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专题04 平面向量的线性运算与数量积
1、【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
3、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=
（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
4．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t=（ ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
5、【2022年北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且
PC=1，则⃑PA⋅⃑PB的取值范围是（ ）
A．[−5,3] B．[−3,5] C．[−6,4] D．[−4,6]
6、【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________．
1
7．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
3
8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A A ⋯A 的边A A 上，则⃑PA2+⃑PA 2+⋯+⃑PA2 的
1 2 8 1 2 1 2 8
取值范围是_______．
8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）（多选题）已知 为坐标原点，点 ，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 ，若 ，则 _________．
10、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 ，若 ，则
__________．
11、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量 满足 ，则
_________.
12、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量 ．若 ，则
________．
13、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
14、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设向量 ，若
，则 ______________.
15、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 为单位向量，且 ，则
______________.
16、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量 , 的夹角为45°，
与 垂直，则k=__________.
题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出
定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
1
AE AC
1-2、（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形ABCD中， 3 ，若
EDADAB
，则 （ ）
1 2 1
A． 3 B．1 C．3 D．3
1
AD BC
1-3、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形ABCD满足 4 ，平面内点E满足
BE 3CE CD AE M BM xAB yAD x y
， 与 交于点 ，若 ，则 （ ）
5 5 4 4
A．2 B． 2 C．3 D． 3
1-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 的等腰直角 中， 为 的中点， 为 的中点，
，则 （ ）A． B． C． D．
1-5、（2022·广东罗湖·高三期末）（多选题）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正
确的为（ ）
A． B．
C． D．
1-6、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）在 中， ， ，其中 ，
， ， ， ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
题组二、向量的坐标运算
2-1、（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量 ， ，向量 与 垂直，则实数
的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2-2、（2022·河北保定·高三期末）若向量 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
2-3、（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 ， ，下列正确
的是（ ）
A． B．
C． 方向上的投影是 D．
2-4、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）（多选题）已知向量 ， ，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．存在 ，使得
题组三、向量的夹角与模
3-1、（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量 的夹角为 ， ， ，则 ___________．
3-2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量 、 满足 ，且 在 上的投影的数量为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为
（ ）A． B． C． D．
3-4、（2022·山东烟台·高三期末）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3-5、（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量 满足 ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题组四、向量数量积的运用
4-1、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4-2、（2022·湖北·高三期末）在 中， ，点E满足 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．6
4-3、（2022·山东淄博·三模）如图在 中， ， 为 中点， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4-4、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为 ，则 ＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
1、（2022·河北张家口·高三期末）已知向量 ，向量 ，若 ，则实数
___________.
2、（2022·山东泰安·高三期末）若单位向量 满足 ，向量 满足 ，且向量 的夹角为
，则 （ ）.
A． B．2 C． D．
3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）在平面直角坐标系内，已知 ， ， 是平面内一
动点，则下列条件中使得点（ ）
A． B．
C． D．5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（
）
A． B．
C．向量 与 的夹角为30° D．向量 在 上的投影向量为
6、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），
若 ，则 ___________， 的最小值为___________.
7、（2022·广东佛山·高三期末）菱形 中， ，点E，F分别是线段 上的动点
（包括端点）， ，则 ___________， 的最小值为___________.
8、（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量 ，且 ，则 与 的夹角为______．
9、（2022·广东东莞·高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为 ， ， ，
将卡纸绕顶点 顺时针旋转 ，得到 、 的旋转点分别为 、 ，则 _________.
