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专题 06 功和能
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
2026河北卷、2026山东
卷、2026黑吉辽卷、2025
考点1 功 真实情境深度渗透：以新能源汽车续航、国产
山东卷、2025海南卷、
与功率
大飞机起降、山地自行车越野等生活化/科技
2025福建卷、2024海南
化场景为载体，不再使用纯理论裸模型出题，
卷、2024贵州卷、2024浙
要求学生从复杂场景中提炼能量转化规律。
江卷
综合关联属性突出：不再孤立考查功和能的基
2026河北卷、2026黑吉辽
础公式，会联动牛顿运动定律、曲线运动、电
考点2 动
卷、2026四川卷、2025云 磁感应等考点，强化“动能定理+机械能守恒
能和动能定
理 南卷、2025贵州卷、2025 +能量守恒”的综合链条考查。
江西卷、2024北京卷、 能力导向持续强化：弱化机械繁琐的代数运
2024河南卷、2024安徽卷 算，重点考查能量转化过程拆解、功能关系逻
辑推导能力，规避固化刷题套路，依靠深度思
2026湖北卷、2026云南
考点3 机 维实现分数分层。
卷、2026贵州卷、2025陕
械能守恒定
西卷、2025云南卷、2025
律
天津卷、2024重庆卷、
2024山东卷、2024江苏卷
考点01 功与功率
1．（2026·河北·高考真题）我国科技爱好者复原了春秋战国时期带有刃车軎（wéi）的马车；并对其性能
进行了测试。在 时间内，若马车以恒定功率在水平路面上沿直线运动，速度从 加速到 ，假定马
车所受阻力不变，则马车运动的 图像可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】马车以恒定功率运动，阻力 不变， 由功率公式
结合牛顿第二定律
整理得加速度
随着速度 增大，恒定功率 不变，因此加速度 逐渐减小。
图像的斜率表示加速度，因此 图的斜率应逐渐减小，图像越来越平缓。
故选C。
2．（2026·山东·高考真题）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如图所示，在倾角为
的斜坡上，某同学最多能拉着质量为 的物体以恒定速度 沿斜坡向上运动；穿戴“外骨骼机器人”后，
最多能拉着质量为 的物体仍以相同的速度沿斜坡向上运动，绳子始终平行于斜坡，物体与斜坡之间的
动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 ，则该同学穿戴装置后，拉力的功率增加了（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【详解】该同学拉着物体沿斜坡向上匀速运动时，拉力的功率等于物体克服重力与摩擦力做功的功率，则
穿戴装置前有
穿戴装置后有
所以拉力的功率的增加量为
故选A。
3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为 的物块在拉力 作用下，以初速度
由原点 出发，沿 轴依次经过 、 、 三点。已知 ，物块与水平面间的动摩擦因数
为 ，重力加速度为 ， ， 随位置 的变化如图（b）所示。设物块经过 、 两点时 的
瞬时功率分别为 、 ，经过 、 、 段 的平均功率分别为 、 、 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】根据题意，从 到 过程中，由动能定理有
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学科网（北京）股份有限公司解得
从 到 过程中，由动能定理有
解得
则有 ，
则有
设经过 段的时间分别为 、 、 ，物块在 阶段，拉力小于滑动摩擦力，随着拉力的
增大，做加速度减小的减速运动，速度由 减速到 ，物块在 阶段，拉力大于滑动摩擦力，随着拉力
的增大，做加速度增大的加速运动，物体在 点的加速度大小为
点的加速度大小为
则有
由对称性可得
物体在 阶段做加速度减小的加速运动，则在 段的平均速度大于 段的平均速度，则有
根据 图像面积表做功，由图可知，经过 、 、 段 做功分别为 ，
又有 、 、
可得
故选C。
4．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好
维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为 。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力
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学科网（北京）股份有限公司（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为 ，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意小车匀速运动，则有
小车的机械功率
由于电动机的效率为 ，则有
光伏电池的光电转换效率为 ，即
可得
故选A。
5．（2025·海南·高考真题）（多选）一起重机将质量为m的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为
a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（ ）
A．匀加速的最大速度为
B．集装箱的机械能增加
C．起重机的最大输出功率为
D．起重机对集装箱的作用力为
【答案】AC
【详解】A．匀加速的最大速度 ，A正确；
B．集装箱的动能增加量为
集装箱上升的高度
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学科网（北京）股份有限公司重力势能的增加量为
集装箱的机械能增加 ，B错误；
CD．对集装箱进行受力分析，集装箱受到重力mg和起重机的拉力F，根据牛顿第二定律
可得起重机对集装箱的作用力
起重机的最大输出功率为 ，C正确，D错误。
故选AC。
6．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM
在P点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。
现用一水平向右推力F作用在A上，使A、B向右运动。以x表示A离开初始位置的位移，F随x变
化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为0.2 kg，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B与水平
轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取 。
（1）求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，推力F做的功；
（2）求A的位移为1 m时，A、B间的作用力大小；
（3）若B能到达M点，求半圆形轨道半径应满足的条件。
【答案】(1)1.5J
(2)0.5N
(3)
【详解】（1）求 ，F做的功
（2）对AB整体，根据牛顿第二定律
其中
对B根据牛顿第二定律
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学科网（北京）股份有限公司联立解得
（3）当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据（2）分析可知此时
此时
过程中，对A、B根据动能定理
根据题图可得
从 点到 点，根据动能定理
在 点的最小速度满足
联立可得
即圆弧半径满足的条件 。
7．（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞
船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【详解】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
故选A。
8．（2024·贵州·高考真题）质量为 的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。
现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到 处，
F做功的瞬时功率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据图像可知物块运动到 处，F做的总功为
该过程根据动能定理得
解得物块运动到 处时的速度为
故此时F做功的瞬时功率为
故选A。
9．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 ，喷水速度约为10m/s，水的
密度为 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W B．20W C．100W D．200W
【答案】C
【详解】设 时间内从喷头流出的水的质量为
喷头喷水的功率等于 时间内喷出的水的动能增加量，即
联立解得
故选C。
10．（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如
图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约
为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的 倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水
的密度为 ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设水从出水口射出的初速度为 ，取 时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
根据平抛运动规律
解得
根据功能关系得
联立解得水泵的输出功率为
故选B。
【点睛】
11．（2024·江西·高考真题）庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150m，水流量
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学科网（北京）股份有限公司10m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，则发电功率为（ ）
A．109W B．107W C．105W D．103W
【答案】B
【详解】由题知，Δt时间内流出的水量为
m = ρQΔt = 1.0×104Δt
发电过程中水的重力势能转化为电能，则有
故选B。
12．（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的
利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，
两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角 为 ， ，
。当每条绳子拉力 的大小为 时，人与木板沿直线匀速前进，在 内前进了 ，
求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
【答案】(1)450N
(2)9.0×103J
(3)600W
【详解】（1）由于木板匀速运动则有
解得
（2）根据功的定义式有
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学科网（北京）股份有限公司解得
（3）根据功率的定义 ，有
考点02 动能和动能定理
1．（2026·河北·高考真题）为清除太空碎片对航天器的潜在威胁，某兴趣小组提出一种设想。如图所示，
一质量为 的太空碎片绕地球做半径为 的匀速圆周运动，在 点受到一个与其速度方向垂直且背离地心
向外的瞬时冲量 作用、变轨到图中的椭圆轨道，最终进入大气层而烧毁，设地球质量为 ，引力常量为
、则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设太空碎片做匀速圆周运动的速度为 ，根据万有引力提供向心力有
解得
则碎片受到冲量前的初始动能为
碎片在Q点受到瞬时冲量I作用，获得一个垂直于原速度方向的分速度，根据动量定理
可得其大小为
由于冲量方向（背离地心向外，即径向）与原速度方向垂直，根据矢量合成法则（勾股定理），作用后的
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学科网（北京）股份有限公司合速度v的平方为
则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为
故选B。
2．（2026·河北·高考真题）如图所示，质量为 的木板上放有一个质量为 的机器人，木板始终受到
水平向右、大小为 的恒力作用。初始时木板与机器人一起以 的速度沿水平地面向右匀速运动。机
器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为 的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上
提起， 后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。 取 ，机器
人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求
(1)机器人被提起的 内，木板位移的大小。
(2)从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，设木板与地面间的摩擦因数为 ，则有
解得
机器人被提起时，对木板有
解得
机器人被提起的2s内，木板位移的大小
（2）机器人被放回木板时，木板的速度为
机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动
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学科网（北京）股份有限公司量守恒定律有
解得
对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功
3．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）某科研机构设计了模拟月球重力环境的实验塔，简化模型如图所示。在
竖直向上的电磁力 的驱动下，质量 的实验舱由静止开始沿塔身竖直向上做匀加速直线
运动，上升 时，立即减小电磁力，使实验舱向上做匀减速直线运动。减速过程中，舱内水平台
面上的设备所受支持力为其重力的 ，从而模拟月球重力环境。不计摩擦力与空气阻力，取重力加速度
。求上升过程中
(1)实验舱的最大速度 ；
(2)舱内处于模拟的月球重力环境的时间 。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）加速阶段，由动能定理有
解得
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学科网（北京）股份有限公司（2）减速阶段，由动量定理得
解得
4．（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为 的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机
通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为 。
电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，
大小为 。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。
则这段时间内（ ）
A．物块的位移大小为 B．物块机械能增量为
C．小车的位移大小为 D．小车机械能增量为
【答案】C
【详解】A．对物块根据牛顿第二定律有
解得
根据运动学公式有
解得物块的位移大小为
故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司B．物块机械能增量为
故B错误；
C．对小车根据动能定理有
其中
联立解得
故C正确；
D．小车机械能增量为
故D错误。
故选C。
5．（2025·云南·高考真题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐
渐加速到144km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（ ）
A．4×105J B．4×104J C．4×103J D．4×102J
【答案】B
【详解】高中生的质量约为50kg，根据动能定理有
故选B。
6．（2025·贵州·高考真题）（多选）如图（a），一竖直固定的透明塑料管内固定有6个小磁铁，相邻磁
铁同极靠近、间距很小，取距离最上端的小磁铁 极 处为坐标原点 轴正方向竖直向下。将一内
径略大于塑料管外径的金属环套在塑料管上，在 点处由静止释放，金属环的速度一位置图像如图（b）
所示。已知金属环的质量为35.9g，取重力加速度大小为 ，不计摩擦和空气阻力，则下落过程中，
金属环（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．在 内所受安培力方向竖直向上
B．在 内所受安培力方向竖直向下
C．在 内克服安培力做的功为
D．在 内感应电流方向为顺时针方向（从上向下看）
【答案】AC
【详解】AD．在 内，由图（a）可知，穿过金属环的磁通量向下增大，根据楞次定律可知，
感应电流产生的磁场方向向上，由安培定则可知，感应电流方向为逆时针方向（从上向下看）；根据楞次
定律“来拒去留”推论可知，金属环所受安培力方向竖直向上，故A正确，D错误；
B．在 内，穿过金属环的磁通量向上减小，根据楞次定律结合安培定则可知，感应电流方
向为逆时针（从上向下看），根据楞次定律“来拒去留”推论可知，金属环所受安培力方向竖直向上，故
B错误；
C．由图（b）可知，在 内金属环的动能变化为0，根据动能定理可得
可得克服安培力做的功为 ，故C正确。
故选AC。
7．（2025·江西·高考真题）（多选）每逢端午节，江西各地常会举办热闹非凡的赛龙舟活动。利用与某龙
舟同方向匀速直线飞行的无人机跟踪拍摄，发现在某段时间内该龙舟做匀加速和匀减速交替的周期性直线
运动。若以无人机为参考系，该龙舟在 时间内速度由0增加到 （划桨阶段），再经历 时间
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学科网（北京）股份有限公司速度减为0（未划桨阶段），则关于这段时间内该龙舟的位置x、速度v、加速度a、动能 与时间t的关
系，下列图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A．位移时间图像斜率代表速度，所以斜率先增大后减小，再增大再减小，故A正确；
B．龙舟在 时间内速度由0增加到 （划桨阶段），再经历 时间速度减为0，速度方向始终为
正向，故B正确；
C．因为是匀加速和匀减速，所以加速度在 时间内是不变的，后0.6s内也是不变的，故C错误；
D．根据 可知，前 开口向上，故D错误。
故选AB。
8．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角 的屋顶上的 点由静止开始下滑，滑到A
点后离开屋顶。O、A间距离 ，A点距地面的高度 ，雪块与屋顶的动摩擦因数 。
不计空气阻力，雪块质量不变，取 ，重力加速度大小 。求：
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学科网（北京）股份有限公司(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小 ；
(2)雪块落地时的速度大小 ，及其速度方向与水平方向的夹角 。
【答案】(1)5m/s
(2)8m/s，60°
【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理
代入数据解得雪块到A点速度大小为
（2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理
代入数据解得雪块到地面速度大小
速度与水平方向夹角 ，满足
解得
9．（2025·广东·高考真题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随
后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从
0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f随位移大小x的
变化关系为 ，其中 为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为
a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为 且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。（提
示：可用 图线下的“面积”表示f所做的功）求：
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学科网（北京）股份有限公司(1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度 。
(2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。
(3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式
根据角速度和线速度的关系
联立可得
（2）根据题意画出木塞摩擦力与运动距离的关系图如图所示
可得摩擦力对木塞所做的功为
对木塞，根据动能定理
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学科网（北京）股份有限公司解得
（3）设开瓶器对木塞的作用力为 ，对木塞，根据牛顿第二定律
速度
位移
开瓶器的功率
联立可得
10．（2024·北京·高考真题）水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传
送带一起匀速运动。下列说法正确的是（ ）
A．刚开始物体相对传送带向前运动
B．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力
C．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功
D．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长
【答案】D
【详解】A．刚开始时，物体速度小于传送带速度，则物体相对传送带向后运动，A错误；
B．匀速运动过程中，物体与传送带之间无相对运动趋势，则物体不受摩擦力作用，B错误；
C．物体加速，由动能定理可知，摩擦力对物体做正功，C错误；
D．设物体与传送带间动摩擦因数为μ，物体相对传送带运动时
做匀加速运动时，物体速度小于传送带速度则一直加速，由 可知，传送带速度越大，物体加速运动
的时间越长，D正确。
故选D。
11．（2024·安徽·高考真题）某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜
坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大小为g，
不计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】人在下滑的过程中，由动能定理可得
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学科网（北京）股份有限公司可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为
故选D。
12．（2024·新疆河南·高考真题）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以
进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平
离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离
为调整前的（ ）
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍
【答案】C
【详解】动能表达式为
由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则离开甲板时速度变为调整前的2倍；小车离
开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据
可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍。
故选C。
13．（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别
从 、 高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与 无关
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学科网（北京）股份有限公司D．甲最终停止位置与O处相距
【答案】ABD
【详解】A．两滑块在光滑斜坡上加速度相同，同时由静止开始下滑，则相对速度为0，故A正确；
B．两滑块滑到水平面后均做匀减速运动，由于两滑块质量相同，且发生弹性碰撞，可知碰后两滑块交换
速度，即碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度，故B正确；
C．设斜面倾角为θ，乙下滑过程有
在水平面运动一段时间t 后与甲相碰，碰后以甲碰前速度做匀减速运动t，乙运动的时间为
2 3
由于t 与 有关，则总时间与 有关，故C错误；
1
D．乙下滑过程有
由于甲和乙发生弹性碰撞，交换速度，则可知甲最终停止位置与不发生碰撞时乙最终停止的位置相同；则
如果不发生碰撞，乙在水平面运动到停止有
联立可得
即发生碰撞后甲最终停止位置与O处相距 ，故D正确。
故选ABD。
14．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a与滑梯末端b的高度 ，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与
其水平相切，滑板质量 ，一质量为 的游客，从a点由静止开始下滑，在b点滑上滑板，
当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行 停下。游
客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为 ，忽略空气阻力，重力加速度 ，
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学科网（北京）股份有限公司求：
（1）游客滑到b点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设游客滑到b点时速度为 ，从a到b过程，根据机械能守恒
解得
在b点根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律得游客滑到b点时对滑梯的压力的大小为
（2）设游客恰好滑上平台时的速度为 ，在平台上运动过程由动能定理得
解得
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一直做减
速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为 和 ，得
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学科网（北京）股份有限公司根据运动学规律对游客
解得
该段时间内游客的位移为
滑板的位移为
根据位移关系得滑板的长度为
15．（2024·新疆河南·高考真题）将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重
物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一
人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量 ，
重力加速度大小 ，当P绳与竖直方向的夹角 时，Q绳与竖直方向的夹角
（1）求此时P、Q绳中拉力的大小；
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度 ，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物
做的总功。
24 / 49
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q绳中拉力的大小分别为 和 ，竖直方向
水平方向
联立代入数值得
，
（2）整个过程根据动能定理得
解得两根绳子拉力对重物做的总功为
【点睛】
考点03 机械能守恒定律
1．（2026·湖北·高考真题）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为
圆心、 为半径的 圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为 的初速度向该山
沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，
要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（ ）
A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛
C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AD
【详解】ACD．设落点与O点的竖直高度为h，水平位移为 ，初速度与水平方向的夹角为 ，将初速度
沿水平和竖直方向分解，可得 ，
同时有
联立可得
设落到圆弧上的速度为 ，根据机械能守恒
解得
故可知 越小，v越小，故当 时，h取最小值，落到圆弧上的速度最小；
解得 ， ， ，故AD正确，C错误；
B．根据前面分析，当 ， 时，
代入解得 ， ，故B错误。
故选AD。
2．（2026·贵州·高考真题）如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平
面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为 和 ，A被拉至与竖直方向成 的位置并由静止
释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设A、B小球的质量均为 ，忽略空气阻力，则A从静止释放至与B发生碰撞前瞬间，由动能定
理可得
A球与B球碰撞过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 ，
可得
由于
所以从碰撞后至下次碰撞前，B做圆周运动，设B的球心上升的最大高度为h，则对B从碰后至上升到最
大高度的过程，由动能定理可得
解得
故选A。
3．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为 的
足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为 、 。质量为 的小物块甲放置在左侧倾斜轨道
上高 处、质量为 的小物块乙静止在水平轨道上，乙到 、 两点的距离均为 。现静止释放甲，所有
碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为 ，不计空气阻力。
(1)求甲第一次到达 点时的速度大小。
(2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。
(3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求 满足的关系
式（不求具体数值）。
【答案】(1)
(2)
(3)当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0
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学科网（北京）股份有限公司当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0
当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0
【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理
解得
（2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为 ，乙速度为 ，取向右为正方向，由动量守恒和机械能
守恒 ，
解得乙弹性碰撞后速度
对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化
代入 ，得
（3）碰后甲的速度 ，乙的速度 ；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需
对k的取值进行分情况讨论：
①当0＜k≤1时，碰后甲、乙均向右运动且v＞v≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，
2 1
设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有
解得
需满足在甲到达B点前相遇，即 ，代入速度化简得k3+3k2+35k﹣31＞0
②当k＞1时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v＞|v|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，
2 1
设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有
28 / 49
学科网（北京）股份有限公司解得
需满足在甲到达A点前追及，即 ，化简得3k3+k2+25k﹣37＜0
若k＞3，则|v|＞v，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移
1 2
关系有
解得
需满足在乙到达B点前追及，即 ，化简得k3﹣21k2+19k﹣23＞0
综上所述，k满足的关系式为
当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0
当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0
当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0
4．（2025·全国卷·高考真题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运
动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速
度取10m/s2）（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【详解】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能
守恒定律有
可得其理论的最大高度
故选B。
5．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）（多选）如图，与水平面成 夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套
着一质量为 的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P
点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为 且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦
力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足
。 ，g取 ， 。则滑块（ ）
A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为
B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同
C．从释放到静止的位移大小为
D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为
【答案】AC
【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为 时，对滑块进行受力分析，如图所示
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学科网（北京）股份有限公司在垂直杆方向有
由胡克定律结合几何关系有
联立解得
可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为
故A正确；
B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的
冲量不相同，故B错误；
C．设滑块从释放到静止运动的位移为 ，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0
时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为0时，有
由几何关系可得
此时
则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0时，有
解得
此时
31 / 49
学科网（北京）股份有限公司此时
则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为 ，故C正确；
D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为 ，由能量守恒定律有
解得
故D错误。
故选AC。
6．（2025·云南·高考真题）（多选）如图所示，倾角为 的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质
弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数 。
过程I：Q以速度 从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并
拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限
度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．P、M两点之间的距离为
B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为
C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为
D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间
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学科网（北京）股份有限公司【答案】CD
【详解】A．设 的距离为 ，过程I，根据动能定理有
设 的距离为 ，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件
P、M两点之间的距离
联立可得
故A错误；
B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中Q和弹簧组成的系统损失的机械
能为
结合
可得
但在过程Ⅱ中单独对于Q而言机械能是增加的，故B错误；
C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移 ，根据能量守恒定律
结合
解得
故C正确；
D．无论Q从何处释放，Q在斜面上运动过程中，弹簧与Q初始时的势能变为摩擦热，当在 点时，满足
当在 点时，满足
所以在OM（含O、M点）之间速度为零时，Q将静止，故D正确。
故选CD。
7．（2025·天津·高考真题）如图所示，半径为R = 0.45m的四分之一圆轨道AB竖直固定放置，与水平桌
33 / 49
学科网（北京）股份有限公司面在B点平滑连接。质量为m = 0.12kg的玩具小车从A点由静止释放，运动到桌面上C点时与质量为M
= 0.18kg的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m至D点停止。A点至C点
光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小车运动至圆轨道B点时所受支持力F 的大小；
N
(2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v的大小；
(3)组合体与水平桌面CD间的动摩擦因数μ的值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小车运动至圆轨道B点时的速度大小为 ，由机械能守恒定律，有
由牛顿第二定律，有
代入数据，联立解得
（2）小车与物块在C点碰撞，在水平方向由动量守恒，有
代入数据，联立解得
（3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C点匀减速运动至D点静止，由动能定理，有
代入数据，联立解得
8．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距 。一根
长为 的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量 的小球，小球与水平地面接触但无压力。
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学科网（北京）股份有限公司时，小球以水平向右的初速度 开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取 。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在 时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1) ，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v 抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律
0
在该位置时根据牛顿第二定律
解得 ，
（2）小球做平抛运动时 ，
解得x=4m
（3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
35 / 49
学科网（北京）股份有限公司解得
9．（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨
道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用
轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量 的小球自Q点正上方 处自由下落，无能
量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到 时，
b解除锁定开始运动。已知a的质量 ，b的质量 ，方形物体的质量 ，重力加速
度大小 ，弹簧的劲度系数 ，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式
（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小 、 ；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小 及弹性势能的最大值 。
【答案】(1) ，水平向左， ，水平向右
(2) ，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到 处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即小球速度为 ，方向水平向左，大物块速度为 ，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块 水平方向上动量
守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为 时物块 的固定解除，此时小球和物块 的速度为 ，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得 ，
固定解除之后，小球、物块 和物块 组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动
量守恒定律有
解得 ，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
10．（2025·浙江·高考真题）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R的竖直螺旋轨道、
水平轨道BC和 、倾角为 的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外，
其余各段均光滑，F点与水平高台GHI等高。游戏开始，一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处静
止滑下，与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3
落在GH段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H点右侧，立即停止运动。已知
，EF段长度 ，FG间距 ，GH间距 ，HI间距
，EF段 。滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力， ，
。
37 / 49
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小 ；
(2)若滑块3恰好能通过圆轨道 ，求高度h；
(3)若滑块3最终落入I点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。
【答案】(1)
(2)2m
(3)2.5m或2m
【详解】（1）对滑块1由动能定理
解得滑块1与滑块2碰前的速度大小为
滑块1与滑块2碰撞过程中，由动量守恒定律
解得碰撞后瞬间滑块3的速度大小为
（2）在轨道D点，由牛顿第二定律
解得
滑块3从D点到C＇点，由机械能守恒定律
解得
结合 ，
联立解得
（3）滑块3从C＇点到F点的过程中，由动能定理
38 / 49
学科网（北京）股份有限公司若滑块3直接落入洞中，则竖直方向
水平方向
结合 ，
联立解得
若经一次反弹落入洞中，则
水平方向
结合 ，
联立解得
由计算结果 ，可知滑块在斜轨道上高度为 处开始下滑，是滑块能通过圆轨道最高点的最小
高度，因此 是滑块开始下滑到在GH经一次反弹落入洞中。因此小问3的答案是 或
。
11．（2024·重庆·高考真题）2024年5月3日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器
的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（ ）
A．减速阶段所受合外力为0 B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒 D．自由下落阶段加速度大小g = 9.8m/s2
【答案】C
【详解】A．组合体在减速阶段有加速度，合外力不为零，故A错误；
B．组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误；
C．组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；
D．月球表面重力加速度不为9.8m/s2，故D错误。
故选C。
12．（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连
39 / 49
学科网（北京）股份有限公司接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点
C。下列说法正确的是（ ）
A．物体在C点所受合力为零
B．物体在C点的速度为零
C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆
轨道的半径为r，由牛顿第二定律得
解得物体在C点的速度
AB错误；
C．由牛顿第二定律得
解得物体在C点的向心加速度
C正确；
D．由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误。
故选C。
13．（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木
板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为
μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E= kx2（x为绳的伸长量）。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木
板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦
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学科网（北京）股份有限公司力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有
解得弹性绳的伸长量
则此时弹性绳的弹性势能为
从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
则由功能关系可知该过程F所做的功
故选B。
14．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，
小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中
对大圆环的作用力大小（ ）
A．在Q点最大 B．在Q点最小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为 ，小环在大圆环上某处（ 点）与圆环的作用力恰好为零，
如图所示
设图中夹角为 ，从大圆环顶端到 点过程，根据机械能守恒定律
在 点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到 点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，
所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从 点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环
对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为 ，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角
为 ，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知 的大小在 时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用
42 / 49
学科网（北京）股份有限公司力大小先减小后增大。
故选C。
15．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A左右端相连，
整个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（ ）
A．弹簧恢复原长时，A的动能达到最大
B．弹簧压缩最大时，A的动量达到最大
C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加
D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加
【答案】A
【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A和B组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为 ，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧恢复原长时得
联立得
故可知弹簧恢复原长时物体A速度最大，此时物体A的动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直为零，
系统机械能不变。
故选A。
16．（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中
达到最高点2的高度为h，则足球（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．从1到2动能减少 B．从1到2重力势能增加
C．从2到3动能增加 D．从2到3机械能不变
【答案】B
【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增
加 ，则1到2动能减少量大于 ，故A错误，B正确；
CD．从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于 ，故CD错误。
故选B。
17．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于
轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B
正碰并粘在一起。已知I = 1.8 Ns，A、B的质量分别为m = 0.3 kg、m = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R
A B
= 0.5 m，两球均视为质点，轻绳∙不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B碰前瞬间A的速度大小；
(2)A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【答案】(1)4 m/s
(2)11.2 N
【详解】（1）根据题意，设小球A从最低点开始运动时的速度为v，由动量定理有
0
设与B碰前瞬间A的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有
联立代入数据解得
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学科网（北京）股份有限公司（2）A与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
18．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N两个钉子固定于相距a的两点，M的正下方有不可伸长的
轻质细绳，一端固定在M上，另一端连接位于M正下方放置于水平地面质量为m的小木块B，绳长与M
到地面的距离均为10a，质量为2m的小木块A，沿水平方向于B发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A与地面
间摩擦因数为 ，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损
失。
(1)若碰后，B在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A碰前瞬间的速度，碰后A运动到P点停止，B在竖直面圆周运动旋转2圈，经过M正下方时
细绳子断开，B也来到P点，求B碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg细绳会断，上下移动N的位置，保持N在M正上方，B碰后瞬间的速度与（2）问中
的相同，使B旋转n圈。经过M正下的时细绳断开，求MN之间距离的范围，及在n的所有取值中，B落
在地面时水平位移的最小值和最大值。
【答案】(1)
(2)
(3) （n = 1，2，3，…）， ，
【详解】（1）碰后B能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B的最小速度大小为v，最高点
0
45 / 49
学科网（北京）股份有限公司速度大小为v，在最高点时由牛顿第二足定律有
B从最低点到最高点由动能定理可得
解得
（2）A和B碰撞过程中动量守恒，设碰前A的速度大小为v 碰后A的速度大小为v 碰后B的速度大小为
1 2。
v，则有
3
2mv = 2mv＋mv
1 2 3
碰后A减速到0，有
碰后B做两周圆周运动，绳子在MN间缠绕2圈，缩短4a，在M点正下方时，离M点6a，离地面4a，此
时速度大小为v，由功能关系得
4
B随后做平抛运动，有
L = v t
4
解得
（3）设MN间距离为h，B转n圈后到达M正下方速度大小为v，绳缩短2nh，绳断开时，以M为圆心，
5
由牛顿第二定律得
（n = 1，2，3，…）
以N为圆心，由牛顿第二定律得
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学科网（北京）股份有限公司（n = 1，2，3，…）
从碰后到B转n圈后到达M正下方，由功能关系得
（n = 1，2，3，…）
解得
（n = 1，2，3，…）
绳断后，B做平抛运动，有
（n = 1，2，3，…）
s = vt
5
可得
（n = 1，2，3，…）
由于
（n = 1，2，3，…）
则由数学分析可得
当 时，
当n = 1时， ，
19．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径 ，重力加速度大小 。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应
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学科网（北京）股份有限公司关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 ，当小物块到P点时撤去
F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】（1） ；（2）（i） ， ；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有
代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知
根据图乙有
当外力 时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
， ，
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由图乙可知，当 时，轨道的加速度为 ，小物块的加速度为
当小物块运动到P点时，经过t 时间，则轨道有
0
小物块有
在小物块到P点到从Q点离开轨道的过程中系统机械能守恒有
水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
其中，小物块离开Q点时的速度 , 为此时轨道的速度。联立解得
(舍去）
根据运动学公式有
代入数据解得
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