技巧04解答题解法与技巧（练）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第二篇 解题技巧篇 技巧04 解答题解法与技巧（练） π 1．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知函数 f x Asinxcosx 3cos2x的一个零点为 ． 6 f x (1)求A的值和函数 的最小正周期；  π (2)当x   0, 2   时，若n f xm恒成立，求 mn 的取值范围．    ABC CD CA CB 2．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为 在  2csinB 5 CD 方向上的投影向量，且满足 . (1)求cosC的值； b 3 a3ccosB ABC (2)若 ， ，求 的周长. 3．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos2Bcos2A4  cosCcos3C  ． π (1)若C  ，求A； 3 a b2 (2)若△ABC为锐角三角形，求  的取值范围． b c2 a  S a 6 4．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列 n 的前n项和为 n，满足 3 ，_____________． S a S 20 a a a 30 在① 3 6；② 4 ；③ 2 5 8 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选 择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） a  (1)求 n 的通项公式； (2)设 b n 2an a n，求 b n  的前n项和 T n． a  S a 2 S 1,(nN) a 3 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 n 的前n项和为 n， n1 n ， 2 ． a  (1)求数列 n 的通项公式；1 b  (2)设 n 4S 1，数列 b  的前n项和为T ，求T 的取值范围． n n n n 6．（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞 花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手 在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分． (1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答 题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是 P P 1 甲的概率为 n，若 1 ． ①求P，P； 2 3  1 P   ②证明：数列 n 4为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小． 17 1 3 7．（2023·全国·模拟预测）在数列a n 中，a 2  16 ，a n1  4 a n  4 ,nN* ． a 1 (1)证明：数列 n 是等比数列； 1  13   S  (2)令b n 2n1a n 3，数列 b n  的前n项和为S n ，求证： n 40 ． a  a a 2a 3a a 8．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）各项均不为0的数列 n 满足： n1 n n2 n2 n， a 1,a 2 且 1 2 . a (1)求 n； b 6 4  nN*  bn 1 1 n  n2,nN* (2)已知 n a ，请证明： i 2 . n i1 ABC- ABC AA 9．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 平 ABC,4AA3AB ABC D,E,F BC ,AC,BC 面 1 ， 是等边三角形， 分别是棱 1 1 的中点.AD // CEF 1 (1)证明： 平面 ； ADE CEF 1 (2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； (3)若 AB4 ，求点 B 1到平面 C 1 EF 的距离. 10．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，AD∥BC， PA ADCD2，BC 3，E为PD的中点，F在PC上，满足EF PC. (1)求证：CD平面PAD； (2)求二面角BAFC的余弦值. 11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知直四棱柱 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1的底面 ABCD 为平行四边形， M 为 A 1 D 的 中点．AB// AMC (1)求证： 1 平面 ； ABCD 3 AA 6 N AC AB (2)若底面 为边长为 的正方形，且 1 ， 为 1 上的动点（包含端点），求当直线 1与平面 AMN所成角的正弦值最大时点N 的位置． 12．（2023·全国·模拟预测）如图1，在平面四边形ABCD中，BC CD2，BCD120，AEBC于点 DF  AE DF 2 △ADG ADG E， 于点F，且与AB交于点G， ，将 沿DG折起，使得平面 平面BCDG，得 到四棱锥ABCDG，如图2，P，Q分别为CD，AF的中点． DQ  (1)求证： 平面ABP； AD2 7 (2)若 ，求直线DQ与平面QBP所成角的正弦值． 13．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动， 现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为2 1 ，选择乙方案测试合格的概率为 ，且每位同学测试的结果互不影响． 3 2 (1)若A，B，C三位同学选择甲方案，D，E两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率； (2)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其均值； (3)若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数． 14．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据 如下表所示： 201 年份 2013 2014 2015 2017 2018 2019 2020 2021 2022 6 年生产台数（单位：万 3 5 5 6 6 9 9 10 10 a 台） 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 64 80 75 b 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 9.98 10.00 11.50 c 注：年返修率=年返修台数÷年生产台数.. (1)从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率； (2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3 年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望； s2 s2 s2 s2 (3)记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为 1 ， 2.若 1 2，请写出a的值.（只需 写出结论） （注：s2  1 n    x 1 x 2   x 2 x 2     x n x 2  ，其中 x 为数据x 1 ,x 2 ,  ,x n 的平均数） 15．（2023·陕西西安·统考一模）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案： 方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：全部回答单选题. 其中每道单选题答对得2分，答错得0分； 多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分. 每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同 学，所得结果如下表所示： 男 女生 生选择方案一 100 80 选择方案二 200 120 (1)能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关? (2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3. ①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望； ②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由. nadbc2 K2  附： abcdacbd， nabcd . P  K2 k  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0 x2 y2 C:  1 16．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）双曲线 a2 b2 的离心率为 2，右焦点F到渐近线 b y x的距离为 ． a 2 (1)求双曲线C的标准方程； b (2)过直线 上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线y x于A，B两点，证明：以AB为直径的圆 x1 a 恒过右焦点F． x2 y2  1ab0 17．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）已知椭圆C：a2 b2 的左、右顶点分别为A，B，O x1 6 为坐标原点，直线l： 与C的两个交点和O，B构成一个面积为 的菱形. (1)求C的方程； (2)圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q. k k AP AQ ①求 的值； ②证明：直线PQ过定点.x2 y2 18．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线 C: a2  b2 1 的右焦点为 F3,0 ，F到其中一条渐近线的距离为 2. (1)求双曲线C的方程； 5 (2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线x 于点M， 3 |AF||BM | （i）求 的值； |AM ||BF| MP  PQ （ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： . x2 y2  1ab0 19．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知椭圆a2 b2 的短轴长为2 2，直线 a2 l:x c 与 x 轴交于点 A ，椭圆的右焦点为 F ，OF 2 FA ，过点 A 的直线与椭圆交于P,Q两点． (1)求椭圆的方程及离心率； O PQ PQ (2)若原点 在以 为直径的圆上，求直线 的方程； P x M Q,F,M △AMQ (3)过点 且垂直于 轴的直线交椭圆于另一点 ，证明： 三点共线，并直接写出 面积的最大 值． 1 3 20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线E:y2 2pxp0的焦点为F，点F关于直线y x 的对称点恰 2 4 好在y轴上． (1)求抛物线E的标准方程； (2)直线 l:ykx2 k  6  与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0 ， AB 求 CD 的最大值． 21．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数 . (1)求曲线 在 处的切线方程；(2)当 时，求 的单调区间； (3)若对任意 ， 恒成立，求a的取值范围. 22．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 ，求证： (1) 存在唯一零点； (2)不等式 恒成立． 23．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知函数 ． (1)当 时，讨论函数 零点的个数． (2)若 ，且 在区间 上恒成立，求a的取值范围． 24．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)证明：当 时， ； (3)若 ， ，求实数a的取值范围. 25．（2023·全国·模拟预测）2022年9月20日是第34个“全国爱牙日”，宣传主题是“口腔健康，全身健 康”．要想口腔健康，良好的刷牙习惯不可少，牙刷的质量也是至关重要的，与手动牙刷相比较，电动牙刷的 清洁力更高，刷牙效果更好．某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头 在使用过程中需要更换．若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每 个刷头30元．某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到 下表： 1 更换刷头的个数 15 16 17 18 19 20 4 频数 8 8 10 24 28 12 10 用 （ ）表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数， 表示购买刷头的费用（单位： 元）．(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数； (2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求 关于n的函数解析式； (3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生 购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个 刷头． x 26．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知函数 f xex22ae2 ax1aR. f x (1)讨论 的单调性； gxxexlnexmx x R,x 0,,x f x gx 0 (2)设 ，若 a1 ，且对任意 1 2 2 1 2 恒成立，求实数 m 的 取值范围.