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大题预测模拟04（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．如图，在三棱锥
中，
，
，设
分别为棱
的中点，且
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的正弦值．
16．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求b 的取值范围．
17．某校运动会4*100 接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1
班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
；2 班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
；3 班在
预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
．
(1)1 班，2 班，3 班中哪个班级进入决赛的可能性最大？
(2)设三个班中进入决赛的班级数为
，求
的分布列．
18．已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
的右焦点为
，设不过点B 的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆
交于不同的
，
两点，且
与
互补
为坐标原点.
①证明：动直线恒过
轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求
面积的最大值.
19．已知数列
的首项
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：
.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
的中点，求
．
16．某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每
次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为
，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概
率均为
，中奖与否互不影响.
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50 元的学习用品，中奖两次获得价值30 元的学
习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70 元的学习用品，中奖两次获得价值40 元的学习用品，其
他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中
奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
17．如图，三棱锥
的底面是边长为2 的正三角形ABC，且
，平面
平面
(1)证明：
平面
(2)若BC 与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
18．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个不同的零点
，
.
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
19．二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次
函数
的图象可以由
的图象沿向量
平移得到; 抛物线
，即
的焦点坐标为
，准线方程为
; 故二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
.
(1)求二次函数
的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
的直线与抛物线
的另一个交点为
，直线
与直线
交于点
，过点
作
轴的垂线交抛物线
于点
. 是否存在定点
，使得
三点共线? 若存在，请求
出定点
的坐标; 若不存在，请说明理由.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．已知正三棱柱
的所有棱长均为2，D 为AB 中点，E 为棱
上的动点．
(1)求证：面
面
；
(2)若直线CE 与面
所成角的余弦值为
，试求AE 的长．
16．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
且
.
(1)求
的大小.
(2)如图所示，
为△ABC 外一点，
，
，
，求角D．
17．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭
套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午
会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
(1)求该同学第4 天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第
天选择米饭套餐的概率为
；
①求
；
②当
时，
恒成立，求
的取值范围．
18．在平面直角坐标系
中，抛物线
：
的焦点为F，点
，过F 的直线交
C 于M、N 两点．当直线
的斜率为1 时，
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
、
与抛物线C 的另一个交点分别为A、B，
，求
的值；
(3)若
记直线
、
的倾斜角分别为
、
，求
的最大值．
19．泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当
在
处的
阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
．注：
表示函数
在原点处的一阶
导数，
表示在原点处的二阶导数，以此类推，和
表示在原点处的
阶导数．
(1)求
的泰勒公式（写到含
的项为止即可），并估算
的值（精确到小数点后三位）；
(2)当
时，比较
与
的大小，并证明；
(3)设
，证明：
．
