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大题仿真卷 02（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知 为数列 的前 项和，若 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)令 ，若 ，求满足条件的最大整数 .
2．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下
表为 年— 年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 年— 年对应的代码
依次为 — .
年份代码
市场规模
， ， ，其中
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为 ， .
(1)由上表数据可知，若用函数模型 拟合 与 的关系，请估计 年我国在线直播生活购物用
户的规模（结果精确到 ）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户中随
机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ，若 ，求 的数学期
望和方差.
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， ，
底面 为等边三角形，平面 平面 ，点 满足 ，点 为棱
上的动点（含端点）．(1)当 与 重合时，证明：平面 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
4．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆 的焦点为 ， 为椭圆上一点
且 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)若直线 过点 交椭圆 于 两点，且线段 的垂直平分线与 轴的交点
（i）求直线 的方程；
（ii）已知点 ，求 的面积.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)若 有三个极值点，求 的取值范围.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
6．（2024·四川内江·一模）在 中， ， ， 分别为内角 所对的边，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．7．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通
常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零
件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
8．（2024·河南·模拟预测）如图，已知圆锥 的底面圆周上有 三点， 为底面圆 的直径，且
为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
9．（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线 ，过点 作斜率为 的直线 ，分别
交抛物线于 与 ，当 时， 为 的中点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，证明： ；(3)若直线 过点 ，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
10．（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线 ，点 在 上.按如下方式构造点 ：
过点 作斜率为1的直线与 的左支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记点 的坐标为
.
(1)求点 的坐标；
(2)记 ，证明：数列 为等比数列；
(3) 为坐标原点， 分别为线段 的中点，记 的面积分别为 .判断
是否为定值，如果是定值，求 的值；如果不是，说明理由.
