文档文本内容
【循环
组合
函数与导数
v s
概率与统计
v s
解析几何】
训练专项01：函数与导数+概率与统计+解析几何
训练专项02：函数与导数+解析几何+概率与统计
训练专项03：概率与统计+解析几何+函数与导数
训练专项04：概率与统计+函数与导数+解析几何
训练专项05：解析几何+函数与导数+概率与统计
训练专项06：解析几何+概率与统计+函数与导数
■→训练专项01：函数与导数+概率与统计+解析几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·江苏南京六合区一调,13 分，★★]已知函数
．
（1）若
，求
在
处的切线方程；
（2）讨论
的单调性．
必刷小卷2 解答题强化练[2] 15+16+17 43 分练
规范答题
16. [2026·广东广州天河区适应性训练,15 分，★★]某公司为了了解A 商品销售收入
（单位：万
元）与广告支出
（单位：万元）之间的关系，现收集的5 组样本数据如下表所示，且经验回归方程
为
.
2
5
6
8
9
16
20
21
28
10.96
19.24
22
27.52
30.28
（1）求
的值；
（2）现从这5 组数据的残差中抽取2 组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X 表示抽到数
据的残差为负的组数，求X 的分布列和期望；
（3）已知
，且当
时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据
，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
规范答题
17. [2026·黑龙江齐齐哈尔一模,15 分，★★★]已知动圆过定点
，且被
轴截得的弦长为4.
（1）求动圆圆心
的轨迹方程；
（2）已知过点
的直线与圆心
的轨迹交于
两点，点
关于
轴的对称点为
.
（i）求
（
为坐标原点）面积的最小值；
（ii）证明：直线
必过定点
.
规范答题
■→训练专项02：函数与导数+解析几何+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·甘肃陇南一模，13 分，★★★]已知函数
的导函数为
．
（1）当
时，求
的图象在
处的切线方程；
（2）若
有三个不同的零点，求实数
的取值范围；
（3）已知
，若
在定义域内有三个不同的极值点
，且满足
，求实数
的取值范围．
规范答题
16. [2026·河北唐山一模，15 分，★★] 已知椭圆
的离心率为
，其左顶点
为A，上顶点为B，
的面积是1，其中O 是原点，平行于
的直线l 与C 交于M，N.
（1）求C 的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方
程；若不存在，请说明理由.
17. [2026·甘肃一模，15 分，★★]甲､乙两人各持有1 张“欢”字卡片和1 张“喜”字卡片，规定两人每次同
时从对方手中随机抽取1 张卡片交换（记为一轮操作）.记
轮操作后，甲手里有2 张“欢”字卡片
的概率为
，甲手里有2 张“喜”字卡片的概率为
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
规范答题
规范答题
■→训练专项03：概率与统计+解析几何+函数与导数
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·广东东莞高级中学质量检测,13 分，★★]甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2
道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是
，乙答对每道题目的概率都是
，每位面试者共有两
次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2 次答题，答对则面试通过，
未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为
，求
的分布列与期望.
16. [2026·广东普宁第二中学模拟,15 分，★★]已知椭圆
：
的离心率为
，且
在椭圆上，直线与椭圆在第一象限交于
，
两点，与
轴，
轴分别交于
，
两点，且
，
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求直线l 的方程.
规范答题
规范答题
17. [2026·海南部分学校联合调研,15 分，★★] 已知函数
.
（1）若
是
的导函数，且0 为
的极值点，求
；
（2）当
时，过原点的直线与
的图象相切，证明：当
时，在
图象的上方.
规范答题
■→训练专项04：概率与统计+函数与导数+解析几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·山东聊城一模,13 分，★★]某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次
数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于
分）的学
生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，
并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组
的频数为
.
（1）求
的值和样本容量；
（2）估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多
人，女生的获奖率为
，填写下列
列联表，
并依据小概率值
的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
性别
奖励
合计
获奖
未获奖
男
女
合计
附：
，
规范答题
16. [2026·江苏南京栖霞区名校联盟一模,15 分，★★]已知
（1）若
，求函数
在
处的切线方程；
（2）令
，若函数
在
处有极值，且关于
的方程
有3 个不
同的实根，求实数
的值和实数
的取值范围.
17．[2026·山西大同一模,15 分，★★]已知椭圆
：
的长轴长为4，左、右顶点分别为
，
，经过点
的动直线与椭圆
相交于不同的两点
，
（不与点
，
重合）．
（1）求椭圆
的方程及离心率；
（2）求四边形
面积的最大值.
■→训练专项05：解析几何+函数与导数+概率与统计
规范答题
规范答题
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·江西赣州摸底考试,13 分，★★]已知抛物线
，过点
作直线与抛物线
相交于
两点，
为坐标原点.
（1）证明：
；
（2）若存在异于点
的定点
，使得
恒成立，请求出点
的坐标，并求出
面积的最小值.
16 .[2026·广东广州天河区适应性训练,15 分，★★★]已知函数
.
（1）直线过点
且与曲线
相切，求直线方程；
（2）已知
在导函数
的图象上，以点
为圆心的
与
轴都相切，且
与
彼此外切.若
，且
，求数列
的前
项之和
.
规范答题
规范答题
17. [2026·福建泉州一模,15 分，★★]为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳
动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5 个月的数据，其中
表
示月份编号，
表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）.
月份编号
1
2
3
4
5
日平均参与人数
0.5
0.7
1
1.3
1.5
根据表格数据得到如图所示的散点图.
（1）根据散点图推断
与
是否线性相关，计算样本相关系数，
并推断它们的相关程度；
（2）由（1）所得结论，建立
关于
的回归方程，并预测第6 个月的日平均参与人数；
（3）假设第6 个月（按30 天计）的日参与人数
（单位：万）服从正态分布
，
并视（2）的结果为
的值，预测该月份日参与人数超过1.75 万的天数是否不少于25 天.
附：①样本相关系数
；②回归直线
的斜率的最小二乘估计
为
；③
；
④若
，则
.
规范答题
■→训练专项06：解析几何+概率与统计+函数与导数
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. [2026·内蒙古包头一模,13 分，★★]已知平面直角坐标系
上一动点
满足
，
，
．
（1）求点
的轨迹曲线
的方程；
（2）斜率为
的直线与曲线
交于
，
两点，点
，求直线
，
的斜率之和；
16. [2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁实验中学一模,15 分，★★]截至2025 年底，我国
新能源汽车保有量达到4397 万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300 名汽车驾驶员
对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽
车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的
，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样
本有120 人．
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
合计
300
（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值
的独立性检验，分析对燃油
汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
规范答题
（2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8 人做进一步访谈，然
后从这8 人中随机抽取3 人填写调查问卷，记抽取的3 人中偏好新能源汽车的人数为X，求X 的分布
列及数学期望．
参考公式及数据：
，
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17. [2026·山东聊城一模,15 分，★★]已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围.
规范答题
