文档文本内容
第04 讲 基本不等式
易错分析
易错点一 忽视基本不等式成立的条件而致误
题型方法
题型一 利用基本不等式求最值
题型二 重要不等式链
题型三 对勾函数的应用
题型四 柯西不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立．
(3)其中 叫做正数a，b 的算术平均数，
叫做正数a，b 的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)＋≥ (a，b 同号)．
(3)ab≤
(a，b∈R)．
题型梳理
知识清单
(4)≥
(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值 .
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【易错点一】忽视基本不等式成立的条件而致误
【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2022·海南·模拟预测）下列各式中，最小值为2 的是（ ）
A．
B．
（
为锐角）
易错分析
C．
D．
【题型一】利用基本不等式求最值
【例1】（2021·天津·高考真题）若
，则
的最小值为 ．
解题技巧
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“ 1”代换的方法；三
是消元法．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）若
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最大值（ ）
A．12
B．
C．36
D．
【变式3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【题型二】重要不等式链
【例2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则下列结论正确的是
（ ）
题型方法
A．
B．当
时，
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数
，
，
．则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型三】对勾函数的应用
【例3】（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知等比数列
的公比
，存在
，满足
，则
的最小值为 ．
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知
，
且
，若当
取最小值时有
，
则
的取值范围是 .
【变式3】（2021·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，
.
(1) 求数列
的通项公式；
(2) 若等差数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，求
的最大值.
【题型四】柯西不等式
【例4】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量
满足
.记向量
在
方向
上的投影分别为x，y，
在
方向上的投影为z，则
的最小值为 .
【举一反三】【变式1】（2024·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式2】（2021·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，定义两点
与
之间的“直角距离”为
.若A，B 是椭圆
上任意两点，则
的最大值是
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知
均为正实数，且
．证明：
(1)
；
(2)若
，则
．
一、单选题
1．（2025·天津红桥·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．2
好题必刷
2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·模拟预测）若
，则在
的展开式中（ ）
A．x 的系数有最小值
B．
的系数有最小值
C．
的系数有最小值
D．
的系数有最小值
4．（2021·浙江·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2021·江苏南通·一模）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数
，若f(x)=a 有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足
x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（ ）
A．0<a<1
B．
C．
D．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
8．（2024·上海奉贤·三模）若
，则
有最大值为 ．
9．（2023·上海嘉定·一模）函数
在
上的最大值和最小值的乘积为
10．（2024·河南·模拟预测）如图，已知半圆
的直径
是半圆
上异于点
的四点，且
，则当六边形
面积最大时，
的大小为 .
四、解答题
11．（2024·四川南充·三模）若a，b 均为正实数，且满足
.
(1)求
的最大值；
(2)求证：
.
12．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)当
时，求
外接圆的面积；
(2)求
的最小值.
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
.
(1)解不等式
；
(2)记（1）中不等式的解集为
，
中的最大整数值为，若正实数
，
，满足
，求
的最大值.
14．（2025·河北·模拟预测）如图，在
中，角
所对的边分别为
，已知
是
的角平分线，
且
．
(1)求角
的值；
(2)若
，求
长的最大值．
