文档文本内容
【循环
组合
数列
v s
概率与统计
v s
立体几何】
训练专项01：数列+概率与统计+立体几何 训练专项02：概率与统计+立体几何+数列
训练专项03：立体几何+数列+概率与统计 训练专项04：数列+立体几何+概率与统计
训练专项05：概率与统计+数列+立体几何 训练专项06：立体几何+概率与统计+数列
■→训练专项01 数列+概率与统计+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·广东广州高三下综合测试，13 分，★★]已知数列
的首项
，且满足
．
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）若数列
的前
项和
小于120，求
的最大值．
必刷小卷4 解答题强化练[4] 15+16+17 43 分练
规范答题
16．[2026·西安第八十五中学一模，15 分，★★]随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步
取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟
角色直播带货后18 个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据
，其中
和
分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得
，
.
（1）求样本
的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额
（单位：万元）和月
份编号
是否线性相关（当
时，即可认为线性相关）；
（2）已知这18 个月中有10 个月的销售金额高于平均数，从这18 个月中随机抽取2 个月的销售金额，
记抽到销售金额高于平均数的月份数为
，求随机变量
的分布列．
附：相关系数
．
17．[2026·西南大学附属中学3 月检测，15 分，★★]如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，平面
平面
．
（1）求证：
；
（2）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
规范答题
规范答题
■→训练专项02 概率与统计+立体几何+数列
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·河南五市第一次质量检测，13 分，★★]某小区物业为提高服务质量，随机调查了100 名男
业主和100 名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
是否满意性别
满意
不满意
合计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
（1）依据
的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
（2）从小区的业主中任选一人，
表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，
表示事件“选到的
人为男业主”，利用该调查数据，给出
，
的估计值．
附：
．
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
规范答题
16．[2026·四川成都第二次模拟测试，15 分，★★]如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
侧面PAD 为正三角形，侧面
底面ABCD，M 是PD 的中点．
（1）求证：
；
（2）求平面MAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
17．[2026·湖北孝感楚天协作体3 月联考，15 分，★★★]已知数列
的前项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前
项和为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
规范答题
规范答题
■→训练专项03 立体几何+数列+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·甘肃陇南二诊，13 分，★★]如图，在直三棱柱
中，
，
，
D，E，F 分别为棱
，
，
的中点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）过
作平面
的平行平面
，平面
将直三棱柱
截成两部分，其中较大部分体积为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
16. [2026·浙江宁波3 月质检，15 分，★★]已知等差数列
的公差
，
是
，
的等比中
项，且
.
（1）求
的通项公式；
（2）给定正整数m，设函数
，求
.
规范答题
规范答题
17． [2026·广东广州高三下综合检测，15 分，★★★]甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标
进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为
（
），乙每次射击命中目标的概率均为
（
），各次射击结果互不影响．
（1）若甲先射击，甲第2 次射击且获胜的概率为
，求
（用
，
表示）；
（2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求
的最小值．
参考公式：若
，则
．
规范答题
■→训练专项04 数列+立体几何+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·湖北武汉3 月调研，13 分，★★]在数列
中，
，
，
，且
是
等差数列.
（1）求
；
（2）证明：
.
16．[2026·广西南宁第二次适应性测试，15 分，★★]在如图所示的几何体中，四边形
是边长为
4 的菱形，
，
平面
，
，且
．
（1）证明：平面
平面
．
（2）若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
．
规范答题
规范答题
17．[2026·湖南长沙一模，15 分，★★★]社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第
1 局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并
且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为
，每局比赛没有平局且结
果相互独立.
（1）若
.
（i）求前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率；
（2）若前4 局中甲参与的平均次数不小于
，求
的取值范围.
规范答题
■→训练专项05 概率与统计+数列+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·广西南宁第二次适应性测试，13 分，★★]中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广
西多地将1000 米跑（男）、800 米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进
行1000 米跑（男）、800 米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下
列联表：
男生
女生
合计
达标
24
18
42
不达标
11
7
18
合计
35
25
60
（1）试估计该班的达标率；
（2）根据小概率值
的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关．
参考公式：
，
．
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
16．[2026·河南五市第一次质量检测，15 分，★★]已知数列
的前
项和为
，且
，
，
成等
规范答题
差数列，数列
满足
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）是否存在正整数
，
使得
？如果存在，请求出
，
的值；如
果不存在，请说明理由．
17．[2026·安徽合肥“校集团”一模，15 分，★★]如图，圆台的下底面圆
的半径为
，
为
圆
的内接正方形．
为上底面圆
上两点，
为
的中点，且平面
平面
，
．
（1）求证：
；
（2）若
，求
与平面
所成角正弦值的最大值．
■→训练专项06 立体几何+概率与统计+数列
规范答题
规范答题
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·江苏南师附中、苏州中学等九校一模联考，13 分，★★]如图，已知
是圆锥
的轴
截面，
，
.
（1）求圆锥
的外接球的表面积；
（2）若
为弧
的中点，求二面角
的正切值.
16. [2026·青海西宁一模，15 分，★★]为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于
保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中
学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体
育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到
“通知”要求．
高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
（1）已知高一学生有600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有
达到“通知”要求；
（2）从被调查的高三年级8 名学生中，随机选取3 人，记这3 人中每天综合体育活动时间达到通知要
求的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
17．[2026·山西运城模拟测试，15 分，★★]设正项数列
的前n 项和为
，且
．
（1）求
的通项公式;
规范答题
规范答题
（2）若
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
规范答题
