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专题四 概率与统计
第2 讲 概率
一、考点透析
考点1 古典概型
1.(2025·福建省泉州市·模拟)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个数，取出的三个数之和是3
的倍数的概率为( )
A. 9
28
B. 5
14
C. 3
8
D. 3
7
2.(2025·河南省·模拟)人工智能( Artificial Intelligence)，英文缩写为AI .是新一轮科技革
命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方
法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成
奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结
束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖;如果奖券码
为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等
奖的概率为 ．
3.(2025·河南省焦作市·模拟)小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中
任意抽取3道进行回答．
(Ⅰ)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率;
(Ⅱ)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王
答完3道题的总得分为X，求X的分布列和数学期望．
考点2 相互独立事件
1.(2025·江西省九江市·模拟)某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜
两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中(无平局)获胜的概率为1
3
，
则该选手成功入选的概率是( )
A. 5
21
B. 1
9
C. 1
7
D. 2
21
2.(2025· 广西壮族自治区梧州市· 模拟) 已知事件A与事件B相互独立，且
P( A )=0.3, P(B)=0.4，则P( A ∪B)=( )
A. 0.1
B. 0.12
C. 0.58
D. 0.7
3.(2025·云南省曲靖市·模拟)如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左
或向右移动一个单位，且向右移动的概率为2
3 .若该质点共移动100次，则它位于数
字 处的可能性最大．
4.(2025·云南省昆明市·模拟)某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与
抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止.抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球
(小球大小和质地相同)，取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖.刚开始盒子中有2个白
球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客
抽奖结束，下一名顾客继续抽奖.若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再
继续抽奖.若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名
顾客继续抽奖;若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束.该活动深
受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
(1)求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率;
(2)求这两份奖品都被第n名顾客抽取的概率;
(3)求由第k名顾客终止抽奖活动的概率．
考点3 条件概率
1.(2025·安徽省合肥市·模拟)某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否
喜欢菜品A”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为2:3，男教师点赞人数占(
参与活动的)男教师总人数的4
5
，女教师点赞人数占(参与活动的)女教师总人数的3
5
，若从
点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为( )
A. 9
25
B. 17
25
C. 9
17
D. 8
17
2.(2025·天津市市辖区·模拟)一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中
随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未
过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出
6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为X，则随机变量X的期望为 ．
3.(2025·河北省衡水市·模拟)某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布
如下表所示：
红色外观蓝色外观
棕色内饰
7
10
米色内饰
3
5
(Ⅰ)若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件A为抽到的模型为红色外观，事件B为
抽到的模型是米色内饰，求P(B)，P(B| A )，并据此判断事件A，B是否相互独立；
(Ⅱ)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个
汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则
奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励
150元，设一次抽奖的奖金为X元，求X的分布列与期望．
考点4 全概率公式
1.(2025·陕西省·模拟)某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客
进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品(称为
“计划型顾客”)，其余400名顾客则没有特定的购买计划(称为“随机型顾客”).根据以往
的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有
30％的人平均消费金额为100元，另外70％的人平均消费金额为300元．若从该超市近期
进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客
的平均消费金额分别为( )．
A. 概率为0.72，平均消费金额为210元
B. 概率为0.88，平均消费金额为216元
C. 概率为0.88，平均消费金额为240元
D. 概率为0.82，平均消费金额为230元
2.(2025·山西省·模拟)一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后
放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红
球的个数为ξ，则E(ξ)= ．
3.(2025·江西省南昌市·模拟)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建
255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最
快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的
量子比特(qubit )可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进
行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上
旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现
将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋
或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二道逻
辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X．
(1)已知p= 1
3
，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有n(n>1,n∈N
∗)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率
分别为p1
，p2
，…，pn
，则称H = f ( p1)+ f ( p2)+⋯+ f ( pn)(其中f ( x)=−x log2 x)为这
条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则
重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次
数为Y (Y =1,2,3,…,n,…)，证明：当n无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数．
参考公式：0<q<1时，lim
n→+∞q
n=0，lim
n→+∞nq
n=0．
二、跟踪练习
1.(2025·山东省潍坊市·期末)盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜
色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. 3
10
B. 3
7
C. 3
8
D. 1
2
2.(2025·江苏省苏州市·模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比
赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的
条件下，比赛进行了3局的概率为( )
A. 3
16
B. 3
13
C. 3
8
D. 3
4
3.(2025·湖北省武汉市·模拟)设样本空间Ω={5,6,7,8}，且每个样本点是等可能的，已知事
件A ={5,6},B ={5,7},C ={5,8}，则下列结论正确的是( )
A. 事件A与B为互斥事件
B. 事件A ,B ,C两两独立
C. P( ABC )= P( A )P(B)P(C )
D. P( A |C )= P(C | A )
4.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)我校举办清明诗会，在抽奖环节中，抽奖箱中放
有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片，甲，乙，丙三人每人抽一
张，抽后不放回.抽奖规则如下：若抽到写有“我”或“是”字的卡片则不中奖，若抽到写
有“中”字的卡片，则该同学中一等奖；若抽到写有“国”或“人”字的卡片，则抛掷一
枚质地均匀的硬币，若硬币国徽一面朝上，则该同学中二等奖，否则不中奖.则下面说法正
确的是( )
A. 每位同学中一等奖的概率为1
5
B. 甲同学中二等奖的概率为1
2
C. 已知甲同学中奖，则其中一等奖的概率为1
2
D. 三位同学都中奖的概率为1
40
5.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)某学校有甲、乙两个图书馆.假设同学们可以任
意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图
书馆.若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为1
2
，每次选择相互独立.设王同学在
某周的三天内去图书馆借阅的次数为X，已知X的分布列如下：(其中a>0,0< p<1)
X
0
1
2
3
P
a(1−p)
2
a
p
a
a(1−p)
(1)记事件Ai表示王同学在这三天内去图书馆借阅i次(i=0,1,2,3)，事件B表示王同学在这
三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数.当p= 1
2
时，试根据全概率公式
求P(B)的值；
(2)是否存在实数p，使得E( X )= 5
3
，若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；
