文档文本内容
平面解析几何
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
平面解析
几何
2024 全国新高
考I 卷11、
12、16
2024 全国新高
考Ⅱ卷5、
10、19
2023 全国新高
考I 卷5、6、
16、22
2023 全国新高
考Ⅱ卷5、
10、15、21
2022 全国新高
考I 卷14、
16、21
2022 全国新高
考Ⅱ卷3、
10、16、21
1.直线与圆位置关系的判断；
2.圆的切线问题；
3.直线与圆相交，弦长、半径、弦心距关系的
应用；
4.两圆位置关系的判断；
5.两圆、公共弦、公切线问题；
6.与圆锥曲线的交汇问题
关于椭圆的问题的考查，是重中之重，往往客
观题、主观题双重考查.
1.椭圆的定义及应用，焦点三角形；
2.求椭圆的标准方程；
3.研究椭圆的几何性质，特别是离心率问题；
4.直线与椭圆的位置关系问题，分两类，一类
是客观题，二类是主观题，其中主观题往往是
先根据几何性质等条件，求标准方程，而后进
一步联立方程组，解决求直线方程、求三角形
面积、定点定值、定直线以及最值范围问题.
直线与圆的性质应用在高考
考考查趋势是主要考查圆的
一些基本性质，一般难度较
小
椭圆与双曲线的基本性质是
高考数学中的必考点也是高
频考点，一般考查的基本内
容一些性质的综合应用
求椭圆双曲线的离心率及离
心率的取值范围是高考的高
频考点。
抛物线在高考中小题中考查
非常普遍，重点考查有关抛
物线的p 的有关问题
圆锥曲线的综合应用一般作
为选填压轴题目出现，是对
圆锥曲线综合能力的考查
题型一 直线与圆的综合
1．（2025·山东济南·一模）若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．
C．1 或
D．
或4
2．（2025·山东·模拟预测）已知圆
与圆
有三条公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山西临汾·二模）已知圆
上的点
到直线
的距离为，则满足
条件的点
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 高二上·广东深圳·期末）（多选）已知圆
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
5．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）（多选）已知曲线
，
，则下列选项
正确的是（ ）
A．
，曲线
均不为圆
B．
，曲线
都关于点
中心对称
C．当
时，
D．当
时，直线
是曲线
的一条渐近线
6．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象
概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，
曲线C：
就是一条形状优美的曲线，曲线C 围成的图形的周长是为 ；若
是
曲线C 上任意一点，
的最小值为 .
7．（2025·甘肃兰州·一模）（多选）已知曲线
，则以下说法正确的是（ ）
A．点
在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
8．（2025·北京石景山·一模）已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q 为线段
中点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型二 椭圆的标准方程及其性质
1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆
与
轴交于
、
两点，、
是分别过
、
的圆
的切线，过圆
上任意一点
作圆
的切线，分别交、
于点
、
两点，记直线
与
交于点
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）“
”是“曲线
表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·湖南常德·一模）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在椭圆上，连
接
并延长交椭圆
于点
.若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC 为圆柱的轴截面
对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周
期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数
图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率
为
，则
的值为 .
5．（2025 高三·全国·专题练习）用平面
截圆柱面，圆柱的轴与平面
所成的角记为
，当
为锐角时，
圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同
的球嵌入圆柱内，使它们分别位于
的上方和下方，并且与圆柱面和
均相切，切点分别为
．下列关
于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距
相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中
为椭圆长轴，
为球
的半径，有
6．（2025·四川自贡·二模）（多选）设
为坐标原点，椭圆
：
的左右焦点分别为
，
，点
为定点，而点
在椭圆上，且位于第一象限，若
，则（ ）
A．
B．
C．当
的面积为
时，
的方程为
D．当
轴时，
的离心率
7．（2025·河北保定·模拟预测）已知
是椭圆
上两点，
分别为
的左、右
焦点，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025 高三·全国·专题练习）斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，点
是椭
圆上的一点，且满足
，点
分别是
为坐标原点）的重心．记直线
的斜率分别为
，若
，则椭圆
的离心率为 ．
题型三 双曲线的标准方程及其性质
1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知双曲线
的焦距为
，左、右焦点分别为
，过点
作斜率不为0 的直线与双曲线
的左、右支分别交于
两点．若
的内切圆与直线
相切于点
，且
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
且斜
率为
的直线与
的右支交于
两点，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·二模）（多选）双曲线
的左右焦点分别为
为坐标原点，点
在
双曲线上，且
的内切圆圆心为
，则（ ）
A．点
在直线
上
B．
C．
外接圆的面积为
D．连结
交
轴于点
，则
4．（2025·河南·三模）（多选）如图，已知双曲线
的焦距为8，点P 为双曲线右支
上一点（位于第一象限），且
，Q 为
的平分线上一点，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．离心率
D．
的面积为12
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的
直线与
交于
两点，直线
交
于点
，
，
，且
，则双曲线
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
6．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
是
的右
支上一点，
在
轴上的射影为
，
为坐标原点.若
，则
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·辽宁大连·一模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图
1，设圆锥轴截面的顶角为
，用一个平面
去截该圆锥面，随着圆锥的轴和
所成角
的变化，截得的
曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为
，比如，当
时，
，此时截得的曲线是抛
物线．如图2，在底面半径为1，高为
的圆锥SO 中，AB、CD 是底面圆O 上互相垂直的直径，E 是母
线SC 上一点，
，平面ABE 截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四 抛物线的标准方程及其性质
1．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，
垂足为
若
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
2．（2025·河北保定·一模）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
为
的重心，
且尚
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲
线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种
灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点
发出的互为反向的光线，经双曲线上的点
P，Q 反射，反射光线的反向延长线交于点M，且
，
．制
作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
4．（2025·辽宁·一模）（多选）已知点Q 在圆
上，
，动点
满足：在
中，
．则（ ）
A．记
的轨迹方程为轨迹：
B．
的最大值为
C．
的最小值是
D．
（点O 为坐标原点）的最小值为7
5．（2025·湖北·二模）已知点
为抛物线
的焦点，点
在
的准线上，点
在
上，
若
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2025·河南·二模）已知抛物线
的焦点为
，过点
且不与
轴垂直的直线与
交于
两
点，过
的中点
作
轴的平行线交
于
点，则
.
7．（2025·重庆·一模）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线C：
的焦点，
且与抛物线C 交于M，N 两点，l 为抛物线C 的准线，则（ ）
A．
B．
C．
为等腰三角形
D．以MN 为直径的圆与l 相切
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选）已知
为抛物线
：
的焦点，
为
上一点，点
到
的距离的最小值为4，过
的直线交
于
，
两点，
的过
，
的切线交于点
，则（ ）
A．
的准线方程为
B．若
，则线段
的中点到
轴的距离为5
C．若
的坐标为
，则的方程为
D．
的面积的最小值为64
9．（24-25 高三下·广东梅州·阶段练习）在圆锥
中，已知高
，底面圆的半径为4，M 为母线
的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（ ）
A．
B．5
C．6
D．
题型五 直线与圆锥曲线的综合
1．（2025·辽宁·三模）已知双曲线
的两条渐近线的斜率之积为
.
(1)求
的离心率.
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
交于
两点（
在左支上，
在右支上），且
.
①求
的方程；
②已知不经过点
的直线与
交于
两点，直线的斜率存在且直线
与
的斜率之积为1，证
明：直线过定点.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
，过点
作直线与
交于
两点．当直线
轴时，四边形
的面积为2．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)作的平行线
，使
与
相切于点
，求
面积的取值范围．
3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d，且
，其中
，
均为常数，动点P 的轨迹称为
曲线．
(1)若
曲线为双曲线，试问
，
应满足什么条件？
(2)设曲线C 为
曲线，点
是C 上位于第一象限的一点，点A，B 关于原点O 中心对称，点
A，D 关于y 轴对称．延长AD 至E，使得
，且直线BE 和曲线C 的另一个交点G 位于第二象限
内．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）设直线OA 斜率为
，直线AG 斜率为
，判断
与
的关系，并求
的取值范围．
4．（2025·浙江金华·二模）如图，双曲线
：
的虚轴长为2，离心率为
，斜率
为
的直线过
轴上一点
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若双曲线
上存在关于直线对称的不同两点
，
，直线
与直线及
轴的交点分别为
，
.
（i）当
时，求的取值范围；
（ii）当
时，求
的最小值.
5．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知椭圆
过点
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程．
(2)过点
的直线（与
轴不重合）交椭圆
于
，
两点．
（i）若
，求的方程；
（ii）已知
分别是
的左、右顶点，直线
，
分别交直线
于
，
两点，证明：
与
的面积之比为定值．
6．（2025·贵州·二模）已知双曲线
：
（
，
）的左、右顶点分别为
，
，右焦点
为
，点
是双曲线
上异于
，
的一点，且直线
，
的斜率之积为
．
(1)求双曲线
的渐近线方程；
(2)若
垂直于
轴，且
，直线与双曲线
相切，直线与直线
相交于点
，与直线
相
交于点
，证明
为定值，并求此定值；（注：过双曲线
上一点
且与双曲线
相切的直线方程
为
）
(3)在（2）的条件下，已知直线
与双曲线
交于点
，
（异于点
），若以
为直径的圆经过点
，
且
于点
，证明：存在定点
，使得
为定值．
7．（24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，在第一象限内的点
和第二象限内的点
都在拋物线C 上，且直线
过焦点
．按照如下方式依次构造点
：过点
作抛物线C 的切线与x 轴交于点
，过点
作x 轴的垂线与拋物线C 相交于
点
，设点
的坐标为
．用同样的方式构造点
，设点
的坐标为
．
(1)求
的值
(2)证明：数列
，
都是等比数列；
(3)记
，求数列
的前n 项和
；
8．（2025·辽宁鞍山·二模）已知双曲线
（
，
）的两条渐近线为
，且经过
点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线
于点
、
和点
、
，
、
分别为弦
和
的中点，直线
与
轴交于点
；过点
作两条互相垂直的直
线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线
于点
、
和点
、
，
、
分别为弦
和
的
中点，直线
与
轴交于点
……；依此类推得到点列
，
.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）
、
分别在双曲线的左支和右支上，且直线
经过点
，当
，
时满足：①直线
的倾斜角总是
；②点
和
关于
轴对称.设点
的坐标为
，数列
的前
项
和为
.证明：
.
