椭圆
的左，右顶点分别为
，过
轴上的一点
作直线交椭圆
于
两点（异
于点
）.设直线
斜率为
，直线
斜率为
.
（i）求
（用表示）；
（ii）若
,
的面积为
,
的面积为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）利用离心率推得
，结合点在椭圆上得
，解得
，即得椭圆方程；
（2）（i）设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算
即可；（ii）利用（i）的结论结合
求得
，分别表示出
，借助于韦达定理和基本不等式
即可求得
的最大值.
【详解】（1）由题可知，
，化简得
，
又因为
在椭圆
上，则
，
联立解得
，故椭圆
的方程为
.
（2）（i）依题意，设直线
的方程为
，
则联立
，消去
得
其中
，即
，
设
，则
.
则
；
（ii）由（i）可得
，解得
，即
，
，且
.
因
，
，
则
令
，则
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
的最大值为
.
