文档文本内容
专题06 功和能
考点分类
三年考情（2024-2026）
命题规律
考点1 功
与功率
2026 河北卷、2026 山东
卷、2026 黑吉辽卷、2025
山东卷、2025 海南卷、
2025 福建卷、2024 海南
卷、2024 贵州卷、2024 浙
江卷
真实情境深度渗透：以新能源汽车续航、国产
大飞机起降、山地自行车越野等生活化/科技
化场景为载体，不再使用纯理论裸模型出题，
要求学生从复杂场景中提炼能量转化规律。
综合关联属性突出：不再孤立考查功和能的基
础公式，会联动牛顿运动定律、曲线运动、电
“
磁感应等考点，强化动能定理+机械能守恒
+
”
能量守恒的综合链条考查。
能力导向持续强化：弱化机械繁琐的代数运
算，重点考查能量转化过程拆解、功能关系逻
辑推导能力，规避固化刷题套路，依靠深度思
维实现分数分层。
考点2 动
能和动能定
理
2026 河北卷、2026 黑吉辽
卷、2026 四川卷、2025 云
南卷、2025 贵州卷、2025
江西卷、2024 北京卷、
2024 河南卷、2024 安徽卷
考点3 机
械能守恒定
律
2026 湖北卷、2026 云南
卷、2026 贵州卷、2025 陕
西卷、2025 云南卷、2025
天津卷、2024 重庆卷、
2024 山东卷、2024 江苏卷
考点01 功与功率
1．（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能
进行了测试。在
时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从
加速到
，假定马
车所受阻力不变，则马车运动的
图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】马车以恒定功率运动，阻力
不变， 由功率公式
结合牛顿第二定律
整理得加速度
随着速度增大，恒定功率
不变，因此加速度
逐渐减小。
图像的斜率表示加速度，因此
图的斜率应逐渐减小，图像越来越平缓。
故选C。
2．（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为
的斜坡上，某同学最多能拉着质量为
的物体以恒定速度沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，
最多能拉着质量为
的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的
动摩擦因数为
，重力加速度大小为
，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】该同学拉着物体沿斜坡向上匀速运动时，拉力的功率等于物体克服重力与摩擦力做功的功率，则
穿戴装置前有
穿戴装置后有
所以拉力的功率的增加量为
故选A。
3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为
的物块在拉力
作用下，以初速度
由原点
出发，沿
轴依次经过
、
、
三点。已知
，物块与水平面间的动摩擦因数
为
，重力加速度为
，
，
随位置
的变化如图（b）所示。设物块经过
、
两点时
的
瞬时功率分别为
、
，经过
、
、
段
的平均功率分别为
、
、
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】根据题意，从
到
过程中，由动能定理有
解得
从
到
过程中，由动能定理有
解得
则有
，
则有
设经过
段的时间分别为
、
、
，物块在
阶段，拉力小于滑动摩擦力，随着拉力的
增大，做加速度减小的减速运动，速度由
减速到
，物块在
阶段，拉力大于滑动摩擦力，随着拉力
的增大，做加速度增大的加速运动，物体在
点的加速度大小为
点的加速度大小为
则有
由对称性可得
物体在
阶段做加速度减小的加速运动，则在
段的平均速度大于
段的平均速度，则有
根据
图像面积表做功，由图可知，经过
、
、
段
做功分别为
，
又有
、
、
可得
故选C。
4．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好
维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为
。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力
（k 为常量），该光伏电池的光电转换效率为
，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意小车匀速运动，则有
小车的机械功率
由于电动机的效率为
，则有
光伏电池的光电转换效率为
，即
可得
故选A。
5．（2025·海南·高考真题）（多选）一起重机将质量为m 的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为
a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（ ）
A．匀加速的最大速度为
B．集装箱的机械能增加
C．起重机的最大输出功率为
D．起重机对集装箱的作用力为
【答案】AC
【详解】A．匀加速的最大速度
，A 正确；
B．集装箱的动能增加量为
集装箱上升的高度
重力势能的增加量为
集装箱的机械能增加
，B 错误；
CD．对集装箱进行受力分析，集装箱受到重力mg 和起重机的拉力F，根据牛顿第二定律
可得起重机对集装箱的作用力
起重机的最大输出功率为
，C 正确，D 错误。
故选AC。
6．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m 的水平轨道OP 与光滑半圆形轨道PNM
在P 点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B 两小物块靠在一起，静置于轨道左端。
现用一水平向右推力F 作用在A 上，使A、B 向右运动。以x 表示A 离开初始位置的位移，F 随x 变
化的图像如图乙所示。已知A、B 质量均为0.2 kg，A 与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B 与水平
轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取
。
（1）求A 离开初始位置向右运动1 m 的过程中，推力F 做的功；
（2）求A 的位移为1 m 时，A、B 间的作用力大小；
（3）若B 能到达M 点，求半圆形轨道半径应满足的条件。
【答案】(1)1.5J
(2)0.5N
(3)
【详解】（1）求
，F 做的功
（2）对AB 整体，根据牛顿第二定律
其中
对B 根据牛顿第二定律
联立解得
（3）当A、B 之间的弹力为零时，A、B 分离，根据（2）分析可知此时
此时
过程中，对A、B 根据动能定理
根据题图可得
从
点到
点，根据动能定理
在
点的最小速度满足
联立可得
即圆弧半径满足的条件
。
7．（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024 年4 月30 日在东风着陆场成功着陆，在飞
船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【详解】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A 正确，B 错误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C 错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D 错误。
故选A。
8．（2024·贵州·高考真题）质量为
的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x 轴零点。
现给物块施加一沿x 轴正方向的水平力F，其大小随位置x 变化的关系如图所示，则物块运动到
处，
F 做功的瞬时功率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据图像可知物块运动到
处，F 做的总功为
该过程根据动能定理得
解得物块运动到
处时的速度为
故此时F 做功的瞬时功率为
故选A。
9．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为
，喷水速度约为10m/s，水的
密度为
kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W
B．20W
C．100W
D．200W
【答案】C
【详解】设
时间内从喷头流出的水的质量为
喷头喷水的功率等于
时间内喷出的水的动能增加量，即
联立解得
故选C。
10．（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如
图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约
为l。假设抽水过程中H 保持不变，水泵输出能量的
倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水
的密度为
，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设水从出水口射出的初速度为
，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
根据平抛运动规律
解得
根据功能关系得
联立解得水泵的输出功率为
故选B。
【点睛】
11．（2024·江西·高考真题）庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150m，水流量
10m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，则发电功率为（ ）
A．109W
B．107W
C．105W
D．103W
【答案】B
【详解】由题知，Δt 时间内流出的水量为
m = ρQΔt = 1.0×104Δt
发电过程中水的重力势能转化为电能，则有
故选B。
12．（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的
利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，
两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角
为
，
，
。当每条绳子拉力
的大小为
时，人与木板沿直线匀速前进，在
内前进了
，
求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
【答案】(1)450N
(2)9.0×103J
(3)600W
【详解】（1）由于木板匀速运动则有
解得
（2）根据功的定义式有
解得
（3）根据功率的定义
，有
考点02 动能和动能定理
1．（2026·河北·高考真题）为清除太空碎片对航天器的潜在威胁，某兴趣小组提出一种设想。如图所示，
一质量为
的太空碎片绕地球做半径为的匀速圆周运动，在
点受到一个与其速度方向垂直且背离地心
向外的瞬时冲量
作用、变轨到图中的椭圆轨道，最终进入大气层而烧毁，设地球质量为
，引力常量为
、则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设太空碎片做匀速圆周运动的速度为
，根据万有引力提供向心力有
解得
则碎片受到冲量前的初始动能为
碎片在Q 点受到瞬时冲量I 作用，获得一个垂直于原速度方向的分速度，根据动量定理
可得其大小为
由于冲量方向（背离地心向外，即径向）与原速度方向垂直，根据矢量合成法则（勾股定理），作用后的
合速度v 的平方为
则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为
故选B。
2．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为
的木板上放有一个质量为
的机器人，木板始终受到
水平向右、大小为
的恒力作用。初始时木板与机器人一起以
的速度沿水平地面向右匀速运动。机
器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为
的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上
提起，
后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。
取
，机器
人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求
(1)机器人被提起的
内，木板位移的大小。
(2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，设木板与地面间的摩擦因数为
，则有
解得
机器人被提起时，对木板有
解得
机器人被提起的2s 内，木板位移的大小
（2）机器人被放回木板时，木板的速度为
机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动
量守恒定律有
解得
对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功
3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）某科研机构设计了模拟月球重力环境的实验塔，简化模型如图所示。在
竖直向上的电磁力
的驱动下，质量
的实验舱由静止开始沿塔身竖直向上做匀加速直线
运动，上升
时，立即减小电磁力，使实验舱向上做匀减速直线运动。减速过程中，舱内水平台
面上的设备所受支持力为其重力的
，从而模拟月球重力环境。不计摩擦力与空气阻力，取重力加速度
。求上升过程中
(1)实验舱的最大速度
；
(2)舱内处于模拟的月球重力环境的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）加速阶段，由动能定理有
解得
（2）减速阶段，由动量定理得
解得
4．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机
通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为
。
电动机以恒定功率P 拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，
大小为
。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。
则这段时间内（ ）
A．物块的位移大小为
B．物块机械能增量为
C．小车的位移大小为
D．小车机械能增量为
【答案】C
【详解】A．对物块根据牛顿第二定律有
解得
根据运动学公式有
解得物块的位移大小为
故A 错误；
B．物块机械能增量为
故B 错误；
C．对小车根据动能定理有
其中
联立解得
故C 正确；
D．小车机械能增量为
故D 错误。
故选C。
5．（2025·云南·高考真题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐
渐加速到144km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（ ）
A．4×105J
B．4×104J
C．4×103J
D．4×102J
【答案】B
【详解】高中生的质量约为50kg，根据动能定理有
故选B。
6．（2025·贵州·高考真题）（多选）如图（a），一竖直固定的透明塑料管内固定有6 个小磁铁，相邻磁
铁同极靠近、间距很小，取距离最上端的小磁铁
极
处为坐标原点
轴正方向竖直向下。将一内
径略大于塑料管外径的金属环套在塑料管上，在
点处由静止释放，金属环的速度一位置图像如图（b）
所示。已知金属环的质量为35.9g，取重力加速度大小为
，不计摩擦和空气阻力，则下落过程中，
金属环（ ）
A．在
内所受安培力方向竖直向上
B．在
内所受安培力方向竖直向下
C．在
内克服安培力做的功为
D．在
内感应电流方向为顺时针方向（从上向下看）
【答案】AC
【详解】AD．在
内，由图（a）可知，穿过金属环的磁通量向下增大，根据楞次定律可知，
感应电流产生的磁场方向向上，由安培定则可知，感应电流方向为逆时针方向（从上向下看）；根据楞次
定律“来拒去留”推论可知，金属环所受安培力方向竖直向上，故A 正确，D 错误；
B．在
内，穿过金属环的磁通量向上减小，根据楞次定律结合安培定则可知，感应电流方
向为逆时针（从上向下看），根据楞次定律“来拒去留”推论可知，金属环所受安培力方向竖直向上，故
B 错误；
C．由图（b）可知，在
内金属环的动能变化为0，根据动能定理可得
可得克服安培力做的功为
，故C 正确。
故选AC。
7．（2025·江西·高考真题）（多选）每逢端午节，江西各地常会举办热闹非凡的赛龙舟活动。利用与某龙
舟同方向匀速直线飞行的无人机跟踪拍摄，发现在某段时间内该龙舟做匀加速和匀减速交替的周期性直线
运动。若以无人机为参考系，该龙舟在
时间内速度由0 增加到
（划桨阶段），再经历
时间
速度减为0（未划桨阶段），则关于这段时间内该龙舟的位置x、速度v、加速度a、动能
与时间t 的关
系，下列图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】A．位移时间图像斜率代表速度，所以斜率先增大后减小，再增大再减小，故A 正确；
B．龙舟在
时间内速度由0 增加到
（划桨阶段），再经历
时间速度减为0，速度方向始终为
正向，故B 正确；
C．因为是匀加速和匀减速，所以加速度在
时间内是不变的，后0.6s 内也是不变的，故C 错误；
D．根据
可知，前
开口向上，故D 错误。
故选AB。
8．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角
的屋顶上的
点由静止开始下滑，滑到A
点后离开屋顶。O、A 间距离
，A 点距地面的高度
，雪块与屋顶的动摩擦因数
。
不计空气阻力，雪块质量不变，取
，重力加速度大小
。求：
(1)雪块从A 点离开屋顶时的速度大小
；
(2)雪块落地时的速度大小
，及其速度方向与水平方向的夹角
。
【答案】(1)5m/s
(2)8m/s，60°
【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理
代入数据解得雪块到A 点速度大小为
（2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理
代入数据解得雪块到地面速度大小
速度与水平方向夹角
，满足
解得
9．（2025·广东·高考真题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随
后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从
0 时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f 随位移大小x 的
变化关系为
，其中
为常量，h 为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为
a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为
且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。（提
示：可用
图线下的“面积”表示f 所做的功）求：
(1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度
。
(2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
(3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P 随时间t 变化的表达式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式
根据角速度和线速度的关系
联立可得
（2）根据题意画出木塞摩擦力与运动距离的关系图如图所示
可得摩擦力对木塞所做的功为
对木塞，根据动能定理
解得
（3）设开瓶器对木塞的作用力为
，对木塞，根据牛顿第二定律
速度
位移
开瓶器的功率
联立可得
10．（2024·北京·高考真题）水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传
送带一起匀速运动。下列说法正确的是（ ）
A．刚开始物体相对传送带向前运动
B．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力
C．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功
D．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长
【答案】D
【详解】A．刚开始时，物体速度小于传送带速度，则物体相对传送带向后运动，A 错误；
B．匀速运动过程中，物体与传送带之间无相对运动趋势，则物体不受摩擦力作用，B 错误；
C．物体加速，由动能定理可知，摩擦力对物体做正功，C 错误；
D．设物体与传送带间动摩擦因数为μ，物体相对传送带运动时
做匀加速运动时，物体速度小于传送带速度则一直加速，由
可知，传送带速度越大，物体加速运动
的时间越长，D 正确。
故选D。
11．（2024·安徽·高考真题）某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h 的粗糙斜
坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大小为g，
不计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】人在下滑的过程中，由动能定理可得
可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为
故选D。
12．（2024·新疆河南·高考真题）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以
进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平
离开甲板时的动能变为调整前的4 倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离
为调整前的（ ）
A．0.25 倍
B．0.5 倍
C．2 倍
D．4 倍
【答案】C
【详解】动能表达式为
由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4 倍，则离开甲板时速度变为调整前的2 倍；小车离
开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据
可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2 倍。
故选C。
13．（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别
从
、
高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O 处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与
无关
D．甲最终停止位置与O 处相距
【答案】ABD
【详解】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A 正确；
B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块交换
速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B 正确；
C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有
在水平面运动一段时间t2后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t3，乙运动的时间为
由于t1与
有关，则总时间与
有关，故C 错误；
D．乙下滑过程有
由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；则
如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有
联立可得
即发生碰撞后甲最终停止位置与O 处相距
，故D 正确。
故选ABD。
14．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度
，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与
其水平相切，滑板质量
，一质量为
的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑上滑板，
当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行
停下。游
客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为
，忽略空气阻力，重力加速度
，
求：
（1）游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设游客滑到b 点时速度为
，从a 到b 过程，根据机械能守恒
解得
在b 点根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律得游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小为
（2）设游客恰好滑上平台时的速度为，在平台上运动过程由动能定理得
解得
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一直做减
速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为
和
，得
根据运动学规律对游客
解得
该段时间内游客的位移为
滑板的位移为
根据位移关系得滑板的长度为
15．（2024·新疆河南·高考真题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重
物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一
人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量
，
重力加速度大小
，当P 绳与竖直方向的夹角
时，Q 绳与竖直方向的夹角
（1）求此时P、Q 绳中拉力的大小；
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度
，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物
做的总功。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q 绳中拉力的大小分别为
和
，竖直方向
水平方向
联立代入数值得
，
（2）整个过程根据动能定理得
解得两根绳子拉力对重物做的总功为
【点睛】
考点03 机械能守恒定律
1．（2026·湖北·高考真题）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以
点为
圆心、
为半径的
圆弧，圆弧最高点与
点等高。救援队从
点以大小为
的初速度向该山
沟投掷救援物资，其中
是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，
要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（ ）
A．在空中运动的时间为
B．与水平方向成
角斜上抛
C．抛出点与落点的高度差为
D．落到圆弧上的最小速率为
【答案】AD
【详解】ACD．设落点与O 点的竖直高度为h，水平位移为
，初速度与水平方向的夹角为
，将初速度
沿水平和竖直方向分解，可得
，
同时有
联立可得
设落到圆弧上的速度为，根据机械能守恒
解得
故可知
越小，v 越小，故当
时，h 取最小值，落到圆弧上的速度最小；
解得
，
，
，故AD 正确，C 错误；
B．根据前面分析，当
，
时，
代入解得
，
，故B 错误。
故选AD。
2．（2026·贵州·高考真题）如图，完全相同的均质小球A、B 被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平
面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为
和
，A 被拉至与竖直方向成
的位置并由静止
释放，随后与B 发生弹性正碰。忽略空气阻力，B 的球心上升的最大高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设A、B 小球的质量均为
，忽略空气阻力，则A 从静止释放至与B 发生碰撞前瞬间，由动能定
理可得
A 球与B 球碰撞过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
可得
由于
所以从碰撞后至下次碰撞前，B 做圆周运动，设B 的球心上升的最大高度为h，则对B 从碰后至上升到最
大高度的过程，由动能定理可得
解得
故选A。
3．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为
的
足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为
、
。质量为
的小物块甲放置在左侧倾斜轨道
上高
处、质量为
的小物块乙静止在水平轨道上，乙到
、
两点的距离均为
。现静止释放甲，所有
碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为
，不计空气阻力。
(1)求甲第一次到达
点时的速度大小。
(2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。
(3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求
满足的关系
式（不求具体数值）。
【答案】(1)
(2)
(3)当0＜k≤1 时，k3+3k2+35k﹣31＞0
当1＜k＜3 时，3k3+k2+25k﹣37＜0
当k＞3 时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0
【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理
解得
（2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为
，乙速度为
，取向右为正方向，由动量守恒和机械能
守恒
，
解得乙弹性碰撞后速度
对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化
代入
，得
（3）碰后甲的速度
，乙的速度
；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需
对k 的取值进行分情况讨论：
①当0＜k≤1 时，碰后甲、乙均向右运动且v2＞v1≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，
设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有
解得
需满足在甲到达B 点前相遇，即
，代入速度化简得k3+3k2+35k﹣31＞0
②当k＞1 时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v2＞|v1|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，
设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有
解得
需满足在甲到达A 点前追及，即
，化简得3k3+k2+25k﹣37＜0
若k＞3，则|v1|＞v2，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移
关系有
解得
需满足在乙到达B 点前追及，即
，化简得k3﹣21k2+19k﹣23＞0
综上所述，k 满足的关系式为
当0＜k≤1 时，k3+3k2+35k﹣31＞0
当1＜k＜3 时，3k3+k2+25k﹣37＜0
当k＞3 时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0
4．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运
动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速
度取10m/s2）（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
【答案】B
【详解】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能
守恒定律有
可得其理论的最大高度
故选B。
5．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）（多选）如图，与水平面成
夹角且固定于O、M 两点的硬直杆上套
着一质量为
的滑块，弹性轻绳一端固定于O 点，另一端跨过固定在Q 处的光滑定滑轮与位于直杆上P
点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ 为
且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦
力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F 的大小与其伸长量x 满足
。
，g 取
，
。则滑块（ ）
A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为
B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同
C．从释放到静止的位移大小为
D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为
【答案】AC
【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ 间夹角为
时，对滑块进行受力分析，如图所示
在垂直杆方向有
由胡克定律结合几何关系有
联立解得
可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为
故A 正确；
B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的
冲量不相同，故B 错误；
C．设滑块从释放到静止运动的位移为
，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0
时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为0 时，有
由几何关系可得
此时
则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0 时，有
解得
此时
此时
则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为
，故C 正确；
D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为
，由能量守恒定律有
解得
故D 错误。
故选AC。
6．（2025·云南·高考真题）（多选）如图所示，倾角为
的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k 的轻质
弹簧，弹簧处于原长时下端位于O 点。质量为m 的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数
。
过程I：Q 以速度
从斜面底端P 点沿斜面向上运动恰好能滑至O 点；过程Ⅱ：将Q 连接在弹簧的下端并
拉至P 点由静止释放，Q 通过M 点（图中未画出）时速度最大，过O 点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限
度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．P、M 两点之间的距离为
B．过程Ⅱ中，Q 在从P 点单向运动到O 点的过程中损失的机械能为
C．过程Ⅱ中，Q 从P 点沿斜面向上运动的最大位移为
D．连接在弹簧下端的Q 无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M 点）之间
【答案】CD
【详解】A．设
的距离为
，过程I，根据动能定理有
设
的距离为
，过程Ⅱ中，当Q 速度最大时，根据平衡条件
P、M 两点之间的距离
联立可得
故A 错误；
B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q 在从P 点单向运动到O 点的过程中Q 和弹簧组成的系统损失的机械
能为
结合
可得
但在过程Ⅱ中单独对于Q 而言机械能是增加的，故B 错误；
C．设过程Ⅱ中，Q 从P 点沿斜面向上运动的最大位移
，根据能量守恒定律
结合
解得
故C 正确；
D．无论Q 从何处释放，Q 在斜面上运动过程中，弹簧与Q 初始时的势能变为摩擦热，当在
点时，满足
当在
点时，满足
所以在OM（含O、M 点）之间速度为零时，Q 将静止，故D 正确。
故选CD。
7．（2025·天津·高考真题）如图所示，半径为R = 0.45m 的四分之一圆轨道AB 竖直固定放置，与水平桌
面在B 点平滑连接。质量为m = 0.12kg 的玩具小车从A 点由静止释放，运动到桌面上C 点时与质量为M
= 0.18kg 的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m 至D 点停止。A 点至C 点
光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g 取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小车运动至圆轨道B 点时所受支持力FN的大小；
(2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v 的大小；
(3)组合体与水平桌面CD 间的动摩擦因数μ 的值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小车运动至圆轨道B 点时的速度大小为
，由机械能守恒定律，有
由牛顿第二定律，有
代入数据，联立解得
（2）小车与物块在C 点碰撞，在水平方向由动量守恒，有
代入数据，联立解得
（3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C 点匀减速运动至D 点静止，由动能定理，有
代入数据，联立解得
8．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
9．（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q 分别为轨
道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b 用
轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由下落，无能
量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到
时，
b 解除锁定开始运动。已知a 的质量
，b 的质量
，方形物体的质量
，重力加速
度大小
，弹簧的劲度系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【答案】(1)
，水平向左，
，水平向右
(2)
，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到
处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得
，
即小球速度为
，方向水平向左，大物块速度为
，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a 正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块
水平方向上动量
守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为
时物块
的固定解除，此时小球和物块
的速度为
，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得
，
固定解除之后，小球、物块
和物块
组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动
量守恒定律有
解得
，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
10．（2025·浙江·高考真题）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R 的竖直螺旋轨道、
水平轨道BC 和
、倾角为
的倾斜直轨道EF 平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF 段轨道粗糙外，
其余各段均光滑，F 点与水平高台GHI 等高。游戏开始，一质量为m 的滑块1 从轨道AB 上的高度h 处静
止滑下，与静止在C 点、质量也为m 的滑块2 发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3
落在GH 段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H 点右侧，立即停止运动。已知
，EF 段长度
，FG 间距
，GH 间距
，HI 间距
，EF 段
。滑块1、2、3 均可视为质点，不计空气阻力，
，
。
(1)若
，求碰撞后瞬间滑块3 的速度大小
；
(2)若滑块3 恰好能通过圆轨道
，求高度h；
(3)若滑块3 最终落入I 点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。
【答案】(1)
(2)2m
(3)2.5m 或2m
【详解】（1）对滑块1 由动能定理
解得滑块1 与滑块2 碰前的速度大小为
滑块1 与滑块2 碰撞过程中，由动量守恒定律
解得碰撞后瞬间滑块3 的速度大小为
（2）在轨道D 点，由牛顿第二定律
解得
滑块3 从D 点到C＇点，由机械能守恒定律
解得
结合
，
联立解得
（3）滑块3 从C＇点到F 点的过程中，由动能定理
若滑块3 直接落入洞中，则竖直方向
水平方向
结合
，
联立解得
若经一次反弹落入洞中，则
水平方向
结合
，
联立解得
由计算结果
，可知滑块在斜轨道上高度为
处开始下滑，是滑块能通过圆轨道最高点的最小
高度，因此
是滑块开始下滑到在GH 经一次反弹落入洞中。因此小问3 的答案是
或
。
11．（2024·重庆·高考真题）2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器
的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（ ）
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g = 9.8m/s2
【答案】C
【详解】A．组合体在减速阶段有加速度，合外力不为零，故A 错误；
B．组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B 错误；
C．组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C 正确；
D．月球表面重力加速度不为9.8m/s2，故D 错误。
故选C。
12．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连
接。一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点
C。下列说法正确的是（ ）
A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆
轨道的半径为r，由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的速度
AB 错误；
C．由牛顿第二定律得
解得物体在C 点的向心加速度
C 正确；
D．由能量守恒定律知，物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点时的动能和重力势能之和，D 错误。
故选C。
13．（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木
板通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为
μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x 为绳的伸长量）。现用水平力F 缓慢拉动乙所坐木
板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不变，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有
解得弹性绳的伸长量
则此时弹性绳的弹性势能为
从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
则由功能关系可知该过程F 所做的功
故选B。
14．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m 的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A．在Q 点最大
B．在Q 点最小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处（
点）与圆环的作用力恰好为零，
如图所示
设图中夹角为
，从大圆环顶端到
点过程，根据机械能守恒定律
在
点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到
点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从
点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为
，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为
，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知
的大小在
时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
力大小先减小后增大。
故选C。
15．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B 分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A 左右端相连，
整个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（ ）
A．弹簧恢复原长时，A 的动能达到最大
B．弹簧压缩最大时，A 的动量达到最大
C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加
D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加
【答案】A
【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧恢复原长时得
联立得
故可知弹簧恢复原长时物体A 速度最大，此时物体A 的动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直为零，
系统机械能不变。
故选A。
16．（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m 的足球从水平地面上位置1 被踢出后落在位置3，在空中
达到最高点2 的高度为h，则足球（ ）
A．从1 到2 动能减少
B．从1 到2 重力势能增加
C．从2 到3 动能增加
D．从2 到3 机械能不变
【答案】B
【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1 到2 重力势能增
加
，则1 到2 动能减少量大于
，故A 错误，B 正确；
CD．从2 到3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于
，故CD 错误。
故选B。
17．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于
轨道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B
正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R
= 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【答案】(1)4 m/s
(2)11.2 N
【详解】（1）根据题意，设小球A 从最低点开始运动时的速度为v0，由动量定理有
设与B 碰前瞬间A 的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有
联立代入数据解得
（2）A 与用轻绳悬挂的静止小球B 正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
18．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的两点，M 的正下方有不可伸长的
轻质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长与M
到地面的距离均为10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向于B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A 与地面
间摩擦因数为
，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损
失。
(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋转2 圈，经过M 正下方时
细绳子断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B 碰后瞬间的速度与（2）问中
的相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下的时细绳断开，求MN 之间距离的范围，及在n 的所有取值中，B 落
在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)
（n = 1，2，3，…），
，
【详解】（1）碰后B 能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B 的最小速度大小为v0，最高点
速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有
B 从最低点到最高点由动能定理可得
解得
（2）A 和B 碰撞过程中动量守恒，设碰前A 的速度大小为v1碰后A 的速度大小为v2。碰后B 的速度大小为
v3，则有
2mv1 = 2mv2＋mv3
碰后A 减速到0，有
碰后B 做两周圆周运动，绳子在MN 间缠绕2 圈，缩短4a，在M 点正下方时，离M 点6a，离地面4a，此
时速度大小为v4，由功能关系得
B 随后做平抛运动，有
L = v4t
解得
（3）设MN 间距离为h，B 转n 圈后到达M 正下方速度大小为v5，绳缩短2nh，绳断开时，以M 为圆心，
由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
以N 为圆心，由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
从碰后到B 转n 圈后到达M 正下方，由功能关系得
（n = 1，2，3，…）
解得
（n = 1，2，3，…）
绳断后，B 做平抛运动，有
（n = 1，2，3，…）
s = v5t
可得
（n = 1，2，3，…）
由于
（n = 1，2，3，…）
则由数学分析可得
当
时，
当n = 1 时，
，
19．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径
，重力加速度大小
。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a 与F 对应
关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力
，当小物块到P 点时撤去
F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q 点由合力提供向心力有
代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N 时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知
根据图乙有
当外力
时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
，
，
（ii）由图乙可知，当
时，轨道的加速度为
，小物块的加速度为
当小物块运动到P 点时，经过t0时间，则轨道有
小物块有
在小物块到P 点到从Q 点离开轨道的过程中系统机械能守恒有
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
其中，小物块离开Q 点时的速度
,
为此时轨道的速度。联立解得
(舍去）
根据运动学公式有
代入数据解得
