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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练（1）
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（吉林白山市2026 届高三下学期二模数学试题）设集合
，若
，则
（ ）
A．-3
B．
C．1
D．3
【答案】B
【详解】
则
，因为
，所以
，
所以
，解得：
或
.
当
时，
，
，
，不符合条件.
当
时，
，
，
，符合条件.
综上，
.
2．（天津红桥区2026 届高三下学期开学考试数学试卷）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】由
得
，
解得
或
，
所以当
时，
不一定成立，
而当
时，
一定成立，
所以
是
的必要不充分条件.
3．（24-25 高二下·河南周口·开学考试）已知两个变量x 与y 对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
y
5
7.5
n
9
10.5
若y 与x 满足线性相关关系，且经验回归方程为
，则下列说法正确的是（ ）．
A．y 与x 正相关
B．在
处的残差为0.25
C．
D．变量x 每增加一个单位，y 的值一定增加1.25 个单位
【答案】A
【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断C；根据回归直线一次项系数判断A；计算残差判断B；由回归直
线的实际意义判断D.
【详解】对于选项A，因为回归直线的斜率为
，所以y 与x 正相关，故A 正确；
对于选项B，当
时，
，所以在
处的残差为
，故B 错误；
对于选项C，因为
，所以
，
所以
，解得
，故C 错误；
对于选项D，变量x 每增加一个单位，y 的值很大可能增加1.25 个单位，故D 错误．
故选：A．
4．（25-26 高三下·江苏南通·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式求得
，再利用两角和与差的三角函数公式和辅助角公式化简
，
可得结果.
【详解】由
.
又
.
所以
.
5．（2026·四川成都·二模）若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
其中
，当
时，
最大值为
.
6．（25-26 高三下·广东江门·开学考试）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用累加法求得
，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
令
，得
，
，
所以
，
当
时上式也符合，所以
，则
，
所以
.
7．（河北邢台市卓越联盟2025-2026 学年高二下学期开学测评数学试卷）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
的焦距为
，以点
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知
为钝角，则
，利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】易知点
、
、
，
所以
，
，所以
，
即
为钝角，
又因为
为等腰三角形，所以
，即
，解得
.
8．（2026·广东汕头·一模）设
，且
，
，
，则它们的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析
以及
在
上的单调性.
【详解】首先比较
的大小，
令
，求导得
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增.因为
，所以
.
又因为
在
上恒成立，且
，所以
，
所以
，所以
即
.
由于
在
上单调递增，则
.
其次比较
的大小，
令
，求导得
，
因为
，所以
，所以
且
，
所以
，所以
在
上单调递减.
所以
又因为
在
上恒成立，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
即
，由单调性可知
.
综合
以及
，所以
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（25-26 高三下·河北衡水·开学考试）先将函数
的图象向右平移
个单位长度，再将横坐标缩短为
原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，则下列关于函数
的说法中正确的是（ ）
A．在
上单调递增
B．当
时，函数
的值域是
C．其图象关于直线
对称
D．直线
为曲线在
处的切线
【答案】BCD
【详解】由题可得
，
对于A，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故函数
在
上不单调，故A 错误；
对于B，当
时，
，
，
，故B 正确；
对于C，当
时，
，由
的图象关于直线
对称，
故函数
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以点
在曲线
上，
因为
，
，
所以曲线
在
处的切线为
，即
，
所以直线
为曲线在
处的切线，故D 正确.
10．（2026·广东广州·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
的展开式中含
项的系数为
D．
【答案】ABD
【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D.
【详解】对于
，故
，故A 正确；
对于
，故B 正确；
对于C，
的展开式中含
项的系数为
，
而
，显然二者不相等，故C 错误；
对于
，
所以
，即
，故D 正确．
11．（2026·四川成都·二模）已知等差数列
的前
项和
存在最大值，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
取得最大值
D．
取得最小正值时
为31
【答案】ACD
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可
判断D.
【详解】对于A，设等差数列
首项为
，公差为
，
则
，
因为
存在最大值，所以数列
的公差
，数列
单调递减，
要使
存在最大值，则数列先正后负，首项
，故A 正确；
对于B，由等差数列性质可知
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
所以
时，
取得最大值，故C 正确；
对于D，由
可得
，
由
，可得
，
所以
取得最小正值时
为31，故D 正确.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（吉林白山市2026 届高三下学期二模数学试题）已知平面向量
在
方向上的投
影向量模长为
，则
___________．
【答案】
【分析】先求
，
，再结合定义求向量
在
方向上投影向量的模长，列方程可求结论.
【详解】因为
，
，所以
，
所以
所以向量
在
方向上投影向量的模长为
，又
，
所以
，
因此
.
13．（25-26 高二下·湖南长沙·开学考试）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边，
，
，
且
，则
的面积为______.
【答案】
/
【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得
，再求出
，最后根据面积公式可求
.
【详解】由
及正弦定理可得
，又
，
所以
，
由
知
，故
，所以
，即
，
所以
，
，
所以
.
14．（25-26 高二下·上海·月考）正四棱锥
的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3 的同一球面上，则
异面直线
与
所成角的余弦值为_____________________
【答案】
或
【分析】设外接球球心为
，底面中心为
，外接球半径
，利用
求出
进而得到侧棱长，
根据异面直线的概念可知
即为异面直线
与
所成角的平面角，在
中利用余弦定理求解即可；
【详解】设外接球球心为
，底面中心为
，外接球半径
，
因为底面边长为4，所以
，
易知球心
在直线
上，则
，解得
或
，
当
时，又
，解得
，
因为
，所以
即为异面直线
与
所成的角.
在
中，由余弦定理可得
，
解得
；
当
时，又
，解得
，
因为
，所以
即为异面直线
与
所成的角.
在
中，由余弦定理可得
，
解得
.
综上：直线
与
所成角的余弦值为
或
.
