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专题06 功和能 3 大考点概览 考点01 功 功率 考点02 动能和动能定理 考点03 机械能守恒定律 一、单选题 1．（2026·重庆·一模）国庆期间，重庆的无人机表演吸引了大量游客观赏。下列关于某匀速直线上升的无 人机的说法，正确的是（ ） A．所受合力为零 B．重力的功率为零 C．重力的冲量为零 D．机械能守恒 【答案】A 【详解】A．无人机匀速直线上升，合力为零，故A 正确； B．根据 因重力G，速度v，且重力的方向与速度的方向相反，夹角为 ，都不为零，故重力的功率不为零，故B 错误； C．根据 因重力G，运动的时间t，都不为零，故重力的冲量不为零，故C 错误； D．无人机匀速上升，速度不变，动能不变；高度增加，重力势能增加，故机械能增加，则机械能不守恒， 故D 错误。 故选A。 2．（2026·重庆·一模）2025 年5 月11 日亚洲举重锦标赛上，重庆举重运动员李霜包揽女子64 公斤级抓举、 挺举、总成绩三枚金牌。其中抓举105 公斤第一次试举就成功夺魁，如图所示。则该次抓举李霜对杠铃做 的功最接近于（ ） 考点1 功 功率 A．0.5kJ B．2kJ C．15kJ D．64kJ 【答案】B 【详解】设杠铃升高的高度约为h=2m，因此该次抓举过程中，李霜对杠铃做的功 故选B。 3．（2026·安徽合肥·一模）某电动汽车在平直路面上做性能测试，将运动简化处理后，其v－t 图像如图所 示。若整个过程中汽车受到的阻力恒定，则下列关于汽车牵引力F 及其功率P 随时间t 变化的图像可能正 确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．运动过程分三段：匀加速、匀速和匀减速 匀加速阶段：根据 ， 为定值， 匀速阶段： 匀减速阶段：根据 ， 为定值， AB 错误； CD． 阶段：牵引力 恒定，速度v 均匀增加。根据 ，功率P 随时间t 线性增加； 阶段：汽车做匀速运动，速度保持不变。牵引力 恒定，功率P 保持不变。所以功率P 是一条水平 直线； 阶段：牵引力 恒定，速度均匀减小，根据 ，功率P 随时间线性减小，直到 时刻速度为0。 在每段运动的衔接点处，因牵引力减小（从 减小到 ，从 减小到 ）功率会突变减小，导致图像不 连续，C 正确、D 错误。 故选C。 4．（2026·河南湘豫名校·一模）质量为 的物块静置于光滑水平地面上，物块静止时的位置为 轴 零点。现给物块施加一沿 轴正方向的水平力 ，其大小随位置 变化的关系如图所示，则物块运动到 处时， 的瞬时功率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图像可知物块运动到 处时， 做的总功为 该过程根据动能定理得 解得物块运动到 处时的速度为 故此时 做功的瞬时功率为 故选A。 5．（2026·浙江省金丽衢十二校·一模）图示为某自行车喷泉游乐设施，游客在设备上快速踩动自行车脚踏 板，通过设备系统驱动喷泉竖直向上喷发，喷出水柱的高低可随人踩脚踏速度的大小而变化，非常具有趣 味性。已知该设施的传动效率约为80%，喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4m2，水的密度为 1×103kg/m3，若喷出的竖直水柱高度约为5m，则游客踩脚踏板的功率约为（ ） A．12.5W B．25W C．125W D．250W 【答案】C 【详解】根据题意可得 解得喷头出水口水的速度为 喷头在∆t 时间内喷出水的质量为 所以游客踩脚踏板的功率约为 联立解得 故选C。 二、解答题 6．（2026·福建泉州·一模）2025 年亚洲皮划艇静水锦标赛中，中国队获得冠军。如图，皮划艇在第一次划 桨过程由静止开始做匀加速直线运动，经时间t=0.5s，速度大小v=2m/s。在此过程中： (1)求皮划艇加速度a 的大小； (2)已知运动员与皮划艇的总质量m=200kg，划桨的水平推力F=1000N，求皮划艇受到阻力f 的大小和推力 做的功W。 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）第一次划桨过程中，皮划艇的加速度大小为 （2）根据牛顿第二定律可得 解得 第一次划桨过程中，皮划艇的位移大小为 推力做的功为 联立，解得 一、单选题 1．（2026·山东泰安·一模）如图所示，水平地面上有一固定斜面，斜面与地面夹角为 。物块以180J 的 初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，当它再次回到斜面底端时动能为 ，则物块与斜面间的动摩擦因数 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点2 动能和动能定理 【详解】设物块沿斜面向上滑行的位移大小为x，则上滑过程根据动能定理有 下滑过程根据动能定理有 联立解得 故选B。 2．（2026·湖南·一模）一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为2l，在其中点 C 处固定一个质量为m 的小球，现使A 端不脱离墙面，B 端沿着光滑地面以速度v 向右匀速运动，当杆与 地面成 角时，则（ ） A．小球的速度大小为 B．小球做匀速圆周运动 C．当 时，杆对小球的作用力大小为 D．当 时，杆对小球做的功为 【答案】C 【详解】AB．轻杆AB 上的所有点，沿杆方向的分速度大小相等，由于B 点做匀速直线运动，所以当杆与 地面成α 角时，杆上所有点沿着杆方向的分速度均为vcosα，对于小球，它与墙角O 点间距时刻保持l，所 以运动轨迹为以O 点为圆心的圆，速度方向与OC 连线垂直，由图中几何关系得，小球在C 点速度方向与 杆的夹角为 ，沿杆方向的分速度为 ，则有 解得 可知则vC大小随α 改变，并非匀速圆周运动，故AB 错误； CD．分析可得杆对小球的作用力必须沿着竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即 解得 对小球运用动能定理，可得 解得 ，故C 正确，D 错误。 故选C。 二、解答题 3．（2026·广东广州六校·一模）如图所示，某体质训练比赛中，选手需要借助悬挂在高处 点的轻绳、静 止在水面上的浮台从左岸到达右岸。一选手（可视为质点）在左岸抓住绳，此时绳与竖直方向夹角 ， 然后由静止开始运动摆到最低点时选手处于浮台正上方，但脚恰好未与浮台接触，此时松手，选手落到浮 台后立即与浮台共速，一同向右侧岸边运动；当浮台速度减为原来的一半时，恰要撞上岸边，选手立即以 的速度水平向右跳离浮台，跳离瞬间浮台以 的速度水平向左运动。已知选手的质量 ，绳的长度 ，浮台向右移动时水的阻力 大小恒定，不计空气阻力，重力加速度 取 。 (1)求选手摆到最低点时对绳的拉力大小 ； (2)求浮台的质量 ； (3)若该过程浮台向右移动的距离 ，求其所受水的阻力大小 。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）选手开始运动至最低点过程，根据动能定理，有 解得 最低点时选手满足 解得 （2）选手落到浮台时，水平方向动量守恒 选手跳离浮台时，水平方向动量守恒 联立可得 ， （3）对人和浮台一起向右移动的过程，根据动能定理 解得 4．（2026·山东菏泽·一模）如图所示，轻质弹簧的左端固定在质量为2m 的小球B 上，右端与质量为2m 的小球C 接触但未拴接，B 和C 静止在光滑水平台面上，C 离水平台面右端点O 的距离为L，质量为m 的小 球A 以v0向右运动，与B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短。当C 运动到O 点时弹簧恰好恢复原长，沿水平抛 出，落入固定在水平地面上的竖直四分之一椭圆轨道内。O 为椭圆的中心，椭圆轨道半长轴为a，半短轴 为 ，三个小球A、B、C 均可看成质点，重力加速度为g，椭圆方程参考公式 。求： (1)A 与B 碰撞后B 球的速度大小vB； (2)C 运动到O 点的时间； (3)改变A 的初速度及L，C 落到椭圆轨道上的最小动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B 碰撞过程，设碰后A 的速度为 ，由系统动量守恒得 由系统机械能守恒得 解得 （2）B、C 和弹簧系统动量守恒，设任一时刻，B 球速度为 ，C 球的速度为 ，则有 经一微小段时间 ，有 对时间累积得 可得 解得 （3）设C 球平抛的初速度为 ，经时间 落到轨道上。根据平抛运动规律可得 ， 把以上两式带入椭圆方程得 即 平抛过程，对C 球用动能定理得 联立可得 根据基本不等式可知，当 ，即 C 落到椭圆轨道上的动能最小，为 5．（2026·重庆·一模）如图所示，足够长的水平传送带顺时针匀速转动，其左侧紧邻光滑轨道AMN，AM 倾斜、MN 水平，其右侧紧邻粗糙水平面PQ。初始时刻，小物块a 静置于AM 上，小物块b 静置于MN 上， 小物块c 静置于PQ 左端点P 处。现将a 由静止释放，a 与b 发生碰撞后粘在一起进入传送带，且ab 进入 传送带时的动能为 。ab 运动至P 处时以动能 与c 发生弹性碰撞，此后ab 与c 恰好未发生下一次碰撞。 从ab 与c 碰撞后至各自停止，ab 与c 各自运动的时间之比为 。已知a、b 质量均为m，重力加速度为 g，ab 与传送带及PQ 间的动摩擦因数相同。所有物块均可视为质点，M、N、P、Q 在同一水平线上，碰 撞时间、空气阻力及各连接处的能量损失不计。求： (1)传送带的速度大小； (2)a 释放时距MN 的高度； (3)c 的质量。 【答案】(1) (2) (3) 或 【详解】（1）设传送带的速度大小为u，由分析知，ab 与c 碰撞前已与传送带共速 由 解得 （2）设a 释放时距MN 的高度为，则a 下滑过程中由动能定理有 a、b 碰撞过程中由动量守恒定律有 又因为 联立解得 （3）取ab 质量为 ，c 质量为 ，ab 与c 发生弹性碰撞，则 ， 联立解得 ， 设ab 与c 在PQ 上匀减速的加速度大小分别为 、 ，由题中的时间、位置关系可得 或 且有 解得 或 因此c 的质量为 或 6．（2026·河南郑州·一模）如图，质量为 的长方体箱子在水平拉力作用下沿光滑水平面向右匀加 速运动。这时箱内一个质量为 的物块（可视为质点）恰能静止在后壁上。已知箱子初速度为零， 经 撤去拉力，物块沿后壁落到箱底且不反弹。此后箱子与右侧墙壁发生多次碰撞，每次碰撞之后， 箱子速度反向，且大小变为碰前的一半；整个过程，物块未与箱壁发生碰撞。已知物块与箱壁、箱底间的 动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 ，求： (1)箱子第一次与墙壁碰撞前瞬间速度的大小； (2)从箱子与墙壁第一次碰撞前瞬间到第二次碰撞前瞬间，箱子和物块组成的系统损失的机械能； (3)箱子长度的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对物块有 ， 又因为 解得 （2）设箱子与墙壁发生第二次碰撞前能与物块共速，速度为 从箱子与墙壁发生第一次碰撞反弹后，到箱子与物块共速，由动量守恒定律 解得 由对称性可知，箱子与物块共速时，箱子与墙壁恰好发生第二次碰撞。 箱子和物块组成的系统损失机械能为 解得 （3）从箱子与墙壁发生第一次碰撞反弹后，到箱子与物块共速，物块与箱子的相对位移为 ，则 解得 从箱子与墙壁发生第二次碰撞反弹后，到箱子与物块共速，由动量守恒定律 解得 此过程，物块与箱子的相对位移为 ，由能量守恒 解得 依次类推，从箱子与墙壁发生第 次碰撞反弹后，到箱子与物块共速，此过程，物块与箱子的相对位移为 则厢子长度的最小值 解得 一、单选题 1．（2026·甘肃·一模）如图所示，充满气的气球内装有少量的红墨水，用细绳扎住充气口后，将细绳两端 提起，并让两侧细绳缠绕在一起。用力向两侧拽细绳，发现红墨水随气球转动起来，在气球内壁上形成一 个水环。关于此现象，下列说法正确的是（ ） A．水环能转起来，是因为受到气球内壁的摩擦力 考点3 机械能守恒定律 B．气球内壁对水环的弹力沿水平面指向环心 C．随着气球旋转加快，水环位置上升时、水环的机械能保持不变 D．只要气球旋转得够快，水环可以上升到气球内壁的上半部分 【答案】A 【详解】AB．水环启动时，气球内壁对红墨水（水环）的摩擦力方向是沿气球内壁的切线方向，且与红墨 水相对气球内壁的运动趋势方向相反，即摩擦力在切线方向上推动了水环的运动，弹力和重力的合力提供 的向心力，故气球内壁对水环的弹力不是沿水平面指向环心，故A 正确，B 错误； D．水环只能在等效“赤道”以下区域稳定，无法上升到上半部分（因为若到上半部分弹力方向斜向下， 重力竖直向下，竖直方向不能平衡），故D 错误； C．随着气球旋转加快，水环位置上升时，半径增大，线速度增大，动能增大，重力势能增大，则水环的 机械能增大,故C 错误。 故选A。 2．（2026·广西桂林·一模）“平安北京，绿色出行”，地铁已成为北京的主要绿色交通工具之一。如图所 示为地铁安检场景，另一图是安检时的传送带运行的示意图，某乘客把一质量为m 的书包无初速度地放在 水平传运带的入口A 处，书包随传送带从出口B 处运出，入口A 到出口B 的距离为L，传送带始终绷紧并 以速度v 匀速运动，书包与传送带间的动摩擦因数为μ。对于书包由静止释放到相对传送带静止这一过程， 下列说法正确的是（ ） A．书包的动能变化量为 B．摩擦力对传送带做的功为 C．书包与传送带摩擦产生的热量为μmgL D．电动机增加的平均功率为 【答案】A 【详解】A．书包的最终速度为v，故动能变化量为 ，故选项A 正确； B．摩擦力对物块做的功为物块动能的增量 因为传送带的位移是 所以摩擦力对传送带做的功为 故选项B 错误； C．书包与传送带摩擦产生的热量 故摩擦生热小于μmgL 故选项C 错误； D．由能量守恒得，电动机增加功等于传送带克服摩擦力做功 。经历时间 平均功率 故选项D 错误。 故选A。 3．（2026·山东菏泽·一模）如图所示，虚线是物体A 做平抛运动的轨迹。实线是与虚线形状相同的光滑轨 道，小环B 从轨道顶端无初速下滑，A、B 质量相等。下列说法正确的是（ ） A．A、B 两物体到达底端时的速度相同 B．A、B 两物体到达底端所用时间相同 C．A、B 两物体到达底端时重力的瞬时功率相同 D．A、B 两物体整个运动过程中合外力做功相同 【答案】D 【详解】A． A 物体做的是平抛运动，有初始动能，而B 物体的初速度为0，初始动能为0，根据机械能守 恒，A、B 两物体初始高度相同，重力势能相同，根据机械能守恒定律，初始时A 物体的机械能大于B 物体 的机械能。A、B 两物体运动到达底端时机械能全部转化为动能，因此A 物体到达底端时的速度大于B 物体， 故A 错误； B．A 物体做的是平抛运动，在竖直方向的加速度为g，而B 物体做的不是平抛运动，因为轨道支持力的存 在，竖直方向的加速度小于g，所以两物体同时开始运动，运动时间不同，B 错误； C．A、B 两物体运动到达底端时，A 物体到达底端时的速度大于B 物体，但速度方向相同，故运动到达底 端时竖直方向分速度有 ，根据瞬时功率公式 可得A、B 两物体运动到达底端时重力的瞬时功率分别为 ， 因此 ，C 错误； D．A、B 两物体运动到达底端的过程中，B 物体受到轨道支持力与速度方向垂直不做功。A、B 两物体整个 运动过程中竖直方向位移相同且受到重力相同，因此A、B 两物体整个运动过程中合外力做功相同，D 正确。 故选D。 4．（2026·浙江省金丽衢十二校·一模）2025 年7 月12 日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球 馆开幕。如图甲所示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D 为同一轨迹上 等高的两点，A 为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是（ ） A．嗒嗒球从C 点经最高点A 到达D 点的过程中机械能守恒 B．嗒嗒球在最高点A 的加速度方向竖直向下 C．在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A 的动能最小 D．上升阶段CA 段的飞行时间小于下降阶段AD 段的运动时间 【答案】D 【详解】A．由轨迹图可知，嗒嗒球运动过程中受到空气阻力作用，且空气阻力做负功，所以机械能减小， 故A 错误； B．嗒嗒球在最高点A 时，受到重力和水平方向的空气阻力作用，合力方向不是竖直向下，所以加速度方 向不是竖直向下，故B 错误； C．嗒嗒球在最高点A 时，所受重力和空气阻力的合力方向斜向下偏左，此时合力方向与速度方向的夹角 大于 ，嗒嗒球继续做减速运动，所以最高点A 的动能不是最小，故C 错误； D．上升阶段空气阻力的竖直分力向下，下降阶段空气阻力的竖直分力向上，所以上升阶段竖直方向的平 均加速度大于下降阶段竖直方向的平均加速度，根据 可知，上升阶段CA 段的飞行时间小于下降 阶段AD 段的运动时间，故D 正确。 故选D。 二、多选题 5．（2026·山东泰安·一模）如图所示，某次舰载无人机降落演练，航母以速度 匀速航行，空中 某处的无人机速度为 ，方向与航母航行方向夹角为 向下，且二者速度方向在同一竖直面内。 无人机通过变速装置经过 将速度变化至与航母相同时恰好落到甲板上，变速过程中加速度恒定。已 知无人机质量 ， ，重力加速度为 ，则上述 的变速过程中（ ） A．无人机做匀变速直线运动 B．无人机做匀变速曲线运动 C．无人机机械能减少了13500J D．无人机机械能减少了17500J 【答案】BC 【详解】AB．无人机在变速过程中加速度恒定，速度方向发生了变化，所以无人机做匀变速曲线运动，A 错误，B 正确； CD．无人机速度为 ，方向与航母航行方向夹角为 向下，竖直方向的分速度 。 因加速度恒定，无人机在竖直方向上做匀变速运动，无人机下降的高度 无人机减小的重力势能 无人机减小的动能 无人机减少的机械能 解得 ，C 正确，D 错误。 故选BC。 6．（2026·广东广州六校·一模）如图甲所示，将一劲度系数为k 的轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质 量为m 的小物块，小物块距离地面高度为h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度 h 的关系如图乙所示，其中h4到h5间的图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速 度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A．小物块上升至高度h3时，弹簧形变量为0 B．小物块上升至高度h4时，加速度为g C．解除锁定前，弹簧的弹性势能为mgh5 D．小物块从高度h2上升到h4，弹簧的弹性势能减少 【答案】BD 【详解】A．小物块上升至高度h3时，动能最大，则此时弹簧弹力与重力平衡，弹簧形变量不为0，故A 错 误； B．因为h4到h5间的图像为直线，即小物块做匀减速直线运动，所以小物块上升至高度h4时，弹簧形变量 为零，弹簧恢复原长，小物块只受重力，加速度为g ，故B 正确； C．物块和弹簧组成的系统机械能守恒，可得解除锁定前，弹簧的弹性势能为 ，故C 错误； D．小物块从高度h2上升到h4，物块的动能先增大后减小，小物块速度先增大后减小，结合前面选项分析 可知，该过程弹簧一直处于压缩状态，弹簧在该过程中逐渐恢复原长，所以弹簧的弹性势能在减少，故D 正确。 故选BD。 7．（2026·河南郑州·一模）如图，光滑直角轻杆 固定在竖直面内， 水平， 点光滑。两个质量均 为 的小球 、 （可视为质点）分别套在 、 杆上，两球用长为 的轻绳连接。初始时， 球位于 点，给其一水平向右的初速度，当轻绳水平时， 球速度恰好为0。取重力加速度大小为 ，则在 球向 右运动过程中（ ） A． 、 两球组成的系统水平方向动量守恒 B． 、 两球组成的系统机械能守恒 C． 球初始速度为 D．轻绳对 球做功为 【答案】BD 【详解】A．轻杆光滑，a 球在水平方向无外力，但b 球在竖直杆上，杆对其有水平弹力是系统外力，则 a、b 两球组成的系统在水平方向的合力不为零，水平方向动量不守恒，故A 错误； B．由于轻杆光滑，系统只有重力做功，根据机械能守恒定律（在只有重力或弹力做功的物体系统内，动 能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变），可知a、b 两球组成的系统机械能守恒，故B 正确； C．当轻绳水平时，b 球速度恰好为0，因为沿着同一根轻绳的速度相等，则此时a 球的速度也为0；根据 系统机械能守恒有 解得 ，故C 错误； D．对b 球，根据动能定理 解得 即轻绳对 球做功为 ，故D 正确。 故选BD。 8．（2026·贵州贵阳·一模）固定在水平地面上的斜面顶端有一轻质定滑轮，一不可伸长的轻绳绕过定滑轮 并连接滑块a、b，如图所示。将滑块a 置于斜面顶端时，滑块b 与地面接触且轻绳伸直。现释放滑块a， 在滑块b 由地面上升到斜面顶端等高处的过程中，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（ ） A．重力对滑块a 做的功等于滑块a 动能的增加量 B．轻绳对滑块b 做的功大于滑块b 动能的增加量 C．滑块a 机械能的减少量等于滑块b 机械能的增加量 D．滑块a 重力势能的减少量等于滑块a、b 总动能的增加量 【答案】BC 【详解】A．滑块a 受到重力和轻绳拉力的作用，根据动能定理，滑块a 动能的增加量等于重力与拉力做功 的代数和，故A 错误； B．轻绳对滑块b 做的功等于滑块b 增加的动能与重力势能之和，故B 正确； C．因为不计一切摩擦，所以滑块a 和b 组成的系统机械能守恒，因此滑块a 机械能的减少量等于滑块b 机 械能的增加量，故C 正确； D．根据系统机械能守恒，滑块a 重力势能的减少量等于滑块a 动能的增加量、滑块b 动能的增加量以及滑 块b 重力势能的增加量之和，故D 错误。 故选BC。 9．（2026·广东深圳·一模）如图甲，质量为6kg 的小车静止在光滑水平面上，t＝0 时刻，木块从左端滑上 小车，木块和小车水平方向速度随时间变化的图像如图乙所示，g 取10 。下列说法正确的是（ ） A．小车的长度为5m B．小车上表面动摩擦因数为0.5 C．前2s 内产生的热量为15J D．前2s 内摩擦力对小车的冲量大小为6N·s 【答案】ACD 【详解】A．水平面光滑，木块和小车组成的系统水平方向动量守恒： 代入已知条件 ， ， ， 解得木块质量 。 图像的面积表示位移，0~2s 内： 木块位移 小车位移 2s 后两者都匀速，说明木块已经滑出小车，小车长度等于相对位移： 故A 正确。 B．对木块，由牛顿第二定律 木块加速度大小 ，得： 故B 错误。 C．摩擦产生的热量等于系统动能的损失： 代入数值计算得 故 C 正确。 D．对小车由动量定理，摩擦力的冲量等于小车动量变化： 故D 正确。 故选ACD。 三、解答题 10．（2026·福建泉州·一模）某兴趣小组对一简易缓冲装置进行性能测试，该装置由轻弹簧和足够长的轻 杆相连组成，轻杆可在墙壁上的槽内水平移动，如图所示。测试时，把小球A 用轻绳悬挂于O 点，在O 点 正下方的光滑水平面上静置一小物块B。拉起A 至轻绳水平由静止释放，A 摆到最低点时恰好与B 发生正 碰，碰后瞬间两者速度大小均为v=1.5m/s，A 向左运动，B 向右运动压缩弹簧，一段时间后使杆在槽内移 动。已知A 的质量mA=1kg，绳长L=0.45m，杆与槽间的最大静摩擦力fm=7.5N，滑动摩擦力等于最大静摩擦 力，弹簧劲度系数k=75N/m，其弹性势能Ep与形变量x 的关系式为 ，弹簧始终在弹性限度内，取 重力加速度大小g=10m/s2，A 与B 碰撞后不再相碰。求： (1)A 与B 碰撞前瞬间A 的速度大小； (2)轻杆开始移动时B 的加速度大小； (3)B 最终的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设A 与B 碰撞前瞬间A 的速度大小为 ，根据动能定理有 解得 （2）A 与B 碰撞时，动量守恒，取向右方向为正方向 由题意可知，当弹簧弹力 等于杆的最大静摩擦力 时，杆开始移动，即 对物块B，根据牛顿第二定律 联立，解得 （3）当轻杆开始运动时，有 由于杆的质量不计，弹簧弹力始终等于滑动摩擦力，杆开始运动后，物块B 将做匀减速直线运动，B 的速 度减为0 后，弹簧又将逐渐恢复原长，此时压缩的弹性势能转化为B 的动能，设最终B 的速度大小为 ， 则 联立，解得 11．（2026·甘肃·一模）某工程项目研究小组设计了如图所示的轨道模型。在距离地面高为h=1.8m 的光滑 水平面上固定一个半径R=0.8m 的四分之一光滑圆弧轨道，轨道右侧平滑衔接一个顺时针传送的传送带， 传送带长l=3m，传送速度为v=1m/s。将一个质量为m=0.01kg 的小物块（可视为质点）从圆弧轨道顶端由 静止释放，物块能从传送带右端滑出，并与地面发生碰撞，弹起最大高度H=0.45m，物块从离开传送带到 弹起至最大高度的过程中，总共用时t=1s。已知物块与传送带间的动摩擦因数为µ=0.3，不考虑空气阻力， 重力加速度g 取10m/s2。求： (1)物块即将滑离圆弧轨道时对轨道的压力大小； (2)物块在传送带上运动过程中摩擦产生的热量； (3)物块与地面碰撞过程中，地面对物块竖直方向的平均作用力大小。 【答案】(1)0.3N (2)0.045J (3)1N 【详解】（1）物块从光滑圆弧轨道下滑过程中，机械能守恒，有 解得 物块即将滑离圆弧轨道时，轨道的支持力和物块重力的合力提供向心力，有 根据牛顿第三定律有 联立可得 （2）物块滑上传送带时速度v1大于传送带速度v，物块做匀减速运动，假设物块滑离传送带前已和传送带 达到共速，达到共速所用时间为t1，根据运动学公式有 解得 假设达到共速前，物块相对地面滑行位移为x1，根据运动学公式有 故物块滑离传送带前已经与传送带达到共速，假设这段时间内，传送带的位移为x2，根据运动学公式有 摩擦产生的热等于 联立可得 （3）物块从传送带右端滑出后做平抛运动，设平抛运动时间为t2，落地瞬间的速度为v2，v2的竖直分量为 v2y，根据运动学公式有 ， 解得 ， 反弹后物块在竖直方向上做竖直上抛运动，设上升到最高点所用时间为t3，反弹速度为v3，v3的竖直分量 为v3y，根据运动学公式有 ， 解得 ， 物块与地面碰撞过程中，以竖直向上为正方向，根据动量定理有 联立可得 12．（2025·河南湘豫名校·一模）如图，长为 的轻绳一端固定在 点，另一端连接质量 的小球 。起始时小球 位于 点上方的 点， 与竖直方向夹角为 ，绳子恰好伸直，使小球 由静 止下落，当小球运动到最低点 时恰好与静置于足够长水平面 上质量为 的滑块 发生碰撞， 碰撞时间极短，且碰撞后滑块 的速度大小为 。足够长的水平面 上每间隔 铺设有 宽度为 的防滑带。滑块 与水平面 间的动摩擦因数为 ，滑块 与防滑带间的动摩擦 因数为 ，重力加速度大小 取 。求： (1)小球 与滑块 碰撞前瞬间速度的大小 ； (2)小球 与滑块 碰撞过程中损失的机械能； (3)滑块 从开始运动到静止的位移大小。 【答案】(1)8.0m/s (2)32J (3)12m 【详解】（1）小球从 点先做自由落体运动，当轻绳再次与竖直方向成 时绳子再次伸直，则根据自由 落体规律可得 解得 当绳子再次伸直以后，将以 为初速度开始做圆周运动，根据机械能守恒定律得 解得 。 （2）设 、 碰撞后瞬间 速度大小为 ，则根据动量守恒定律和能量守恒定律可得 ， 联立解得 。 （3）滑块 经过一个间隔 损失的动能为 经过一个防滑带 损失的动能为 而滑块 的总动能为 联立可得滑块经过间隔和防滑带数为 则滑块 从开始运动到静止运动的位移大小 。 13．（2026·贵州贵阳·一模）水平地面上有一质量 的滑板，其上表面为ABCD，其中圆弧段ABC 的 圆心为O、半径 ，OA 水平，B 点为圆弧最低点，OC 与OB 的夹角 ，CD 段水平，如图所示。 现锁定滑板，将一质量也为m、可视为质点的小球从A 点正上方3r 处的E 点无初速度释放。已知滑板在运 动过程中不会翻转，取重力加速度大小 ，不计一切摩擦和空气阻力。 (1)求小球通过最低点B 时的速度大小和受到的支持力大小。 (2)若解除对滑板的锁定，将该小球仍从E 点无初速度释放，小球从C 点离开滑板后，在空中运动一段时间 落到D 点。求： （ⅰ）小球通过最低点B 时的速度大小； （ⅱ）CD 段的长度。 【答案】(1)4m/s，90N (2)（ⅰ） （ⅱ） 【详解】（1）小球从E 点到B 点过程，根据机械能守恒有 小球在B 点有 联立解得 ， （2）若解除对滑板的锁定，小球进入A 点后，滑板将运动起来。 （i）小球从E 到B 的过程，系统水平方向动量守恒，设向右为正方向，设小球经过最低点时速度大小为 ， 滑板速度大小为 ，则有 由于不计一切摩擦和空气阻力，小球从E 到B 的过程也满足机械能守恒，则有 联立解得 （ii）小球从E 点运动到C 点满足水平方向动量守恒和机械能守恒，设小球到C 点时的速度大小为 ，以 地面为参考系，其在水平和竖直方向的分量分别为 ，滑板的速度大小为v，以向右为正方向，则有 根据能量守恒有 以滑板为参考系，则小球相对于滑板做圆周运动，小球到C 点时相对速度的方向沿圆弧切线方向，即与水 平方向成 。此时 在竖直方向的分量依然为 ，在水平方向的分量变为了相对速度 ，则有 ， 联立解得 ， 之后，小球从C 点离开滑板，在空中做斜抛运动，根据运动的分解有 ， 联立解得
