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大题预测模拟02（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长.
16．已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)记
，若数列
的前
项和为
，求证：
.
17．如图，在三棱锥
中，
底面
.已知
是
的中点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
18．已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆
上，且
轴.过点
作椭
圆
的切线，交
轴于点
，过点
的直线交椭圆
于
两点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
为椭圆
的中心，求
面积的最大值；
(3)过点
作
轴的垂线与直线
交于点
，求证：线段
的中点在定直线上.
19．已知函数
有两个不同的零点，分别记为
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)有两组正实数
，且
.证明：
.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，
，BC 边上的高等于
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的周长．
16．已知四棱台
，底面
是边长为2 的菱形，
平面
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
17．已知椭圆
，F 为E 的右焦点，P 为E 上的动点，当直线PF 与x 轴垂直时，
，R 是直线
上一动点，
的最小值为1．
(1)求E 的方程：
(2)过R 作E 的两条切线分别交x 轴于M，N 两点，求
面积的取值范围．
18．已知函数
，函数
图象上的一点
，按照如下的方式构造切线
：在点
处作
的切线
，记切线
与x 轴交点的横坐标为
．
(1)写出
与
的递推关系式；
(2)记
的零点为r，且
．
（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：对于任意的
，都有
．
19．从编号为1，2，…，
的座位中按照如下方式选取座位：选取至少
个座位，并且选取的座
位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”．
(1)若
个座位排成一排，对应的“社交排位”数为
，例如
时，由于至少要选取2 个座位，因此
时，由于只能选取第1，3 个座位，因此
．
（i）求
；
（ii）求使
的最小正整数
，
(2)若
个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为
，求数列
中第2025 个奇数对应的
．
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的最大值.
16．为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100
名学生进行调查.得到了如下的
列联表：
性别
打篮球
合计
不喜爱
喜爱
男生
25
女生
10
30
合计
100
(1)请完成上面的
列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.
（单位：人）
(2)现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30 人中按分层随机抽样的方法抽取6 人，再从这6 人中随机
抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为
，求
的分布列和均值；
(3)若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40 人进行调查，记
人中喜爱打篮球的人数为
，
求
的均值和方差.
附：
，
.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17．如图，四棱锥
的底面
是梯形，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)在棱
上是否存在一点E，使得二面角
的余弦值为
.若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
18．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点
发出的光线经过椭圆上
的
点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点
，且在
点处的切线垂直于法线（即
的角平分
线）.在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
，点
为其右焦点，椭圆的焦距为4.
若有光束自点
射出，经椭圆二次反射后回到点
，设两次反射点分别为
，其光程为16.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)点P 是椭圆C 上的任意一点，椭圆在点P 处的切线为，过点
作的垂线，垂足为H，试求点H 的轨
迹方程．
(3)若直线OA，OB 分别与直线
交于M、N 两点，试问，直线BM 与直线AN 能否交于一定点？若能，
求出此定点；若不能，请说明理由.
19．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
与
恰有两个交点，求
的取值范围.
(3)当
时，
，求a 的取值范围.
