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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（26）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则复数z的实部和虚部分别是（ ）
A． ，1 B．2，1 C． ，i D．2，i
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
则复数z的实部和虚部分别是2，1.
故选：B.
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，得 或 ；由 ，得 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
3．已知向量 ，若向量 在 上的投影向量相等，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．-1
【答案】A
【解析】由题意得 ，即 ，
整理得 ，所以 ，解得 .
故选：A.
4．已知正项等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】C
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，由 ， ，得 ，整理得 ，解得 ，
所以 .
故选：C
5．下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据.
每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30
频数 2 1 2 2 1 1 1
则下列说法不正确的是（ ）
A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27
C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4
【答案】D
【解析】该队员得分的平均数是 ，故A正确；
极差是 ，故B正确；
，所以第 百分位数是 ，故C正确；
方差是 ，故D错
误.
故选：D.
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以函数 是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误；取特殊值，令 ，则 ，
根据图象可以看出D错误，C正确.
故选：C.
7.已知点 在双曲线 x2 y2 上，且点 到 的两条渐近线的距离之积等于a2，则 的离心率为
P C: − =1(a>0,b>0) P C C
a2 b2 2
( )
A. 3 B. 2 C. √ 3 D. √ 2
【答案】D
b2(x 2−a2)
【解析】设点P(x ,y )，则y 2= 0 ，
0 0 0 a2
b
双曲线的渐近线方程为y= ± x，即bx±ay=0，
a
| b2(x 2−a2)|
b2x 2−a2× 0
由题意得：|bx +a y ||bx −a y | 0 a2 a2b2 a2
0 0 0 0 = = =
b2+a2 c2 c2 2
b2 c2−a2 1 a2 1
所以 = = ，则 = ，
c2 c2 2 c2 2
c
∴双曲线C的离心率为e= =√ 2．
a
故选：D．
8．已知定义在实数集 上的函数 满足： ， ，且 ．下列
结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 在区间 上单调递减
C． 的周期为3 D．
【答案】D
【解析】对于A，令 ，得 ，则 ，令 ，得 ，函数 是偶函数，A错误；
对于B，令 ，得 ，而 ，则函数 在 上不是单调递减函数，B错误；
对于C，令 ，得 ，则 ，
令 ， ，得 ，则 ， ，C错误；
对于D，由 为偶函数，得 ，D正确.
故选：D
二、多选题
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 为奇函数
C． 为 上的减函数 D． 无最值
【答案】ABD
【解析】对于A项，由 可知 ，所以 ，即其定义域为 ，A正确；
对于B项， ，显然 ，所以 为奇函数，B
正确；
对于C项，由A项结论可知显然错误；
对于D项，由指数函数的性质知：当 时，
，所以 ，则 ，故D正确；
故选：ABD
10.如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，AB=AC=A A =2，AB⊥AC，点P，Q，M，N分别是BB ，CC ，
1 1 1 1 1 1
A A ，BC的中点，则( )
1A. P，Q，M，N四点共面
B. 线段BC 为直三棱柱ABC−A B C 外接球的直径
1 1 1 1
2
C. 三棱锥P−A QN的体积为
1 3
π
D. 异面直线MN与AC所成角为
6
【答案】BC
【解析】对于A、因为P，Q，N∈平面BCC B ，M∉平面BCC B ，
1 1 1 1
故P，Q，M，N四点不共面， A错误；
对于B、直三棱柱ABC−A B C 的外接球，相当于以AB，AC，A A 为棱的长方体的外接球，
1 1 1 1
长方体的体对角线就是外接球的直径，
所以线段BC 为直三棱柱ABC−A B C 外接球的直径， B正确；
1 1 1 1
对于C、易得A 到平面BCC B 的距离为√ 2，
1 1 1
1 1 2
V =V = × ×2√ 2×1×√ 2= ，C正确；
P−A 1 QN A 1 −PQN 3 2 3
对于D、连接MQ，NQ，MN，则MQ//AC，
所以∠NMQ就是异面直线MN与AC所成的角，
MQ=2，NQ=√ 12+(√ 2) 2 =√ 3，MN=√ 12+(√ 2) 2 =√ 3，
M N2+MQ2−QN2 3+4−3 √ 3 √ 3
则cos∠NMQ= = = ≠ ，
2MN·MQ 2×√ 3×2 3 2
π
所以异面直线MN与AC所成角不是 ，D错误；
6
故选BC．11．已知函数 在区间 上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 有3个零点 ，则
C．若 ，则函数 有2个零点
D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】由 ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，故A正确；
对于B，若 有3个零点 ，
则 ，
因此 ，故B正确；
对于CD，当 时， ，
令 ，得 或 ，所以函数 有3个零点，故C错误，
因为 ，
，且 ，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题12．某人骑共享单车上班,第一条路线较短但拥挤,路途用时 （单位： ）服从正态分布 ；第二条路线
较长但不拥挤,路途用时 （单位： ）服从正态分布 .若有一天他出发时离上班时间还有8 ,则
.（精确到0.0001）
（参考数据： ）.
【答案】0.0165 .
【解析】由 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 .
故答案为：0.0165 .
13．双曲线 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若直线 ， 的
斜率之积为 ，则 的离心率为 ．
【答案】 .
【解析】双曲线 的左顶点为 ，则 ，
又点 ， 均在 上，且关于 轴对称，设 ， ，
又直线 ， 的斜率之积为 ，
则 ，即 ，① 又 ，即 ，②
联立①②可得： ，
即 ，即 ．
故答案为： .
14．第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照
亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分
配到1名志愿者，共有 种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为 ，则 的数学期望为
.
【答案】 36
【解析】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者，故有两名志愿者去同一场馆，有 种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到
三个不同的场馆中,
故共有 （种）分配方法.
的可能取值为1，2，且 ， ，
所以 .
故答案为：36 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数 （ 且 ）的图象经过点 ，记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意 ，.........................................................................................1分
所以数列 的前 项和为 ．
当 时， ；..............................................................................................................2分
当 时， ．...............................................................4分
当 时，上式亦成立，所以数列 的通项公式为 ．..............................6分
（2）由（1）知 ，
则 ，................................8分
所以..............................................................................................................................11分
因为 ，所以 ．
又因为 时， 单调递增，所以 ，
所以 ．........................................................................................................................13分
