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大题预测模拟03（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．已知函数
，
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）求
时，函数
的值域.
16．在
中，角
的对边分别为
．已知
．
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求
的值.
17．已知函数
．
(1)若
在定义域上单调递增，求实数
的最小值；
(2)当
时，
①判断曲线
是否为中心对称图形，若是，求出函数
的对称中心，若不是，说明理由；
②解不等式
．
18．已知函数
.
（Ⅰ）若
，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若
，证明：
.
19．青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图
所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从A 沿曲线段
运动到B 点时，A 点
的切线
也随着转动到B 点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角
之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度
越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当B 越接近A，即
越小，K 就越能精确刻
画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义曲线
在点
处的曲率计算公式为
，其中
．
(1)求单位圆上圆心角为
的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率的最大值；
(3)已知函数
，若
曲率为0 时x 的最小
值分别为
，求证：
．
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积.
16．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为4.
(1)求
的值；
(2)过抛物线
的焦点的直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，求直线的方程.
17．如图，
是圆柱底面内接正三角形，
，
，
为圆柱的母线，
，
为
的
中点，
，
分别为
，
的中点，直线
与平面
相交于点
.
(1)求
的值；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
18．已知数列
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和.
19．已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若随机变量
可取的值为
，
，且
，
，
为
的数学期望.证明：
（i）
；
（ii）
.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
16．已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，且
，其中
为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点
满足
，点
在椭圆上（
异于椭圆的顶点），直线
与以
为圆心的圆相切于
点
，且
为线段
的中点．求直线
的方程．
17．某种玩具启动后，该玩具上的
灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1 次亮灯时，
亮起红灯的概率为
，亮起绿灯的概率为
.若第n 次亮起的是红灯，则第
次亮起红灯的概率为
，
亮起绿灯的概率为
；若第n 次亮起的是绿灯，则第
次亮起红灯的概率为
，亮起绿灯的概率为
.记
第n 次亮灯时，亮起红灯的概率为
.该玩具启动前可输入
，玩具启动后，当
且第n
次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌.
（1）若输入
，记该玩具启动后，前3 次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X 的分布列和期望；
（2）若输入
，
（i）求数列
的通项公式；
（ii）该玩具启动后，在前20 次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
18．已知四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
，
，
，
.
(1)求三棱锥
外接球的表面积.
(2)设
为线段
上的点.
（i）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
（ii）平面
过点
，
，且
平面
，探究：是否存在点
，使得平面
与平面
之间所成角的正
切值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数
.
（1）设
.
①求方程
=2 的根；
②若对任意
，不等式
恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若
，函数
有且只有1 个零点，求ab 的值.
