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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（23）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 中所有元素和为（ ）
A={x)|x)≤3,x∈Z) B={−1,0,1,2,3,4) A∩B
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】B
【解析】因为集合 ，得 ，
A={x)|x)≤3,x∈N) A={−3,−2,−1,0,1,2,3)
又集合B={−1,0,1,2,3,4)，所以A∩B={−1,0,1,2,3)，
所以A∩B中所有元素之和为-1+ 0+1+2+3=5.
故选：B.
2.某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学
生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选: .
3.已知 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以
所以 在 上的投影向量为 ，
故选B
4.已知圆台的上、下底面半径分别为 ， ，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为 ，则圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设内切球的半径为 ，
设圆台上、下底面圆心分别为 ，则圆台内切球的球心 一定在 的中点处，
设球 与母线切于 点，所以 ，所以 ，
所以 与 全等，所以 ，同理 ，
圆台的母线长 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，圆台的表面积为 ．
故选：C.
5.若 展开式的各项系数和为32，则该展开式中 的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为 展开式的各项系数和为32，
所以令 ，有 ，得 ，
故 ，
因为 展开式中含 的项为 ，含 的项为 ，
则 展开式中 的系数是 .故选：A.
6. 是圆 上的动点， 是直线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径 .
因为 到直线 的距离 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以直线与该圆相离，所以 的最小值为 ，
故选C.
7.若函数 ,恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当 时，由 可得 ，
依题意， 时， 有1个零点，
即方程 在 上有一个实根，
也即直线 与 在 上有一个交点.
如图作出函数的图象.因 在 上单调递增，由图可知，此时 .
综上，实数 的取值范围是 .
故选：D.
8.已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
当 时， ，
故函数 在 单调递增.
构造函数 ，
，
故函数 在 单调递减，
则 .
故选：C.
二、多选题
9.甲参加游戏获得的积分 的分布列为4 5 6 7 8
0.1 0.3 0.3
且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意得， ， ，
则 ，A项正确，
，故B项正确；
，故C项错误；
，故D项正确．
故选：ABD.
10.已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，若 ，O为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．点F到直线OM的距离为
【答案】BC
【解析】抛物线 的焦点 ，准线 ，
对于A，由抛物线的定义，得 ，则 ，A错误；
对于B，由点 在抛物线C上，得 ，则 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，设点F到直线OM的距离为d，则 ， ，D错误.
故选：BC.11．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，由 ，得 ，由正弦定理得
，而 ，因此 ，A正确；
对于B，由 及正弦定理得 ，
即 ，则
，即 ，又 ，
因此 ，又 ，则 ， ，B正确；
对于C，若 ，则 ，由正弦定理得 ，由选项B知，
，而
解得 ，即 ，矛盾，C错误；
对于D，由选项A知， ，而 ，
则 ，整理得 ，
而 ，因此 ，又 ，则 ，
，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12.已知函数 是奇函数，则 ___________．
【答案】1
【解析】因为 是奇函数，所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ．
故答案为：1.
13.已知 ， ，则 ______
【答案】1
【解析】由 得： ，
再两边平方得: ，
又因为 ，所以 ，则 .
故答案为：1.
14．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从
乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为X，则E(X)=
___________．
10
【答案】
9
【解析】依题意，X的可能值为0，1，2，
2 2
X=0的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为1× = ，
3 3
1 1 1 2 1 1
第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为 × = ，因此P(X=0)= × = ；
2 3 6 3 6 9
X=2的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件A ，
1
与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件A 的和，
2
1 2 1 2 1 1 1 2
因此P(A )=(1× ) = ,P(A )=(1× )×( × )= ，P(X=2)=P(A )+P(A )= ，
1 3 9 2 3 2 3 9 1 2 9
2
P(X=1)=1−P(X=0)−P(X=2)= ，
3
1 2 2 10
所以E(X)=0× +1× +2× = .
9 3 9 9
10
故答案为： .
9
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示．学习强度指数Q
概率 0.2 0.5 0.3
应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对
(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数 的人数为X，求 及X的数学期望．
(2)定义 为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件 “该学生学习有压力”（勉强应对和困
难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件 “该学生困难应对”，求在事件A发生
的条件下事件B发生的优势．
【解析】（1）解：由表可知，学习强度指数 的概率为：
,
从该市随机选取 名学生，记学习强度指数 的人数为 ，则 服从二项分布 ，
所以 ；
的数学期望为： ；
（2）解：由题意可知，事件 为“该学生学习有压力”，事件 为“该学生困难应对”.
， ，
因为事件 包含于事件 中，所以 ，
在事件 发生的条件下事件 发生的概率为： ，
在事件 发生的条件下事件 发生的概率为： ，
所以在事件 发生的条件下事件 发生的优势为： .
